v3.03.134 SSLS134 – Calcul du ferraillage des plaques#
Résumé:
Ce test concerne la vérification analytique des densités de ferraillage calculées à l’aide de l’opérateur CALC_FERRAILLAGE.
Plusieurs cas de chargements sont étudiés à l’ELU, l’ELS (Caractéristique) et l’ELS QP.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Les densités des aciers longitudinaux sont calculées selon la méthode de Capra et Maury. Compte tenu des directions des efforts, la facette «dimensionnante» est évidente. Le calcul analytique se résume donc à un calcul de section permettant de déterminer les efforts auxquels sont soumis les 2 lits d’acier (supérieur et inférieur).
Grandeurs et résultats de référence#
Calculs à l’ELU#
On donnera le détail du calcul vis-à-vis du cas par défaut (Configuration 1 + Configuration 2 pour le cas où un acier de compression est requis).
Cas de chargement 1#
La plaque est soumise à une compression de \({N}_{yy}=-1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({Q}_{y}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
La résistance du béton non armé à la compression est donnée par:
\({N}_{\mathit{Rd}}={A}_{c}\times {f}_{\mathit{cd}}=0,20m\times 1,0m\times (\frac{35\mathit{MPa}}{1,5})=4,67\text{MN}>1\text{MN}\)
Par conséquent, la section est en Pivot C (Cas d’une déformation uniforme) tel que le béton puisse résister à lui seul à l’effort ⇒ pas de ferraillage longitudinal requis.
F erraillage transversal:
Pour le calcul au BAEL, seul l’effort tranchant est pris en compte:
\({A}_{\mathit{ST}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z(\mathrm{cot}\theta +\mathrm{cot}\alpha )\sin\alpha {\sigma}_{s}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z{\sigma}_{s}}\) où \(\alpha =90°\text{et}\theta =45°\) et \(z=0,9(h-c)\)
Soit \({A}_{\mathit{ST}}=15,967\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)
A l’Eurocode 2, le calcul du ferraillage transversal est différent, il tient compte de l’effort normal de compression et il s’agit de commencer par vérifier la résistance du béton non ferraillé transversalement à l’effort tranchant, donnée par la formule ci-dessous:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max({C}_{\mathit{Rd},c}k{(100{\rho}_{l}{f}_{\mathit{ck}})}^{1/3};{v}_{min})+{k}_{1}{\sigma}_{\mathit{cp}}]\times d\)
Soit:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max(\frac{0,18}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{160}})\cdot {(100\times 0\times 35)}^{1/3};\frac{0,35}{1,5}\cdot {35}^{0,5})+0,15\times (\frac{1,0}{0,20})]\times 0,16=341000N\)
Ce terme est supérieur à la valeur maximale des efforts tranchants de ‘facettes’, obtenu pour la facette orientée perpendiculairement à l’axe Y de la plaque (\(\theta =\frac{\pi}{2}\) ), et qui vaut 100 000 N.
Par conséquent, aucun ferraillage transversal est requis.
Cas de chargement2#
La plaque est soumise à un effort de traction de \({N}_{xx}=1000000\text{N}\) selon l’axe \(\text{X}\) et à un effort tranchant \({Q}_{x}=-600000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
I l s’agit d’une section entièrement tendue de manière symétrique.
La section d’acier est donc égale à \({A}_{S}=\frac{N}{{f}_{\mathit{yd}}}=\frac{N}{({f}_{\mathit{yk}}/{\gamma}_{s})}\) (Pivot A – Cas d’une déformation uniforme).
Chaque lit d’armatures reprend donc la moitié de l’effort soit: \({A}_{\mathit{SXS}}={A}_{\mathit{SXI}}=\frac{{A}_{S}}{2}=11,5{\mathit{cm}}^{2}\)
F erraillage transversal:
Pour le BAEL, seul l’effort tranchant est pris en compte:
\({A}_{\mathit{ST}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z(\mathrm{cot}\theta +\mathrm{cot}\alpha )\sin\alpha {\sigma}_{s}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z{\sigma}_{s}}\) où \(\alpha =90°\text{et}\theta =45°\)
Pour le code «utilisateur» \({A}_{\mathit{ST}}=95,785\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\) , pour le code BAEL \({A}_{\mathit{ST}}=95,833\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)
A l’Eurocode 2, le calcul du ferraillage transversal est différent, il tient compte de l’effort normal de compression (dans le présent cas, s’agissant d’un effort de traction, pas d’impact) et il s’agit de commencer par vérifier la résistance du béton non ferraillé transversalement à l’effort tranchant, donnée par la formule ci-dessous:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max({C}_{\mathit{Rd},c}k{(100{\rho}_{l}{f}_{\mathit{ck}})}^{1/3};{v}_{min})+{k}_{1}{\sigma}_{\mathit{cp}}]\times d\)
Soit:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max(\frac{0,18}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{160}})\cdot {(100\times (\frac{11,5\cdot {10}^{-4}}{0,16})\times 35)}^{1/3};\frac{0,35}{1,5}\cdot {35}^{0,5})+0,15\times (\frac{0}{0,20})]\times 0,16=220867N\)
Ce terme est inférieurà la valeur maximale des efforts tranchants de ‘facettes’, obtenu pour la facette orientée perpendiculairement à l’axe Xde la plaque (\(\theta =0\) ), et qui vaut 600 000 N.
Par conséquent, un ferraillage transversal est requis, et est calculé suivant le modèle du treillis de Ritter-Mosche; on obtient au final:
\({A}_{\mathit{SXT}}=40,11\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\) et \({A}_{\mathit{SYT}}=14,09\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)
Cas de chargement3#
La plaque est soumise à un effort de traction de \({N}_{yy}=1000000\text{N}\) selon l’axe \(\text{Y}\) et d’un effort tranchant \({Q}_{x}=-20000\text{N}\) et \({Q}_{y}=80000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Les résultats théoriques sont les symétriques de ceux de la configuration 2: \({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}=11,5{\mathit{cm}}^{2}\)
F erraillage transversal:
Pour le BAEL, seul l’effort tranchant est pris en compte:
\({A}_{\mathit{ST}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z(\mathrm{cot}\theta +\mathrm{cot}\alpha )\sin\alpha {\sigma}_{s}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z{\sigma}_{s}}=13.164\text{cm²/m²}\)
où \(\alpha =90°\text{et}\theta =45°\) avec \(z=h-2c\) (BAEL)
A l’Eurocode 2, le calcul du ferraillage transversal est différent, il tient compte de l’effort normal de compression (dans le présent cas, s’agissant d’un effort de traction, pas d’impact) et il s’agit de commencer par vérifier la résistance du béton non ferraillé transversalement à l’effort tranchant, donnée par la formule ci-dessous:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max({C}_{\mathit{Rd},c}k{(100{\rho}_{l}{f}_{\mathit{ck}})}^{1/3};{v}_{min})+{k}_{1}{\sigma}_{\mathit{cp}}]\times d\)
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max(\frac{0,18}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{160}})\cdot {(100\times (\frac{11,5\cdot {10}^{-4}}{0,16})\times 35)}^{1/3};\frac{0,35}{1,5}\cdot {35}^{0,5})+0,15\times (\frac{0}{0,20})]\times 0,16=220867N\)
Ce terme est supérieur à la valeur maximale des efforts tranchants de ‘facettes’.
