alpha=120°

alpha=105°

alpha=90°

alpha=75°

alpha=60°

alpha=45°

alpha=30°

alpha=15°

alpha=0°

v3.02.114 SSLP114 - Fissure plane semi-infinie

Résumé

Ce test permet de valider le calcul d’un champ asymptotique par la méthode XFEM. Il s’agit de vérifier si la modélisation XFEM représente fidèlement la solution analytique, de la mécanique de la rupture. Ce champ analytique est la solution exacte pour le problème d’ouverture en mode \(I\) d’une fissure plane.

Le domaine est une plaque carrée, coupée jusqu’au milieu par une fissure horizontale. Un chargement est imposé sur les 4 bords pour assurer une ouverture rigoureusement en mode \(I\) , conforme à la solution analytique. On applique des conditions limites de type «déplacement» sur les bords non fissurés, et de type «force» sur le bord coupé par la fissure.

Pour valider cette démarche, on envisage 3 modélisations:

• Modélisation A: on effectue un calcul simple à partir d’éléments linéaires (TRIA3) pour une fissure horizontale

• Modélisation B: on effectue un calcul simple à partir d’éléments quadratiques (TRIA6) pour une fissure horizontale

• Modélisation C: on incline la fissure pour changer le référentiel des formules analytiques. Pour conserver l’ouverture en mode \(I\) , on incline les champs (contrainte et déplacement) imposés sur les bords. D’une part, on évalue l’incidence de la forme du domaine sur les résultats, puisque en théorie, les équations asymptotiques ne dépendent pas de la géométrie du domaine dans le référentiel de la fissure. D’autre part, on évalue la robustesse du calcul avec la dégradation du conditionnement.

• Modélisation D: on effectue un calcul simple à partir d’éléments linéaires (TRIA3) pour une fissure horizontale, en contraintes planes

• Modélisation E: on effectue un calcul simple à partir d’éléments quadratiques (TRIA6) pour une fissure horizontale, en contraintes planes

On teste les facteurs d’intensité de contrainte \(\mathrm{KI}\) , \(\mathrm{KII}\) . Pour le mode \(I\) , on devra retrouver \(\mathrm{KII}=0\) et \(\mathit{KI}\ne 0\) , \(\mathit{KI}\) correspondant au coefficient de proportionnalité imposé aux champs solution (voir paragraphe [ 4 ]).

De même, on vérifie aussi l’exactitude du calcul du champ de déplacement calculé sur le domaine, par rapport à la solution analytique.

Modélisation A

Dans cette modélisation D_PLAN, la plaque est fissurée sur une demi-longueur. La fissure est décrite par la méthode XFEM. La fissure est enrichie géométriquement, sur un rayon \({R}_{\mathit{ENRI}}=0,1\) .

Les éléments sont linéaires de type TRIA3.

Caractéristiques du maillage

Le carré unitaire est maillé régulièrement []. Pour construire le maillage, on s’appuie sur un quadrillage régulier \(100\times 100\) .

NOMBRE DE NOEUDS : 10201

NOMBRE DE MAILLES : 20400

TRIA3 : 20000

Figure 2.1-1: Maillage avec des éléments-triangles

Grandeurs testées et résultats

Grandeurs testées:

Pour cette fissure horizontale, on teste la valeur des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) ainsi que la valeur du taux de restitution d’énergie \(G\) données par CALC_G.

Pour la méthode \(G-\mathrm{thêta}\) (commande CALC_G), on choisi la couronne de champ thêta suivante:

\({R}_{inf}=0,1a\) et \({R}_{\sup}=0,3a\) où \(a\) est la longueur de la fissure.

D’autre part, on teste le champ de déplacement calculé par Code_Aster. Au lieu d’effectuer un test local sur quelques mailles par TEST_RESU, on teste le champ de déplacement sur grand nombre de mailles. Une zone arbitraire de test a été délimitée dans le domaine [].

