v8.22.303 AHLV303 - Sphère creuse en élasticité linéaire immergée dans un fluide infini#

Résumé:

L’objectif de ce test est de valider les formulations IFS avec prise en compte de la condition de Sommerfeld. Il s’agit d’un cas-test dont la solution est (semi) analytique

Solution de référence#

Méthode de calcul#

Le problème est à symétrie sphérique. On se place donc dans le repère \((r,\theta ,\varphi )\) . On considère le cas où \({p}_{\mathit{imp}}\) ne dépend pas de \(\theta ` , ni de :math:\)varphi ` . Cette hypothèse nous permet d’exprimer la solution analytique pour le problème en régime harmonique et semi-analytique pour le problème en transitoire en exploitant la symétrie du problème. En effet, par la symétrie dans le problème, le déplacement de structure s’écrit:

(5000)#\[{u}_{s}(r,\theta ,\varphi ,t)=u(r,t){e}_{r}\]

Et la pression acoustique dans le fluide:

(5001)#\[{p}_{f}(r,\theta ,\varphi ,t)=p(r,t)\]

Le tenseur de déformation de Green-Lagrange linéarisé est donc donné par:

(5002)#\[\epsilon (r,t)=\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}(r,t){e}_{r}\otimes {e}_{r}+\frac{u(r,t)}{r}\left({e}_{\theta}\otimes {e}_{\theta}+{e}_{\varphi}\otimes {e}_{\varphi}\right)\]

Avec un matériau élastique isotrope, la contrainte de Cauchy vaut alors:

(5003)#\[\sigma (r,t)=\left((\lambda +2\mu )\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}+2\lambda \frac{u(r,t)}{r}\right){e}_{r}\otimes {e}_{r}+\left(\lambda \frac{\partial u(r,t)}{\partial r}+(\lambda +2\mu )\frac{u(r,t)}{r}\right)\left({e}_{\theta}\otimes {e}_{\theta}+{e}_{\varphi}\otimes {e}_{\varphi}\right)\]

\(\lambda ` et :math:\)mu ` étant les coefficients de Lamé.

L’expression de la conservation de la quantité de mouvement permet d’écrire:

(5004)#\[\frac{{r}^{2}}{{c}_{s}^{2}}\frac{{\partial}^{2}u(r,t)}{\partial {t}^{2}}-{r}^{2}\frac{{\partial}^{2}u(r,t)}{\partial {r}^{2}}-2r\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}+2u(r,t)=0\]

Avec la vitesse de propagation du son dans la structure \({c}_{s}\) qui vaut:

(5005)#\[{c}_{s}^{2}=\frac{\lambda +2\mu }{{\rho}_{s}}\]

\(\lambda ` et :math:\)mu ` étant les coefficients de Lamé.

(5006)#\[\frac{1}{{c}_{f}^{2}}\frac{{\partial}^{2}p}{\partial {t}^{2}}(t,x)-\Delta p(t,x)=0\]

En coordonnées sphériques, l’équation de propagation de la pression acoustique s’écrit:

(5007)#\[\frac{1}{{c}_{f}^{2}}\frac{{\partial}^{2}p}{\partial {t}^{2}}(r,t)-\frac{{\partial}^{2}p}{\partial {r}^{2}}(r,t)-\frac{2}{r}\frac{\partial p}{\partial r}(r,t)=0\]

La condition de continuité de la contrainte normale sur la surface \({\Gamma}_{\mathit{ext}}\) s’écrit sous forme d’équation scalaire:

:math:`(lambda +2mu ){frac{partial u(t)}{partial r}

}_{r={R}_{mathit{ext}}}+2lambda {frac{u(t)}{{R}_{mathit{ext}}}

}_{r={R}_{mathit{ext}}}=-{p(t)

}_{r={R}_{mathit{ext}}}`

La condition de la continuité d’accélération normale sur la surface \({\Gamma}_{\mathit{ext}}\) s’écrit:

:math:`{frac{{partial}^{2}u(t)}{partial {t}^{2}}

}_{{R}_{mathit{ext}}}=-{frac{1}{{rho}_{f}}frac{partial p(t)}{partial r}

}_{{R}_{mathit{ext}}}`

La pression est imposée sur la surface \({\Gamma}_{int}\) et s’écrit:

:math:`(lambda +2mu ){frac{partial u(t)}{partial r}

}_{r={R}_{int}}+2lambda {frac{u(t)}{{R}_{mathit{ext}}}

}_{r={R}_{int}}=-{p}_{mathit{imp}}(t)`

Enfin, on applique la condition de Sommerfeld (non-réflexion des ondes) sur la surface extérieure \({\Gamma}_{\mathit{bgt}}\) :

(5008)#\[\underset{r\to \infty }{\lim}\left(\frac{1}{{c}_{f}}\frac{\partial p}{\partial t}(r,t)+\frac{\partial p}{\partial r}(r,t)\right)=0\]

Résolution en harmonique#

On s’intéresse ici à la sollicitation de la forme \({p}_{\mathit{imp}}(t)={P}_{\mathit{imp}}{e}^{i\omega t}\) et on cherche la solution de la forme \(u(r,t)=U(r){e}^{i\omega t}\) et \(p(r,t)=P(r){e}^{i\omega t}\) . Sous cette forme, les dérivées partielles en temps sont triviales. Par exemple:

(5009)#\[u(r,t)=U(r){e}^{i\omega t}\to \frac{\partial u}{\partial t}=i\omega U(r){e}^{i\omega t}\to \frac{{\partial}^{2}u}{\partial {t}^{2}}=-i{\omega}^{2}U(r){e}^{i\omega t}\]

Le problème revient à trouver \(U\) et \(P\) qui sont solutions du problème suivant:

(5010)#\[{r}^{2}\frac{{d}^{2}U}{{\mathit{dr}}^{2}}+2r\frac{dU}{\mathit{dr}}+\left(\frac{{\omega}^{2}}{{c}_{s}^{2}}{r}^{2}-2\right)U=0\]

Et:

(5011)#\[\frac{{d}^{2}P}{{\mathit{dr}}^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\mathit{dP}}{\mathit{dr}}+\frac{{\omega}^{2}}{{c}_{f}^{2}}P=0\]

La solution du problème () s’écrit:

(5012)#\[U(r)=A(\omega ){j}_{1}\left(\frac{\omega}{{c}_{s}}r\right)+B(\omega ){y}_{1}\left(\frac{\omega}{{c}_{s}}r\right)\]

Où \({j}_{1}\) et \({y}_{1}\) sont, respectivement, la fonction de Bessel sphérique d’ordre 1 du premier type et la fonction de Bessel sphérique d’ordre 1 du second type.

La solution du problème () s’écrit:

(5013)#\[P(r)=C(\omega )\frac{{e}^{-i\omega r/{c}_{f}}}{r}+D(\omega )\frac{{e}^{i\omega r/{c}_{f}}}{r}\]

Pour trouver les valeurs \(A(\omega )\) , \(B(\omega )\) , \(C(\omega )\) et \(D(\omega )\) . On se sert des conditions limites.

Dans l’équation (), le terme en \(\frac{{e}^{-i\omega r/{c}_{f}}}{r}\) correspond à l’onde se propageant radialement vers l’infini tandis que l’autre terme \(\frac{{e}^{i\omega r/{c}_{f}}}{r}\) est la réflexion de l’onde (vers la source). Comme on impose une condition de non-réflexion, sur le bord extérieur, cette deuxième contribution est nulle et on a donc \(D(\omega )=0\) .

Grandeurs et résultats de référence#

Pour calculer la solution, il faut avoir une estimation des fonctions de Bessel. On utilise pour ça scipy, (fonctions spéciales). On récupère le déplacement en deux points: Uint sur la surface de la structure \({\Gamma}_{int}\) , Uext sur la surface IFS \({\Gamma}_{\text{ext}}\) . La pression est relevée Pext sur la surface IFS \({\Gamma}_{\text{ext}}\) et Pbgt sur la surface extérieure \({\Gamma}_{\text{bgt}}\) .