Par conséquent, aucun ferraillage transversal est requis.
Cas de chargement4#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre supérieure tendue.
A l’ELU:
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{{M}_{yy}}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=0.167\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0.184\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0.145\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{{M}_{yy}}{z{\sigma}_{s}}=15.835\text{cm²/m}\) (lit \(\text{Y}\) supérieur).
Cas de chargement5#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre supérieure tendue.
Les résultats théoriques sont les symétriques de ceux de la configuration 4.
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SXS}}=15.835\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) supérieur) à l’ELU.
Cas de chargement6#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un effort de compression suivant \(\text{X}\) égal à \({N}_{xx}=-100000\text{N}\) .
La section est partiellement tendue.
A l’ELU:
Le moment à reprendre est \(M={M}_{xx}-{N}_{xx}(d-\frac{h}{2})=106000\text{Nm}\)
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{M}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=0.177\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0.197\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0.144\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SXS}}=\frac{{M}_{xx}}{z{\sigma}_{s}}+\frac{{N}_{xx}}{{\sigma}_{s}}=14.601\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) supérieur).
Cas de chargement7#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un effort de traction égal à \({N}_{xx}=100000\text{N}\) .
Le moment à reprendre est \(M=|{M}_{xx}|-{N}_{xx}(d-\frac{h}{2})=94000\text{Nm}\)
La section est donc partiellement tendue.
A l’ELU:
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{M}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=0.157\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0.172\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0.146\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SXS}}=\frac{{M}_{xx}}{z{\sigma}_{s}}+\frac{{N}_{xx}}{{\sigma}_{s}}=17.085\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) supérieur).
Cas de chargement 8#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un effort de traction égal à \({N}_{xx}=2000000\text{N}\) suivant \(\text{X}\) .
La section est totalement tendue \(M=|{M}_{xx}|-{N}_{xx}(d-\frac{h}{2})=-20000\text{Nm}<0\)
A l’ELU:
La section d’armature est donc égale à:
\({A}_{\mathit{SXS}}=\frac{M}{(d-e){\sigma}_{s}}+\frac{{N}_{xx}}{{\sigma}_{s}}=42.167\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) supérieur).
\({A}_{\mathit{SXI}}=\frac{-M}{(d-e){\sigma}_{s}}=3.833\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) inférieur).
Cas de chargement 9#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-75000\text{Nm}\) .
La section est partiellement tendue.
A l’ELU:
La section d’armature suivant \(\text{X}\) est la même que la configuration 5.
Soit \({A}_{\mathit{SXS}}=15.835\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) inférieur).
Suivant \(\text{Y}\) :
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{{M}_{yy}}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=0.125\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0.135\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0.149\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYI}}=\frac{{M}_{yy}}{z{\sigma}_{s}}=11.559\text{cm²/m}\) (lit \(\text{Y}\) inférieur).
Cas de chargement 10#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-150000\text{Nm}\) .
La section est partiellement tendue.
A l’ELU:
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{{M}_{\mathit{fx}}}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=0.251\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0.294\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0.136\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYI}}=\frac{{M}_{yy}}{z{\sigma}_{s}}=25.285\text{cm²/m}\) (lit \(\text{Y}\) inférieur).
Cas de chargement 11#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-260000\text{Nm}\) .
La section est partiellement tendue.
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{{M}_{yy}}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=0.435\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0.642\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0.109\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYI}}=\frac{{M}_{yy}}{z{E}_{A}{\epsilon}_{A}}=130.26\text{cm²/m}\) (lit \(\text{Y}\) inférieur).
Dans le cas où un ferraillage de compression est possible (CONFIG 2 - FERR_COMP = ‘OUI’):
Afin d’éviter que l’acier inférieur tombe dans le domaine ‘élastique’ de sa loi de comportement (ce qui va à l’encontre d’un raisonnement d’optimisation), on bloque alors la position de la fibre neutre à la profondeur suivante: \(\alpha ={\alpha}_{R}=\frac{1}{1+\frac{{\epsilon}_{\mathit{sy}}}{{\epsilon}_{\mathit{cu}2}}}=\frac{1}{1+0.207/0.35}=0.628\) (Pivot B ‘bloqué’)
L’équilibre des efforts et moments aboutira alors à la détermination des deux inconnues du problème, à savoir les sections d’acier supérieur (acier comprimé) et inférieur (acier tendu):
\({A}_{\mathit{SYI}}\times {\sigma}_{\mathit{SYI}}+{A}_{\mathit{SYS}}\times {\sigma}_{\mathit{SYS}}+{F}_{c}=0\)
\(-{A}_{\mathit{SYI}}\times {\sigma}_{\mathit{SYI}}\cdot (h-{c}_{\inf})+{A}_{\mathit{SYS}}\times {\sigma}_{\mathit{SYS}}\cdot (h-{c}_{\sup})+{M}_{c}=0\)
Tels que: \({\sigma}_{\mathit{SYI}}<0(\mathit{Traction})\) ; \({\sigma}_{\mathit{SYS}}>0(\mathit{Compression})\)
\({F}_{c}=\lambda \cdot \alpha \cdot d\times \eta \cdot {f}_{\mathit{cd}}\) ; \({M}_{c}=\lambda \cdot \alpha \cdot d\times 0,5\cdot (h-\lambda \cdot \alpha \cdot d)\times \eta \cdot {f}_{\mathit{cd}}\)
On trouvera alors:
\({A}_{\mathit{SYI}}=50.57\text{cm²/m}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=6.83\text{cm²/m}\)
Cas de chargement 12#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-380000\text{Nm}\) .