En pratique, on compare : \({∥{U}^{\mathit{calc}}-{U}^{\mathit{ana}}∥}_{{L}_{2}}<\mathit{tolerance}\times {∥{U}^{\mathit{ana}}∥}_{{L}_{2}}\) .

Figure 2.2.1-1: définition du GROUP_MA de test

On teste enfin l’énergie de la structure la norme \({L}^{2}\) du déplacement.dans tout le domaine.

Résultats :

Test des facteurs d’intensité de contrainte:

Identification	Référence	Tolérance
CALC_G
K1	1.00	1.0%
K2	0.00	1.0%
G	1,0 10-5	1.0%

Test de la norme_L2 de l’erreur sur le champ de déplacement: \({\Vert {U}^{\mathit{calc}}-{U}^{\mathit{ana}}\Vert }_{{L}_{2}}<\mathit{tolerance}\times {\Vert {U}^{\mathit{ana}}\Vert }_{{L}_{2}}\)

Identification	Référence	Tolérance
POST_ELEM
NORME	0.00	0.1%

Test de l’énergie de la structure:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ERREUR
REFERENCE	3,50687407712 10-6	0.1%

Test de la norme \({L}^{2}\) du déplacement.dans tout le domaine:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ERREUR
REFERENCE	7,6057690825 10-6	0.1%

Résultats complémentaires :

Sur la [], le champ de déplacement est représenté avec amplification du saut de déplacement à l’interface. On constate que la fissure s’ouvre rigoureusement en \(\mathit{mode}I\) , comme attendu.

Figure 2.3-1: Champ de déplacement (avec offset)

Modélisation B

Modélisation D_PLAN, avec la méthode XFEM pour représenter la fissure. Éléments quadratiques TRIA6.

Caractéristiques du maillage

Le carré unitaire est maillé régulièrement [].On conserve le raffinement de la modélisation précédente.

NOMBRE DE NOEUDS : 40401

NOMBRE DE MAILLES : 20400

TRIA6 : 20000

Grandeurs testées et résultats

On teste les mêmes grandeurs que dans la modélisation A.

Test des facteurs d’intensité de contrainte:

Identification	Référence	Tolérance
CALC_G
K1	1.00	1.0%
K2	0.00	1.0%
G	1,0 10-5	1.0%

Test de la norme_L2 de l’erreur sur le champ de déplacement: \({∥{U}^{\mathit{calc}}-{U}^{\mathit{ana}}∥}_{{L}_{2}}<\mathit{tolerance}\times {∥{U}^{\mathit{ana}}∥}_{{L}_{2}}\)

Identification	Référence	Tolérance
POST_ELEM
NORME	0.00	0.1%

Test de l’énergie de la structure:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ERREUR
REFERENCE	3,50687407712 10-6	0.1%

Modélisation C

Modélisation D_PLAN, avec la méthode XFEM pour représenter la fissure. Éléments quadratiques TRIA3.

Caractéristiques du maillage

Le carré unitaire est maillé régulièrement [].On conserve le raffinement des modélisations précédentes.

NOMBRE DE NOEUDS : 10201

NOMBRE DE MAILLES : 20400

TRIA3 : 20000

Grandeurs testées et résultats

On teste les mêmes grandeurs que dans la modélisation B. On vérifie les facteurs d’intensité de contraintes et le champ de déplacement sur une partie du domaine par rapport aux valeurs analytiques.

Figure 4.2-1: Définition du GROUP_MA de test Notons que pour la définition de la zone de test, pour une inclinaison variable, on généralise l’approche de la modélisation A. Selon l’inclinaison de la fissure, on teste le coin du domaine opposé à la fissure (voir [] et []).

Figure 4.2-2: Définition du GROUP_MA de test

Test des facteurs d’intensité de contrainte:

Identification	Référence	Tolérance
CALC_G
K1	1.00	1.0%
K2	0.00	1.0%
G	1,0 10-5	1.0%

Résultats complémentaires

Ci dessous, on représente le champ de déplacement (avec offset) pour une inclinaison variable de la fissure.

