r4.07.07 Identification d’efforts sur un modèle modal

Résumé:

La macro-commande CALC_ESSAI rassemble les fonctionnalités de Code_Aster pour la corrélation calcul-essais. On décrit dans le cadre de cette documentation la fonctionnalité «identification d’efforts», qui doit permettre d’identifier les efforts appliquer à une structure sous la forme d’un inter-spectre, à partir de la donnée de l’inter-spectre de mesures en fonctionnement, d’un modèle modal, identifié ou calculé, et du choix de la localisation des points d’application des efforts.

Modélisation et calcul des forces

Modélisation sur base modale, observabilité et commandabilité

La linéarité supposée du comportement de la structure permet la décomposition du modèle sur base modale:

\(\underline{y}=\underline{\underline{C\Phi }}.\underline{\underline{{Z}^{-1}}}.\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}.\underline{f}\)

En utilisant la notion d’inter-spectre, privilégiée dans la macro [1] :

\(\underline{\underline{{S}_{yy}}}=\underline{\underline{C\Phi }}.\underline{\underline{{Z}^{-1}}}.\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}.\underline{\underline{{S}_{\text{ff}}}}.{\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}}^{H}.\underline{\underline{{Z}^{-1}}}.{\underline{\underline{C\Phi }}}^{H}\) (1)

\(\underline{\underline{C}}\) et \(\underline{\underline{B}}\) sont les matrices d’observabilité et de commande. \(\underline{\underline{C}}\) permet de projeter un champ défini sur un modèle, sur un champ plus restreint de capteurs. \(\underline{\underline{B}}\) projette ce même champ sur les points d’application des efforts. Les matrices \(\underline{\underline{C\Phi }}\) et \(\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}\) sont les matrices de déformées modales définies sur un maillage capteur et sur un maillage de commande. Elles peuvent être obtenues avec l’opérateur PROJ_CHAMP ou avec l’opérateur OBSERVATION, qui permet, en plus du précédent, de définir pour chaque noeud ou groupe de noeud des directions non mesurées, ou de définir des repères locaux.

\(\underline{\underline{Z}}\) est la matrice d’impédance \(\text{diag}{(-{\omega}^{2}+\mathrm{2j}{\xi}_{i}{\omega}_{i}\omega +{\omega}_{i}^{2})}_{1\le i\le N}\) associée à la base des déformées modales \(\underline{\underline{\Phi}}\) . Cette base est en général définie sur un modèle de bonne qualité. Une base de bonne qualité doit en effet posséder des paramètres modaux proches de la réalité. Les déformées doivent également être proches de la réalité, et de plus être suffisamment régulières. Ainsi, une base de déformées expérimentale est définie sur un nombre réduit de capteurs, et est donc peu régulière (on risque d’avoir une résolution du problème inverse problématique). On lui préférera la base de déformées d’un modèle numérique recalé, ou, mieux encore, une base expérimentale étendue sur modèle numérique. On précise ce point ci-dessous.

Remarque sur l’expansion modale

On possède une base modale \(({f}_{i},{\xi}_{i},{m}_{i},{\underline{{\varphi}_{\exp}}}_{i})\) expérimentale. Les paramètres modaux sont supposés identifiés avec une bonne approximation, mais les déformées, de bonne qualité, ne sont définies que sur un nombre restreint de capteurs. On tente donc d’étendre cette base de déformées sur un modèle numérique qui soit assez représentatif de la structure (mais pas forcément recalé). La base d’expansion peut être la base des modes du modèle numérique (obtenue avec CALC_MODES). Réaliser une expansion modale signifie donc trouver le vecteur de paramètres généralisés \(\eta\) minimisant:

\({\mathrm{\parallel }{\underline{{\varphi}_{\exp}}}_{i}-\underline{\underline{{\Phi}_{\text{num}}}}.\underline{\eta}\mathrm{\parallel }}^{2}\)

L’onglet «corrélation» de CALC_ESSAI, permet de réaliser cette expansion, grâce à l’utilisation de PROJ_MESU_MODAL. Pour plus de détails sur le principe de l’expansion, on se reportera à la documentation de PROJ_MESU_MODAL (U4.73.01).