Le moment ultime réduit est par conséquent:
\(\mu =\frac{{M}_{yy}}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=0.63>{\mu}_{\mathit{BC}}=\lambda \cdot {\alpha}_{\mathit{BC}}\cdot (1-0,5\cdot \lambda \cdot {\alpha}_{\mathit{BC}})=0.8\times 1.0\times (1-0.5\times 0.8\times 1.0)=0.48\) .
On est donc:
Soit en PIVOT C, tels que les aciers supérieur et inférieur sont complètement comprimées.
Soit en PIVOT B, avec acier de compression (l’acier inférieur demeure tendu).
La résolution s’effectue de façon itérative, et l’algorithme contient la configuration aboutissant à un ferraillage optimal (c’est-à-dire à une section totale minimale de ferraillage); on obtient dans ce cas la configuration optimale ci-dessous:
Equilibre: \(\mathit{PIVOT}B\) \(\alpha ={\alpha}_{R}=0.628\)
Ferraillage obtenu: \({A}_{\mathit{SYI}}=73.81\text{cm²/m}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=29.83\text{cm²/m}\)
Cas de chargement 13#
La plaque est soumise à une compression de \({N}_{yy}=-1500000\text{N}\) et à un effort tranchant \({Q}_{y}=800000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
La résistance du béton non armé à la compression est donnée par:
\({N}_{\mathit{Rd}}={A}_{c}\times {f}_{\mathit{cd}}=0,20m\times 1,0m\times (\frac{35\mathit{MPa}}{1,5})=4,67\text{MN}>1,5\text{MN}\)
Par conséquent, la section est en Pivot C (Cas d’une déformation uniforme) tel que le béton puisse résister à lui seul à l’effort ⇒ pas de ferraillage longitudinal requis.
F erraillage transversal:
Pour le BAEL, seul l’effort tranchant est pris en compte:
\({A}_{\mathit{ST}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z(\mathrm{cot}\theta +\mathrm{cot}\alpha )\sin\alpha {\sigma}_{s}}=\frac{\sqrt{{Q}_{x}^{2}+{Q}_{y}^{2}}}{z{\sigma}_{s}}=127.77\text{cm²/m²}\)
où \(\alpha =90°\text{et}\theta =45°\) et \(z=h-2c\) (BAEL)
A l’Eurocode 2, le calcul du ferraillage transversal est différent, il tient compte de l’effort normal de compression et il s’agit de commencer par vérifier la résistance du béton non ferraillé transversalement à l’effort tranchant, donnée par la formule ci-dessous:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max({C}_{\mathit{Rd},c}k{(100{\rho}_{l}{f}_{\mathit{ck}})}^{1/3};{v}_{min})+{k}_{1}{\sigma}_{\mathit{cp}}]\times d\)
Soit:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max(\frac{0,18}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{160}})\cdot {(100\times 0\times 35)}^{1/3};\frac{0,35}{1,5}\cdot {35}^{0,5})+0,15\times (\frac{1,5}{0,20})]\times 0,16=400867N\)
Ce terme est inférieurà la valeur maximale des efforts tranchants de ‘facettes’, obtenu pour la facette orientée perpendiculairement à l’axe Yde la plaque (\(\theta =\pi /2\) ), et qui vaut 800 000 N.
Par conséquent, un ferraillage transversal est requis, et est calculé suivant le modèle du treillis de Ritter-Mosche; on obtient au final:
\({A}_{\mathit{SXT}}=13,02\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\) et \({A}_{\mathit{SYT}}=63,15\mathit{cm}\mathrm{²}/m\mathrm{²}\)
Cas de chargement 14#
La plaque est soumise à une compression de \({N}_{xx}=-4500000\text{N}\) , à un moment de flexion \({M}_{xx}=380000\text{N}\) et à un effort tranchant \({Q}_{y}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Le moment à reprendre est \(M={M}_{xx}-{N}_{xx}(d-\frac{h}{2})=650000\text{Nm}\)
Le moment ultime réduit est alors:
\(\mu =\frac{M}{d\mathrm{²}{\sigma}_{b}}=\frac{0.65}{{0.16}^{2}\times 35/1.5}=1.088>{\mu}_{\mathit{BC}}=\lambda \cdot {\alpha}_{\mathit{BC}}\cdot (1-0,5\cdot \lambda \cdot {\alpha}_{\mathit{BC}})=0.8\times 1.0\times (1-0.5\times 0.8\times 1.0)=0.48\) .
On est donc:
Soit en PIVOT C, tels que les aciers supérieur et inférieur sont complètement comprimées.
Soit en PIVOT B, avec acier de compression (l’acier inférieur demeure tendu).
La résolution s’effectue de façon itérative, et l’algorithme contient la configuration aboutissant à un ferraillage optimal (c’est-à-dire à une section totale minimale de ferraillage); on obtient dans ce cas la configuration optimale ci-dessous:
Equilibre: \(\mathit{PIVOT}B\) \(\alpha ={\alpha}_{R}=0.628\)
Ferraillage obtenu: \({A}_{\mathit{SXI}}=81.58\text{cm²/m}\) et \({A}_{\mathit{SXS}}=21.74\text{cm²/m}\)
F erraillage transversal:
A l’Eurocode 2, le calcul du ferraillage transversal tient compte de l’effort normal de compression et il s’agit de commencer par vérifier la résistance du béton non ferraillé transversalement à l’effort tranchant, donnée par la formule ci-dessous:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max({C}_{\mathit{Rd},c}k{(100{\rho}_{l}{f}_{\mathit{ck}})}^{1/3};{v}_{min})+{k}_{1}{\sigma}_{\mathit{cp}}]\times d\)
Soit:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max(\frac{0,18}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{160}})\cdot {(100\times (\frac{21,74\times {10}^{-4}}{0,16})\times 35)}^{1/3};\frac{0,35}{1,5}\cdot {35}^{0,5})+0,15\times (\frac{4,5}{0,20})]\times 0,16\)
\({V}_{\mathit{Rd},c}=760867N\)
Ce terme est supérieur à la valeur maximale des efforts tranchants de ‘facettes’, obtenu pour la facette orientée perpendiculairement à l’axe Y de la plaque (\(\theta =\frac{\pi}{2}\) ), et qui vaut 100 000 N.
Par conséquent, aucun ferraillage transversal est requis.
Calculs à l’ELS Caractéristique#
On donnera le détail du calcul vis-à-vis du cas par défaut (Configuration 1 + Configuration 2 pour le cas où un acier de compression est requis), et on se concentrera uniquement sur le calcul du ferraillage longitudinal de flexion.
