v6.04.272 SSNV272 - Essai de traction - compression homogène et confinée, sans viscosité#

Résumé:

Ce test modélise un essai homogène en traction confinée suivie par de la compression confinée. Aucune viscosité n’est activée. Une première modélisation (A) est en 3D, une autre (B) en déformations planes. Le test permet de valider la loi ENDO_LOCA_TC décrite dans [R7.01.47] ou dans [Lorentz-2025].

La validation est analytique.

Solution de référence#

Données entrées et paramètres matériaux#

Tableau 149 Jeu de paramètres en entrée#
Nom	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de Poisson	\(\nu\)	0.2
Coefficient d’écrouissage en traction	p	1.5	–
Résistance en compression	\(f_{c}\)	40	MPa
Distance inter-fissure	\(L_{F}\)	200	mm

Les valeurs des paramètres internes sont calculées à l’aide du fib Model Code ([fib-2010]) à l’aide Tableau 149. Les équations sont extraites de [R7.01.47].

(4864)#\[ E = 21500*\left(\frac{f_{c}}{10}\right)^\left(1/3\right) \quad;\quad \nu = 0.2 \quad;\quad G_{F}=73*f_{c}^{0.18} \quad;\quad f_{t}=0.3*\left(f_{c}-8\right)^\left(2/3\right)\]

Ces équations permettent de retrouver les valeurs du module Young, de \(f_{t}\) et \(G_{F}\). La valeur de \(\sigma^{0}\) est fixée à \(f_c/3\) (voir v6.04.272-tab-para).

DEFI_MATER_GC évalue le dernier paramètre interne de la loi à partir des valeurs précédentes à savoir l’énergie consommée normalisée \(\bar{\omega}\) définie par :

(4865)#\[ \bar{\omega}=\frac{2E_{C}\,G_{F}}{L_{F}\,f_{t}^2}\]

Avec le module Young en traction confiné défini par :

(4866)#\[ E_{c}=\lambda+2\mu=\frac{\left(1-\nu\right)\,E}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}\]

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

En traction confinée, la contrainte SIXX suit la relation suivante :

(4867)#\[ \sigma_{t}=A\left(a\right)\,E_{c}\,\varepsilon_{t}\]

avec \(A\left(a\right)\) la rigidité en traction défini par :

(4868)#\[ A\left(a\right)=\frac{1-a}{e\left(a\right)} \quad;\quad e\left(a\right) = 1-a+\frac{\bar{\omega}}{2}\left[m_{0}a+\left(D_{1}-m_{0}\right)a^{r}\right]\]

\(m_{0}\), \(D_{1}\) et r s’exprime uniquement à l’aide du paramètre p de la loi ENDO_LOCA_TC :

(4869)#\[ m_{0}=\frac{3\pi}{2}\left(p+2\right)^{-3/2}, D_{1}=\frac{3\pi}{4}\sqrt{1+p}\quad;\quad r= \frac{2\left(D_{1}-1\right)-m_{0}}{2-m_{0}}\]

Ces équations permettent de calculer la déformation à la limite en traction :

(4870)#\[ \varepsilon_{e}=\frac{f_{t}}{E_{c}}\]

Puis la déformation attendue pour un endommagement a de 0.1 :

(4871)#\[ \varepsilon_{t}=\frac{\sigma_{t}}{A\left(a\right)\,E_{c}}\]

sachant que la contrainte effective est aussi définie par :

(4872)#\[ \sigma_{t}=\left(1-a\right)\,f_{t}\]

En phase de compression, l’endommagement a ne varie pas. On choisit un rapport 15 entre la déformation finale de compression \(\varepsilon_{c}\) et la déformation finale de traction \(\varepsilon_{t}\). Après une décharge élastique de raideur \(E_c\, A(a)\), la déformation devient négative. La contrainte et l’endommagement s’écrivent alors:

(4873)#\[ \sigma=C\left(c\right)\,E_c\,\varepsilon\]

(4874)#\[ c = max \left( 1 \, , \, - \, \frac{E_c \, \varepsilon}{\sigma^0} \right)\]

où \(C\left(c\right)\) est la rigidité résiduelle normalisée de compression avec c l’endommagement en compression. Elle s’écrit :

(4875)#\[ C\left(c\right)=\frac{1}{c}\left[1+\left(\frac{f_{c}}{\sigma^{0}}-1\right)\tanh\left(\frac{c-1}{\frac{f_{c}}{\sigma^{0}}-1}\right)\right] \quad ;\quad f_{c}>\sigma^{0}\]

Ces équations permettent d’évaluer les contraintes, les déformations et les variables internes du modèle.

