v7.32.114 WTNP114 - Cas test de référence pour le calcul des déformations mécaniques#
Résumé:
Ce test a pour objectif de valider le post-traitement des déformations mécaniques en THM : EPSI_ELGA et EPSI_ELNO.
Ce problème bidimensionnel est traité avec une modélisation \(\mathrm{2D}\) .
Les fonctionnalités traitées sont, en particulier:
pression répartie,
déformations et contraintes aux nœuds,
La solution de référence est une solution analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Il s’agit d’une solution analytique.
En effet, bien que la loi introduite soit une loi de THM, seule la partie mécanique est ici active car la pression de liquide est imposée nulle partout sur le domaine.
De plus en ce qui concerne la partie mécanique, on a imposé une loi élastique en choisissant le KIT_THM ELAS comme loi mécanique.
Ainsi, étant donné les conditions aux limites et le chargement, on a:
\({\sigma}_{xx}=11\text{MPa}\) sur toute la surface
\({\sigma}_{yy}=15.4\text{MPa}\) sur toute la surface
De plus, nous sommes en déformations planes soit \({\varepsilon}_{zz}=0\)
Or comme \(\varepsilon =\frac{1+\nu }{E}\sigma -\frac{\nu}{E}\text{Tr}(\sigma )I\)
Soit \({\varepsilon}_{zz}=0=\frac{{\sigma}_{zz}}{E}-\frac{\nu}{E}{\sigma}_{xx}-\frac{\nu}{E}{\sigma}_{yy}\)
D’où \({\sigma}_{zz}=\nu ({\sigma}_{xx}+{\sigma}_{yy})\)
Donc \({\sigma}_{zz}=7.92\text{MPa}\)
On obtient donc les valeurs des déformations grâce à la loi élastique
\(\begin{array}{}{\varepsilon}_{xx}=6.9034482759{10}^{-4}\\ {\varepsilon}_{yy}=1.67655172414{10}^{-3}\end{array}\)
Les autres valeurs du tenseur des déformations (et de contraintes) sont nulles.
On calcule aussi le déplacement de la structure.
\(\begin{array}{}{\varepsilon}_{xx}=\frac{\partial {u}_{x}}{\partial x}\\ {\varepsilon}_{yy}=\frac{\partial {u}_{y}}{\partial y}\end{array}\)
\(\begin{array}{}{u}_{x}(x,y)={\varepsilon}_{xx}x+{u}_{x}(0,0)\\ {u}_{y}(x,y)={\varepsilon}_{yy}y+{u}_{y}(0,0)\\ \end{array}\)
Or par raison de symétrie \({u}_{A}=u(-1,-1)=0\) , donc
\(\begin{array}{}{u}_{x}(0,0)={\varepsilon}_{xx}\\ {u}_{y}(0,0)={\varepsilon}_{yy}\end{array}\)
on s’intéresse au déplacement au point C, de coordonnées \((1,1)\)
On a donc:
\(\begin{array}{}{u}_{x}(C)=2{\varepsilon}_{xx}=1.3806896551{10}^{-3}\\ {u}_{y}(C)=2{\varepsilon}_{yy}=3.35310344828{10}^{-3}\end{array}\)
Résultats de référence#
Déplacements \({u}_{x}\) et \({u}_{y}\) au point \(C\) et déformations \(({\varepsilon}_{xx},{\varepsilon}_{yy})\) aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(D\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique
Références bibliographiques#
CHAVANT:Modélisations THHM. Généralités et algorithmes, document R7.01.10
CHAVANT, B. CIREE: Loi de comportement à double critère Drücker-Prager pour la fissuration et la compression du béton, document R7.01.03
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Éléments \(\mathrm{2D}\) (QUAD8 et TRIA6)
\(C\)
\(D\)
\(B\)
\(A\)
Conditions limites:
ligne \(\mathit{AB}\) bloquée en \(\mathit{dy}\)
ligne \(\mathit{AD}\) bloquée en \(\mathrm{dx}\)
pression sur la ligne \(\mathit{BC}\) : \(p=11.\)
pression sur la ligne \(\mathit{CD}\) : \(p=15.4\)
Noms des nœuds:
\(A=\mathrm{N1}\)
\(B=\mathrm{N2}\)
\(C=\mathrm{N3}\)
\(D=\mathrm{N4}\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 14
Nombre de mailles et types: 1 QUA8, 2 TRIA6 et 6 SEG3
Grandeurs testées et résultats#
Localisation |
Grandeur |
Référence |
% tolérance |
\(A\) |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
-6.903448275900010-4 |
<10-4 |
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-1.6765517241400 10-3 |
<10-4 |
|
\(B\) |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
-6.9034482759000 10-4 |
<10-4 |
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-1.6765517241400 10-3 |
<10-4 |
|
\(C\) |
\({u}_{x}\) |
-1.3806896558000 10-3 |
<10-4 |
\({u}_{y}\) |
-3.3531034482800 10-3 |
<10-4 |
|
\({\varepsilon}_{xx}\) |
-6.903448275900010-4 |
<10-4 |
|
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-1.6765517241400 10-3 |
<10-4 |
|
D |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
-6.9034482759000 10-4 |
<10-4 |
\({\varepsilon}_{yy}\) |
-1.6765517241400 10-3 |
<10-4 |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus par Code_Aster sont parfaitement conformes aux références analytiques.