Cas de chargement 1#
La plaque est soumise à une compression de \({N}_{yy}=-1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({Q}_{y}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
La résistance du béton non armé à la compression est donnée par:
\({N}_{\mathit{Rd}}={A}_{c}\times {\sigma}_{\text{c,lim}}=0,20m\times 1,0m\times (21\mathit{MPa})=4,2\text{MN}>1\text{MN}\)
Par conséquent, la section est en Pivot C (Cas d’une déformation uniforme) tel que le béton puisse résister à lui seul à l’effort ⇒ pas de ferraillage longitudinal requis.
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement2#
La plaque est soumise à un effort de traction de \({N}_{xx}=1000000\text{N}\) selon l’axe \(\text{X}\) et à un effort tranchant \({Q}_{x}=-600000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
I l s’agit d’une section entièrement tendue de manière symétrique.
La section d’acier est donc égale à \({A}_{S}=\frac{N}{{\sigma}_{\text{s,lim}}}=\frac{1\mathit{MN}}{400\mathit{MPa}}\) (Pivot A – Cas d’une déformation uniforme).
Chaque lit d’armatures reprend donc la moitié de l’effort soit: \({A}_{\mathit{SXS}}={A}_{\mathit{SXI}}=\frac{{A}_{S}}{2}=12,5{\mathit{cm}}^{2}/m\)
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement3#
La plaque est soumise à un effort de traction de \({N}_{yy}=1000000\text{N}\) selon l’axe \(\text{Y}\) et d’un effort tranchant \({Q}_{x}=-20000\text{N}\) et \({Q}_{y}=80000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Les résultats théoriques sont les symétriques de ceux de la configuration 2: \({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}=12,5{\mathit{cm}}^{2}/m\)
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement4#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre supérieure tendue.
A l’ELS:
Le moment résistant du béton est égal à :
\({M}_{\lim}=\frac{1}{2}{\sigma}_{b}{y}_{\lim}(d-\frac{{y}_{\lim}}{3})=116315\text{Nm}\)
avec \({y}_{\lim}=d\frac{n{\sigma}_{b}}{n{\sigma}_{b}+{\sigma}_{s}}=0.0839\text{m}\)
Nous sommes donc dans le cas où \(M={M}_{yy}⩽{M}_{\lim}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =n\frac{M}{d\mathrm{²}{\sigma}_{s}}=0.205\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0.497\)
La section d’acier nécessaire est égale à: \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{{M}_{yy}}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}=19.14\text{cm²/m}\)
Cas de chargement5#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre supérieure tendue.
Les résultats théoriques sont les symétriques de ceux de la configuration 4.
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SXS}}=19.14\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) supérieur) à l’ELS.
Cas de chargement6#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=300000\text{Nm}\) et à un effort de compression suivant \(\text{X}\) égal à \({N}_{xx}=-20000\text{N}\) .
Le moment à prendre en compte est: \(M={M}_{xx}-{N}_{xx}(d-\frac{h}{2})=301200\text{Nm}\)
Nous sommes donc dans le cas où \(M>{M}_{\lim}\) . Ainsi, un ferraillage de compression est requis, et la résolution s’effectue de manière itérative, de sorte à rechercher la configuration d’équilibre aboutissant à un ferraillage optimal; on obtient dans ce cas:
Configuration d’équilibre: \(y={y}_{\lim}=0.0839m\) ; \(\sigma ={\sigma}_{\text{s,lim}}=400\mathit{MPa}\) ; \(\sigma ={\sigma}_{\text{c,lim}}=21\mathit{MPa}\)
Ferraillage retenu: \({A}_{\mathit{SXI}}=65.78\text{cm²/m}(\mathit{Comprimé})\) et \({A}_{\mathit{SXS}}=61.44\text{cm²/m}(\mathit{Tendu})\)
Cas de chargement7#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un effort de traction égal à \({N}_{xx}=100000\text{N}\) .
Le moment à reprendre est \(M=|{M}_{xx}|-{N}_{xx}(d-\frac{h}{2})=94000\text{Nm}\)
Les valeurs limites sont les mêmes que calculées en configuration 4.
Nous sommes dans le cas où \(M⩽{M}_{\lim}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =n\frac{M}{d\mathrm{²}{\sigma}_{s}}=0.192\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0.134\)
La section d’acier nécessaire est égale à:
\({A}_{\mathit{SXS}}=\frac{M}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}+\frac{{N}_{xx}}{{\sigma}_{s}}=20.301\text{cm²/m}\)
Cas de chargement 8#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un effort de traction égal à \({N}_{xx}=2000000\text{N}\) suivant \(\text{X}\) .
La section est totalement tendue \(M=|{M}_{xx}|-{N}_{xx}(d-\frac{h}{2})=-20000\text{Nm}<0\)
A l’ELS:
La section d’armature est donc égale à:
\({A}_{\mathit{SXS}}=\frac{M}{(d-e){\sigma}_{s}}+\frac{{N}_{xx}}{{\sigma}_{s}}=45.833\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) supérieur)
\({A}_{\mathit{SXI}}=\frac{-M}{(d-e){\sigma}_{s}}=4.167\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) inférieur)
Cas de chargement 9#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-75000\text{Nm}\) .
La section est partiellement tendue.
A l’ELS:
La section d’armature suivant \(\text{X}\) est la même que la configuration 5.
Soit \({A}_{\mathit{SXS}}=18.70\text{cm²/m}\) .
Suivant \(\text{Y}\) :
Les valeurs limites sont les mêmes que calculées en configuration 4.
Nous sommes dans le cas où \(M⩽{M}_{\lim}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =n\frac{M}{d\mathrm{²}{\sigma}_{s}}=0.154\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0.447\)
La section d’acier nécessaire est égale à:
\({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{M}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}+\frac{{N}_{xx}}{{\sigma}_{s}}=13.83\text{cm²/m}\)
Cas de chargement 10#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-300000\text{Nm}\) .
Nous sommes donc dans le cas où \(M>{M}_{\lim}\) . Ainsi, un ferraillage de compression est requis, et la résolution s’effectue de manière itérative, de sorte à rechercher la configuration d’équilibre aboutissant à un ferraillage optimal; on obtient dans ce cas:
Configuration d’équilibre: \(y={y}_{\lim}=0.0848m\) ;
\(\sigma =-391\mathit{MPa}(\mathit{Traction})\) ; \(\sigma ={\sigma}_{\text{c,lim}}=21\mathit{MPa}(\mathit{Compression})\)
Ferraillage retenu: \({A}_{\mathit{SXI}}=65.35\text{cm²/m}(\mathit{Tendu})\) et \({A}_{\mathit{SXS}}=61.7\text{cm²/m}(\mathit{Comprimé})\)
Calculs à l’ELS Quasi Permanent#
On donnera le détail du calcul vis-à-vis du cas par défaut (Configuration 1 + Configuration 2 pour le cas où un acier de compression est requis), et on se concentrera uniquement sur le calcul du ferraillage longitudinal de flexion.