Modélisation D

Modélisation C_PLAN, avec la méthode XFEM pour représenter la fissure. Éléments linéaires TRIA3.

Caractéristiques du maillage

Le maillage est identique à celui de la modélisation A.

Grandeurs testées et résultats

On teste les mêmes grandeurs que dans la modélisation A.

Test des facteurs d’intensité de contrainte:

Identification	Référence	Tolérance
CALC_G
K1	1.00	1.0%
K2	0.00	1.0%
G	1,0 10-5	1.0%

Test de la norme \(L2\) de l’erreur sur le champ de déplacement:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ELEM
NORME	0.00	0.1%

Test de l’énergie de la structure:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ERREUR
REFERENCE	3,50687407712 10-6	0.1%

Test de la norme \({L}^{2}\) du déplacement.dans tout le domaine:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ERREUR
REFERENCE	7,6057690825 10-6	0.1%

Modélisation E

Modélisation C_PLAN, avec la méthode XFEM pour représenter la fissure. Éléments quadratiques TRIA6.

Caractéristiques du maillage

Le maillage est identique à celui de la modélisation B.

Grandeurs testées et résultats

On teste les mêmes grandeurs que dans la modélisation A.

Test des facteurs d’intensité de contrainte:

Identification	Référence	Tolérance
CALC_G
K1	1.00	1.0%
K2	0.00	1.0%
G	1,0 10-5	1.0%

Test de la norme \(\mathit{L2}\) de l’erreur sur le champ de déplacement:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ELEM
NORME	0.00	0.1%

Test de l’énergie de la structure:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ERREUR
REFERENCE	3,50687407712 10-6	0.1%

Test de la norme \({L}^{2}\) du déplacement.dans tout le domaine:

Identification	Référence	Tolérance
POST_ERREUR
REFERENCE	7,6057690825 10-6	0.1%

Synthèse des résultats

Les modélisations A, B, C, D et E montrent que la méthode XFEM permet de retrouver le champ asymptotique de la théorie pour une fissure s’ouvrant en mode \(I\) . On constate que le champ de déplacement est fidèlement représenté puisque, en particulier, on retrouve les valeurs analytiques des facteurs d’intensité de contrainte.

Au paragraphe [ 19 ], on a restitué l’évolution du champ de déplacements en fonction de l’angle d’inclinaison, sur une grande plage angulaire. On démontre ainsi que le champ déplacement calculé reste invariant dans le référentiel local lié à la fissure: le champ asymptotique «suit» le mouvement de la fissure, conformément à la théorie. Par conséquent, la géométrie du domaine dans le référentiel de la fissure, la régularité et la «directionnalité» du maillage, n’ont pas d’influence sur la précision des calculs du cas-test, avec des éléments linéaires.

De plus, on ne constate pas l’apparition d’une zone de transition entre les conditions de limites de Dirichlet et Neumann. Par exemple dans la modélisation C, le test sur la norme \(\mathit{L2}\) de l’erreur en déplacement, s’effectue sur le coin subissant à la fois un chargement de Neumann et une condition de Dirichlet. Le déplacement calculé par Aster «colle» à la solution analytique. Faudrait-il aussi s’assurer qu’il en va de même du champ de contraintes? Des développements dans le code_Aster devraient mettre en place un calcul de la norme en énergie pour confirmer ces observations.

Toutefois, il existe 2 limitations à la validation présentée ci-dessus:

• D’une part, l’inclinaison “à l’infini” de la fissure n’est pas possible dans notre modèle. Dans la modélisation C, l’angle d’inclinaison est compris entre \(-135°\) et \(135°\) à cause de la condition limite de Dirichlet sur l’un des bords du domaine. Étant donnée la symétrie du problème, poursuivre cette étude sur le reste du cercle trigonométrique ne paraît pas pertinent.

• D’autre part, la modélisation B montre qu’une validation est possible avec des éléments quadratiques. Cependant, on dénote une dégradation sensible du conditionnement.