Résolution du problème inverse

L’équation (1) du problème direct, peut, sous certaines conditions, être inversée:

\(\underline{\underline{{S}_{\text{ff}}}}={\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}}^{\oplus}.\underline{\underline{Z}}.{\underline{\underline{C\Phi }}}^{\oplus}.\underline{\underline{{S}_{yy}}}.{\underline{\underline{C\Phi }}}^{{H}^{\oplus}}.\underline{\underline{Z}}.{\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}}^{{H}^{\oplus}}\)

Les matrices \(\underline{\underline{C\Phi }}\) et \(\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}\) étant rectangulaires, le signe :math:`oplus ` désigne leur pseudo-inverse de Moore Penrose. Ce pseudo inverse peut être obtenu par l’utilisation d’un algorithme de SVD (Singular Value Decomposition, cf doc R6.03.01). Dans CALC_ESSAI, deux possibilités de régularisation sont disponibles:

1. troncature des petites valeurs singulières: on note \({\sigma}_{\max}\) , la plus grande valeur singulière. La SVD consiste à fixer pour toutes les valeurs singulières inférieures à \(\varepsilon {\sigma}_{\max}\) , pour \(\varepsilon\) donné, la valeur 0. Elles ne sont donc pas prises en compte dans le calcul inverse. La troncature élimine des informations sur les matrices à inverser, mais améliore le conditionnement;

2. régularisation de Tikhonov: l’inverse de la matrice des valeurs singulières ne vaut pas \(\text{diag}{(\frac{1}{{s}_{i}})}_{1\le i\le N}\) mais \(\text{diag}{(\frac{{s}_{i}}{{s}_{{i}^{2}}+\alpha })}_{1\le i\le N}\) . Le paramètre \(\alpha\) est appelé paramètre de Tikhonov, et permet de limiter la divergence de la solution inverse.

Dans CALC_ESSAI, on calcule successivement les inter-spectres:

• des déplacements généralisés (inversion de \(\underline{\underline{C\Phi }}\) ),

• des déplacements physiques reconstitués (pour vérification de la qualité de l’inversion),

• des efforts généralisés (multiplication par la matrice d’impédance),

• des efforts physiques (inversion de \(\underline{\underline{{\Phi}^{T}B}}\) ),

• des efforts généralisés reconstitués (pour vérification)

• des déplacements physiques par synthèse sur base modale.

Un bon critère de la qualité des résultats de l’inversion peut être la comparaison entre les déplacements mesurés, et ceux reconstitués sur la même base modale qui a servi à l’inversion (matrice d’impédence, et matrices de déformées modales).

[1]

La notion d’inter-spectre, ou de DSP, permet de décrire des phénomènes aléatoires. Pour un phénomène déterministe, \(\underline{\underline{{S}_{yy}}}=\underline{y}.\underline{{y}^{H}}\), où \(H`désigne l'opérateur hermitien. Pour un signal aléatoire, :math:\)underline{underline{{S}_{yy}}}`contient, sur sa diagonale, les puissances spectrales (auto-spectres) et sur ses termes extra-diagonaux, les corrélations entre les signaux. Par exemple, dans le cas d’un effort fluide appliqué sur une structure filaire, on imagine aisément que les tourbillons créés à la base ont tendance à se propager le long de la structure. Les termes extra-diagonaux décrivent donc cette propagation avec la phase (voir R4.07.02 pour plus de détails).

Références

1. 12. Perotin, R. Nhili, Logiciel MEIDEE version 2.1 : note de principe . Note EDF/R&D HT-32/92/014/B.

1. 19. Granger, Logiciel MEIDEE Version 2.1: Documentation informatique . Note EDF/R&D HT-32/92-15/A.

1. 3. Raynaud, Identification des spectres d’excitation fluides turbulentes sur la maquette BECASSINE à partir des essais modes crayon pour les configurations AFAG2G – 4 grilles et ENUSA Westinghouse V5H – 4grilles. Note EDF/R&D HI-86/03/030/A.

1. 3. Bodel, Identification d’efforts fluides appliqués à un tube de grappe de commande, modèle EPR. Méthodologie et résultats . Note EDF/R&D H-T61-2007-02808-FR.

1. 1. Adobes, Modélisation des excitations turbulentes . Documentation Code_Aster R4.07.02.

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Indice doc	Version Aster	Auteur(s) ou contributeur(s), organisme	Description des modifications
A	9.4	C.BODEL EDF/R&D/MMN	Texte initial