Cas de chargement 1#
La plaque est soumise à une compression de \({N}_{yy}=-1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({Q}_{y}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
La résistance du béton non armé à la compression est donnée par:
\({N}_{\mathit{Rd}}={A}_{c}\times {\sigma}_{\text{c,lim,NL}}=0,20m\times 1,0m\times (15,75\mathit{MPa})=3,15\text{MN}>1\text{MN}\)
Par conséquent, la section est en Pivot C (Cas d’une déformation uniforme) tel que le béton puisse résister à lui seul à l’effort ⇒ pas de ferraillage longitudinal requis.
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement2#
La plaque est soumise à un effort de traction de \({N}_{xx}=1000000\text{N}\) selon l’axe \(\text{X}\) et à un effort tranchant \({Q}_{x}=-600000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
En ce qui concerne le dimensionnement du ferraillage à l’ELS QP, le calculse fait par le biais d’une approche itérative qu’on explicite dans ce qui suit. Il s’agit en effet de rechercher la configuration de ferraillage la plus économique permettant de vérifier le critère de limitation de l’ouverture des fissures. Vu que les équations de l’Eurocode 2 vis-à-vis de la méthode de vérification de l’ouverture des fissures sont des équations non linéaires par rapport à la section d’acier et qu’elles requièrent une connaissance pré-établie du champs de contraintes, l’algorithme de dimensionnement à l’ELS QP fera intervenir de façon itérative l’algorithme de recherche déterministe du dimensionnement à l’ELS Caractéristique (dimensionnement du ferraillage pour respecter le critère de limitation des contraintes).
On donne à titre indicatif les détails des étapes de calcul pour la modélisation(C):
On lance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{A}\times {f}_{e}=1\times 500=500\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Traction Pure»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{slim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): :math:`{x}_{mathit{AN}}=infty `
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-500\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=-500\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-23,81\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=-23,81\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=10,0{\mathit{cm}}^{2}/m;{A}_{\mathit{sinf}}=10,0{\mathit{cm}}^{2}/m\)
On effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En face supérieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{500,0-0,6\times \frac{3,21}{0,01}\times (1+21,0\times 0,01)}{210000}=1,429\times {10}^{-3}\)
Avec :
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{h}_{\mathit{ceff}}=0,01\)
\({h}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times (h-d);h/2)=100,0\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {e}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times h)\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 1,0\times 0,425\times (25,0/0,01);1,3\times 200)=260,0\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=260,0\times 1,429\times {10}^{-3}=0,371\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
En face inférieure:
On obtient par symétrie \({w}_{\mathit{kinf}}=0,371\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{i}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{A})=\mathit{FAUX}\)
On relance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{B}\times {f}_{e}=0,5\times 500=250\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Traction Pure»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{slim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): :math:`{x}_{mathit{AN}}=infty `
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-500\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=-500\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-11,9\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=-11,9\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=20,0{\mathit{cm}}^{2}/m;{A}_{\mathit{sinf}}=20,0{\mathit{cm}}^{2}/m\)
On effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En face supérieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{250,0-0,6\times \frac{3,21}{0,02}\times (1+21,0\times 0,02)}{210000}=7,143\times {10}^{-4}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{h}_{\mathit{ceff}}=0,02\)
\({h}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times (h-d);h/2)=100,0\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {e}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times h)\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 1,0\times 0,425\times (25,0/0,01);1,3\times 200)=260,0\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=260,0\times 1,429\times {10}^{-3}=0,186\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
En face inférieure:
On obtient par symétrie \({w}_{\mathit{kinf}}=0,186\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{i}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{FAUX}\)
L’algorithme relancera la procédure 3) et 4) en divisant la valeur de \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) par 2, jusqu’à ce que les deux ouvertures de fissures deviennent vérifiées.
Ainsi, pour \({k}_{\mathit{var}}^{B}=0,25\) , on obtient \({w}_{\mathit{ksup}/inf}=0,093\mathit{mm}\text{}<\text{}{{w}_{max}}^{i/s}=0,15\mathit{mm}\) , et on a désormais \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{VRAI}\) .
Il s’agit alors de déterminer par dichotomie (variation entre \({k}_{\mathit{var}}^{A}\) et \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) ) la valeur du coefficient \({k}_{\mathit{var}}\) optimale pour la saturation du critère de dimensionnement à l’ELS QP (c’est-à-dire la plus grande valeur de ce coefficient permettant de respecter les ouvertures de fissures en fibres supérieure et inférieure, tout en respectant la limitation de la contrainte de compression dans le béton):
\({k}_{\mathit{var}}\) |
0,625 |
0,438 |
0.344 |
0.391 |
0.414 |
0.402 |
0.408 |
0,405 |
… |
0,4038 |
\({A}_{\mathit{ssup}/inf}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
16,0 |
22,86 |
29,91 |
25,60 |
24,15 |
24,85 |
24,50 |
24,67 |
… |
24,762 |
\({\sigma}_{c}(\mathit{MPa})\) |
-14,88 |
-10,42 |
-8,18 |
-9,30 |
-9,86 |
-9,58 |
-9,72 |
-9,65 |
… |
-9,62 |
\({w}_{\mathit{ksup}/inf}(\mathit{mm})\) |
0,232 |
0,163 |
0,128 |
0,145 |
0,154 |
0,149 |
0,152 |
0,151 |
… |
0.1499988 |
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SXS}}={A}_{\mathit{SXI}}=24,762{\mathit{cm}}^{2}/m\)
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement3#
La plaque est soumise à un effort de traction de \({N}_{yy}=1000000\text{N}\) selon l’axe \(\text{Y}\) et d’un effort tranchant \({Q}_{x}=-20000\text{N}\) et \({Q}_{y}=80000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Les résultats théoriques sont les symétriques de ceux de la configuration 2: \({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}=24,762{\mathit{cm}}^{2}/m\)
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement4#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre supérieure tendue.