Données post-traitées et testées#

Pour le post-traitement en traction, l’énergie de déformation correspondant aux contraintes élastiques de traction appelée ENERTRAC suit l’équation suivante :

(4876)#\[ ENERTRAC = 1/2*E_{c}*\varepsilon_{t}^{2}\]

HISTTRAC correspond à a et ENDOTRAC correspond à \(1-A\left(a\right)\). Pour la compression, ENDOCOMP désigne \(1-C\left(c\right)\) et les énergies sont :

(4877)#\[ ENERTRAC = 1/2*E_{c}*max\left(\varepsilon_{c},0\right)^{2}\]

(4878)#\[ ENERCOMP=1/2*E_{c}*min\left(\varepsilon_{c},0\right)^{2}\]

Incertitudes sur la solution#

Néant.

Références bibliographiques#

[Lorentz-2025]

Lorentz, E., 2025. Construction, justification théorique et implantation numérique du modèle d’endommagement local de béton ENDO_LOCA_TC, Note EDF R&D 6125-1723-2024-03235-FR.

[fib-2010]

fib, 2010. Model Code for Concrete Stuctures. Fédération Internationale du Béton. éd. Berlin: Ernst & Sohn.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit d’une modélisation 3D à l’échelle d’un point matériel (SIMU_POINT_MAT).

Caractéristiques du maillage#

Néant.

Grandeurs testées et résultats de la modélisation A#

On teste la composante de contrainte SIXX et les variables internes à l’issue de la phase de traction (Instant = 2) avec un endommagement a de 0.1 puis de la phase de compression (Instant final = 3).

Tableau 150 Valeur des tests à la fin de la traction#
Identification	Référence	Type	Tolérance
SIXX	2.72	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V3 (HISTRAC)	0.1	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V2 (ENDOTRAC)	0.19167385922560198	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V4 (ENERTRAC)	0.00014945426341367903	ANALYTIQUE	RELATIF \(3.36 {10}^{-8}\)

Tableau 151 Valeur des tests à la fin de la compression#
Identification	Référence	Type	Tolérance
SIXX	-36.90674800411279	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V3 (HISTRAC)	0.1	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V5 (ENDOCOMP)	0.2691907069188064	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V4 (ENERTRAC)	2.0134637013224932e-11	ANALYTIQUE	RELATIF \(3.36 {10}^{-8}\)
V7 (ENERCOMP)	0.03362720926807778	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit d’une modélisation D_PLAN à l’échelle d’un point matériel (SIMU_POINT_MAT).

Caractéristiques du maillage#

Néant.

Grandeurs testées et résultats de la modélisation B#

On teste la composante de contrainte SIXX et les variables internes à l’issue de la phase de traction avec un endommagement a de 0.1 puis à l’issue de la phase de compression.

Tableau 152 Valeur des tests à la fin de la traction#
Identification	Référence	Type	Tolérance
SIXX	2.721429467772926	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V3 (HISTRAC)	0.1	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V2 (ENDOTRAC)	0.19167385922548819	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V4 (ENERTRAC)	0.00014945426341367903	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)

Tableau 153 Valeur des tests à la fin de la compression#
Identification	Référence	Type	Tolérance
SIXX	-36.90674800411279	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V3 (HISTRAC)	0.1	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V5 (ENDOCOMP)	0.2691907069188064	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)
V4 (ENERTRAC)	2.0134637013224932e-11	ANALYTIQUE	RELATIF \(3.36 {10}^{-8}\)
V7 (ENERCOMP)	0.03362720926807778	ANALYTIQUE	RELATIF \({10}^{-6}\)

Modélisation C#

Cette modélisation est une copie de la modélisation A destinée à couvrir les différentes valeurs des mots-clés UNITE_LONGUEUR et UNITE_CONTRAINTE. Les résultats sont les mêmes aux unités près.

Synthèse des résultats#

On note un très bon accord entre la modélisation et la solution de référence, aussi bien pendant la phase d’endommagement en traction que lors de la restauration de rigidité en compression. Les courbes suivantes donnent les réponses numériques du modèle ENDO_LOCA_TC.

../../../../_images/courbe_trac_comp_zoom1.svg — Fig. 665 Réponse du modèle sous sollicitations uniaxiale avec zoom sur la contrainte en traction. Traction puis compression simple.#

../../../../_images/courbe_trac_comp1.svg — Fig. 666 Réponse du modèle sous sollicitations uniaxiale avec zoom sur la contrainte en traction. Traction puis compression simple.#

Remarque : Sur les graphiques précédents, un point supplémentaire a été introduit par rapport aux instants enregistrés dans le cas test. Il correspond au passage en (0,0) lors du passage de la traction à la compression, pour insister sur l’absence de déformation résiduelle dans le béton lors de ce passage. Il suffit d’imposer dans le cas test un point à 0 de déformation avant le passage à la compression pour retrouver cette courbe.