A l’ELS QP :
On lance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{A}\times {f}_{e}=1\times 500=500\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Partiellement Comprimé»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{clim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): \({x}_{\mathit{AN}}=\alpha \times d=0,627\times (20-4)=10,034\mathit{cm}\)
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-196,65\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=+198,89\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-15,643\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=+15,75\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=40,18{\mathit{cm}}^{2}/m;{A}_{\mathit{sinf}}=0,0{\mathit{cm}}^{2}/m\)
on effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En face inférieure: \({w}_{\mathit{kinf}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{i}\) (pas de fissuration en l’absence de traction)
En face supérieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{196,65-0,6\times \frac{3,21}{0,121}\times (1+21,0\times 0,121)}{210000}=6,68\times {10}^{-4}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{h}_{\mathit{ceff}}=0,121\)
\({h}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times (h-d);(h-{x}_{\mathit{AN}})/3;h/2)=3,32\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {e}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times (h-{x}_{\mathit{AN}}))\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 0,5\times 0,425\times (25,0/0,121);1,3\times (200-100,34))=129,6\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=129,6\times 6,68\times {10}^{-4}=0,087\mathit{mm}\text{}<\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
Vu que les deux ouvertures de fissures sont vérifiées, l’algorithme de dimensionnement du ferraillage à l’ELS QP s’arrêteraà ce stade. Dans le cas contrainte, il aurait s’agit d’itérer sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) de sorte à déterminer la valeur maximale de ce coefficient de pivot permettant d’assurer le respect des deux critères d’ouverture de fissures.
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SYS}}=40,1813\text{cm²/m}\)
Cas de chargement5#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre supérieure tendue.
Les résultats théoriques sont les symétriques de ceux de la configuration 4.
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SXS}}=40,1813\text{cm²/m}\) (lit \(\text{X}\) supérieur) à l’ELS QP.
Cas de chargement6#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=300000\text{Nm}\) et à un effort de compression suivant \(\text{X}\) égal à \({N}_{xx}=-15000\text{N}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0,5 |
0.75 |
0,625 |
… |
0.6339 |
0.6338 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
73.24 |
97.59 |
73.24 |
79.45 |
… |
76.48 |
79.450 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
109.3 |
93.27 |
109.23 |
103.96 |
… |
106.92 |
103.960 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
8.00 |
9.12 |
8.00 |
8.32 |
… |
8.16 |
8.32 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-23.63 |
-18.79 |
-23.63 |
-22.11 |
… |
-22.79 |
-22.11 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
15.75 |
15.75 |
15.75 |
… |
15.75 |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-330.75 |
-249.51 |
-330.75 |
-305.31 |
… |
-316.96 |
-305.31 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
165.37 |
185.68 |
165.37 |
171.74 |
… |
168.18 |
171.74 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.163 |
0.111 |
0.163 |
0.146 |
… |
0.1541 |
0.146 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0 |
0.0 |
La section d’acier nécessaire au finale comprend un ferraillage de compression en nappe inférieure:
\({A}_{\mathit{SXI}}=103,96\text{cm²/m}\)
En nappe supérieure, le ferraillage est normalement tendu; par contre, l’algorithme d’itération sur les facettes de Capra-Maury aboutit à un ferraillage optimum comprenant un ferraillage suivant l’axe ‘Y’ (du à la non linéarité du problème à l’ELS QP), tel que:
\({A}_{\mathit{SXS}}=80,61\text{cm²/m}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=4,22\text{cm²/m}\)
Cas de chargement7#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un effort de traction égal à \({N}_{xx}=100000\text{N}\) .
A l’ELS QP :
On lance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{A}\times {f}_{e}=1\times 500=500\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Partiellement Comprimé»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{clim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): \({x}_{\mathit{AN}}=\alpha \times d=0,537\times (20-4)=8,598\mathit{cm}\)
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-242,08\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=+187,54\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-18,347\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=+15,75\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=34,18{\mathit{cm}}^{2}/m;{A}_{\mathit{sinf}}=0,0{\mathit{cm}}^{2}/m\)
on effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En face inférieure: \({w}_{\mathit{kinf}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{i}\) (pas de fissuration en l’absence de traction)
En face supérieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{242,08-0,6\times \frac{3,21}{0,0899}\times (1+21,0\times 0,0899)}{210000}=8,5818\times {10}^{-4}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{h}_{\mathit{ceff}}=0,0899\)
\({h}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times (h-d);(h-{x}_{\mathit{AN}})/3;h/2)=3,80\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {e}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times (h-{x}_{\mathit{AN}}))\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 0,5\times 0,425\times (25,0/0,0899);1,3\times (200-85,98))=146,7\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=146,7\times 8,5818\times {10}^{-4}=0,126\mathit{mm}\text{}<\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
Vu que les deux ouvertures de fissures sont vérifiées, l’algorithme de dimensionnement du ferraillage à l’ELS QP s’arrêteraà ce stade. Dans le cas contrainte, il aurait s’agit d’itérer sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) de sorte à déterminer la valeur maximale de ce coefficient de pivot permettant d’assurer le respect des deux critères d’ouverture de fissures.
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SXS}}=34,18\text{cm²/m}\)
Cas de chargement 8#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un effort de traction égal à \({N}_{xx}=2000000\text{N}\) suivant \(\text{X}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0,5 |
0,25 |
0,625 |
0,438 |
0,3438 |
0,39063 |
0,41406 |
… |
0,403843 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
36,667 |
73,333 |
146,67 |
58,667 |
83,810 |
106,67 |
93,867 |
88,553 |
… |
92.201 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
3,333 |
6,667 |
13,333 |
5,333 |
7,619 |
9,697 |
8,5333 |
8,0503 |
… |
8.382 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
… |
∞ |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-23,81 |
-11,905 |
-5,952 |
-14,88 |
-10,417 |
-8,1845 |
-9,3006 |
-9,8586 |
… |
-9,6153 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
-23,81 |
-11,905 |
-5,952 |
-14,88 |
-10,417 |
-8,1845 |
-9,3006 |
-9,8586 |
… |
-9,6153 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-500,0 |
-250,0 |
-125,0 |
-312,5 |
-218,75 |
-171,875 |
-195,31 |
-207,03 |
… |
-201,921 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
-500,0 |
-250,0 |
-125,0 |
-312,5 |
-218,75 |
-171,875 |
-195,31 |
-207,03 |
… |
-201,921 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0,5039 |
0,1879 |
0,0562 |
0,2783 |
0,1485 |
0,09669 |
0,1215 |
0,1348 |
… |
0,1289319 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0,3714 |
0,1857 |
0,0929 |
0,2321 |
0,1625 |
0,12768 |
0,14509 |
0,1538 |
… |
0,1499988 |
La section d’acier nécessaire est donc égale à: \({A}_{\mathit{SXS}}=92,20\text{cm²/m}\) et \({A}_{\mathit{SXI}}=8,38\text{cm²/m}\)
Cas de chargement 9#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{X}\) égal à \({M}_{xx}=100000\text{Nm}\) et à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-75000\text{Nm}\) .
A l’ELS QP :
La section d’armature suivant \(\text{X}\) est la même que la configuration 5.
Soit \({A}_{\mathit{SXS}}=40,1813\text{cm²/m}\) .
Suivant \(\text{Y}\) , l’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0.5 |
0.75 |
0.625 |
0.5625 |
0.59375 |
0.578125 |
… |
0.57 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
12.769 |
22.697 |
14.713 |
17.512 |
20.328 |
18.839 |
19.562 |
… |
20.184 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
0.000 |
8.472 |
7.327 |
7.777 |
8.174 |
7.971 |
8.071 |
… |
8.155 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
13.39 |
15.07 |
14.07 |
13.98 |
14.03 |
14.01 |
… |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
-29.49 |
-18.23 |
-26.09 |
-22.12 |
-20.24 |
-21.18 |
-20.71 |
… |
-30.48 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
140.72 |
148.49 |
143.59 |
143.54 |
150.01 |
146.81 |
148.42 |
… |
149.72 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
-429.35 |
-250.0 |
-375.0 |
-312.5 |
-281.3 |
-296.9 |
-289.1 |
… |
-282.7 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.357 |
0.126 |
0.219 |
0.172 |
0.149 |
0.160 |
0.155 |
… |
0.15000 |
On retient donc:
\({A}_{\mathit{SYI}}=20,184\text{cm²/m}\)
Cas de chargement 10#
La plaque est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{yy}=-125000\text{Nm}\) .
A l’ELS QP :
Par défaut, si l’on se restreint à une configuration sans acier de compression, l’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) converge dès le premier pas pour la valeur maximale du coefficient (égale à 1):
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
0 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
234.77 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
14.01 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
-6.73 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
236.31 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
-46.99 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.00 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.1046 |
On retiendrait donc: \({A}_{\mathit{SYI}}=234,77\text{cm²/m}(\mathit{Tendu})\)
Par ailleurs, si l’on autorise un ferraillage de compression, l’algorithme optimise alors la quantité totale de ferraillage (de sorte à faire travailler au maximum le ferraillage tendu dans la configuration d’équilibre retenue); on obtiendra alors dans ce cas:
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0.5 |
0.750 |
… |
0.5597 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
21.785 |
14.326 |
21.785 |
… |
15.9120 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2}/m)\) |
28.187 |
39.445 |
28.187 |
… |
36.216 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
7.839 |
9.119 |
7.839 |
… |
8.8 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
15.75 |
15.75 |
… |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
-24.429 |
-18.789 |
-24.429 |
… |
-20.045 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
162.000 |
185.684 |
162.000 |
… |
180.409 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
-344.250 |
-249.513 |
-344.250 |
… |
-270.613 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.208 |
0.126 |
0.208 |
… |
0.143 |
On retiendraitalors dans ce cas: \({A}_{\mathit{SYS}}=15,91\text{cm²/m}(\mathit{Comprimé})\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=36,22\text{cm²/m}(\mathit{Tendu})\)
Calculs à l’ELS Quasi Permanent pour le ferraillage minimal pour la maîtrise de la fissuration#
Pour le calcul du ferraillage minimal pour la maîtrise de la fissuration, on se refère à la formule 7.1 du §7.3.2 de l’EC2 ou à l’équation DCONC 4110-2 du §DCONC 4110 du RCC-CW. Lorsque l’effet d’échelle est pris en compte, on se refère à l’équation DN 2200-1 du § DN 2200 du RCC-CW.
Incertitudes sur la solution#
Aucune.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT. On réalise une analyse à l’ELU.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 élément de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
Cas de chargement |
Configuration considérée |
Ferraillage Longitudinal de référence (en cm²/m) |
Ferraillage Transversal (cm²/m²) |
||||
DNSXI |
DNSXS |
DNSYI |
DNSYS |
DNSXT |
DNSYT |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
4 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
5 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
6 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
7 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
14,375 |
14,375 |
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
1 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
40,11 |
14,09 |
2 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
40,11 |
14,09 |
|
3 |
11,5 |
11,5 |
2,08 |
2,08 |
40,11 |
14,09 |
|
4 |
11,5 |
11,5 |
2,08 |
2,08 |
40,11 |
14,09 |
|
5 |
10,73 |
10,73 |
2,08 |
2,08 |
40,11 |
14,09 |
|
6 |
11,5 |
11,5 |
2,08 |
2,08 |
40,11 |
14,09 |
|
7 |
47,61 |
11,5 |
12,69 |
2,08 |
40,11 |
14,09 |
|
8 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
40,11 |
14,09 |
|
9 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
40,11 |
14,09 |
|
10 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
86,25 |
86,25 |
|
11 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
40,11 |
14,09 |
|
12 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
40,11 |
14,09 |
|
13 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
48,34 |
0 |
|
14 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
48,34 |
0 |
|
15 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
48,34 |
0 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
3 |
2,08 |
2,08 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
4 |
2,08 |
2,08 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
5 |
2,08 |
2,08 |
10,73 |
10,73 |
0 |
0 |
|
6 |
2,08 |
2,08 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
7 |
2,08 |
2,08 |
10,32 |
11,5 |
0 |
0 |
|
8 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
9 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
11,85 |
11,85 |
|
11 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
13 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
14 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
11,5 |
11,5 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
|
3 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
15,84 |
0 |
0 |
|
4 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
15,84 |
0 |
0 |
|
5 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
15,59 |
0 |
0 |
|
6 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
15,84 |
0 |
0 |
|
7 |
2,08 |
2,08 |
2,08 |
15,84 |
0 |
0 |
|
8 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
9 |
0 |
0 |
6,83 |
15,84 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
0 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
|
11 |
0 |
0 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
0 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
|
13 |
0 |
0 |
0 |
16,19 |
0 |
0 |
|
14 |
0 |
0 |
0 |
16,19 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
2,08 |
15,84 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
4 |
2,08 |
15,84 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
5 |
2,08 |
15,59 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
6 |
2,08 |
15,84 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
7 |
2,08 |
15,84 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
8 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
9 |
6,83 |
15,84 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
0 |
16,19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
0 |
16,19 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
15 |
0 |
15,84 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
1 |
0 |
14,60 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
14,60 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
2,08 |
14,60 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
4 |
2,08 |
14,60 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
5 |
2,08 |
14,39 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
6 |
2,08 |
14,60 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
7 |
2,08 |
14,60 |
2,08 |
2,08 |
0 |
0 |
|
8 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
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2,08 |
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2,08 |
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2,08 |
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|
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2,08 |
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0 |
|
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2,08 |
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|
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2,08 |
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-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
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2,08 |
50,49 |
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2,08 |
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2,08 |
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-1 |
-1 |
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-1 |
-1 |
-1 |
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2,08 |
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-1 |
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2,08 |
2,08 |
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|
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2,08 |
2,08 |
2,08 |
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|
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2,08 |
2,08 |
2,08 |
13,02 |
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|
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2,08 |
2,08 |
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0 |
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115,0 |
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-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
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2,08 |
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2,08 |
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2,08 |
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2,08 |
2,08 |
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0 |
|
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2,08 |
2,08 |
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0 |
|
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0 |
0 |
0 |
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0 |
0 |
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-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
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|
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
|
15 |
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0 |
0 |
0 |
|
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT. On réalise une anlyse à l’ELS.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 élément de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
C as de chargement |
Configuration considérée |
Ferraillage Longitudinal de référence (en cm²/m) |
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15.63 |
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12.5 |
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12.5 |
0 |
0 |
43.6 |
15.32 |
|
3 |
12.5 |
12.5 |
0 |
0 |
43.6 |
15.32 |
|
4 |
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12.5 |
0 |
0 |
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93.75 |
|
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12.5 |
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12.5 |
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|
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12.5 |
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|
4 |
0 |
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12.5 |
12.5 |
12.88 |
12.88 |
|
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1 |
0 |
0 |
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0 |
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19.14 |
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|
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|
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|
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0 |
0 |
0 |
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19.14 |
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0 |
0 |
0 |
|
3 |
10.44 |
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0 |
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|
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19.14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
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-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
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0 |
0 |
|
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0 |
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|
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0 |
0 |
0 |
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0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
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20.3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
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0 |
0 |
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|
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20.3 |
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0 |
2 |
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|
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0 |
|
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|
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2 |
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0 |
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|
3 |
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18.91 |
13.87 |
4.78 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
18.7 |
13.83 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
0 |
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|
3 |
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0 |
61.7 |
65.35 |
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0 |
|
4 |
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0 |
61.7 |
65.35 |
0 |
0 |
|
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT. On réalise une analyse à l’ELS-QP
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 élément de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
C as de chargement |
Configuration considérée |
Ferraillage Longitudinal de référence (en cm²/m) |
Ferraillage Transversal (cm²/m²) |
||||
DNSXI |
DNSXS |
DNSYI |
DNSYS |
DNSXT |
DNSYT |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12.5 |
12.5 |
|
2 |
1 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
124 |
15.54 |
2 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
124 |
15.54 |
|
3 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
124 |
15.54 |
|
4 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
124 |
15.54 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
24.76 |
24.76 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
40.18 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
5.28 |
27.48 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
20.32 |
28.97 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
5.28 |
27.48 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
40.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5.28 |
27.48 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
20.32 |
28.97 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
5.28 |
27.48 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
103.96 |
80.6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
97.16 |
89.83 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
103.96 |
80.6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
0 |
34.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1.59 |
30.37 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
23.31 |
31.27 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
1.59 |
30.37 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
1 |
8.38 |
92.2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
8.38 |
92.2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
59.12 |
65.03 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
8.38 |
92.2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
40.18 |
20.18 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5.28 |
27.48 |
20.18 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
19.99 |
28.85 |
20.93 |
12.17 |
0 |
0 |
|
4 |
5.28 |
27.48 |
20.18 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
1 |
0 |
0 |
234.77 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
36.22 |
15.91 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
36.26 |
28.79 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
36.22 |
15.91 |
0 |
0 |
|
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT. On réalise une analyse à l’ELS-QP pour le calcul du ferraillage minimal pour la maîtrise de la fissuration.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 élément de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
Configuration |
Cas de chargement |
ASMINXI |
ASMINXS |
ASMINYI |
ASMINYS |
1 |
1 |
641.99 |
641.99 |
0 |
0 |
2 |
256.792 |
0 |
0 |
256.792 |
|
3 |
123.458 |
0 |
556.792 |
0 |
|
4 |
0 |
123.458 |
0 |
556.792 |
|
5 |
0 |
0 |
641.99 |
641.99 |
|
2 |
1 |
1380.25 |
1380.25 |
0 |
0 |
2 |
552.1 |
0 |
0 |
552.1 |
|
3 |
437.436 |
0 |
810.103 |
0 |
|
4 |
0 |
437.436 |
0 |
810.103 |
|
5 |
0 |
0 |
1380.25 |
1380.25 |
|
3 |
1 |
2086.4 |
2086.4 |
0 |
0 |
2 |
834.57 |
0 |
0 |
834.57 |
|
3 |
747.907 |
0 |
1029.574 |
0 |
|
4 |
0 |
747.907 |
0 |
1029.574 |
|
5 |
0 |
0 |
2086.43 |
2086.43 |
|
4 |
1 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
2 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
|
3 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
|
4 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
|
5 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
1133.67 |
|
5 |
1 |
1380.25e-3 |
1380.25e-3 |
0 |
0 |
2 |
552.1e-3 |
0 |
0 |
552.1 |
|
3 |
437.436e-3 |
0 |
810.103e-3 |
0 |
|
4 |
0 |
437.436e-3 |
0 |
810.103e-3 |
|
5 |
0 |
0 |
1380.25e-3 |
1380.25e-3 |
|
6 |
1 |
842.858 |
842.858 |
0 |
0 |
2 |
337.14349 |
0 |
0 |
337.14349 |
|
3 |
203.81016 |
0 |
637.14349 |
0 |
|
4 |
0 |
203.81016 |
0 |
637.14349 |
|
5 |
0 |
0 |
842.858 |
842.858 |
|
7 |
1 |
641.99 |
641.99 |
0 |
0 |
2 |
256.792 |
0 |
0 |
256.792 |
|
3 |
123.458 |
0 |
556.792 |
0 |
|
4 |
0 |
123.458 |
0 |
556.792 |
|
5 |
0 |
0 |
641.99 |
641.99 |
Synthèse des résultats#
Ce test permet de mettre en évidence la validité des calculs de densité de ferraillage sur des cas simples.
Les résultats obtenus avec le modèle sont en effet conformes aux valeurs déterminées de façon analytique.