v2.01.313 SDLD313 - Système masse ressort à 2 degrés de liberté avec amortissement hystérétique#
Résumé:
Ce problème unidirectionnel consiste à effectuer une analyse harmonique d’une structure mécanique composée d’un ensemble de masses-ressorts avec amortissement hystérétique et soumise à une excitation sinusoïdale. Ce test de mécanique des structures correspond à une analyse dynamique d’un modèle discret ayant un comportement linéaire. Il comprend trois modélisations.
Par l’intermédiaire de la modélisation A, on teste les éléments discrets en translation (masse, ressort), les options AMOR_HYST de AFFE_CARA_ELEM.
Par l’intermédiaire de la modélisation B, on teste les éléments de poutre (POU_D_T), les options AMOR_HYST de DEFI_MATERIAU,
Par l’intermédiaire de la modélisation C, on teste le calcul modal (CALC_MODES) complexe.
Les résultats obtenus pour les deux premières modélisations (champ de déplacement pour différentes fréquences d’excitation) sont en bon accord avec les résultats du guide VPCS. Les résultats obtenus pour la troisième modélisation sont en bon accord avec les résultats semi-analytiques.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Le système d’équations différentielles du second ordre couplées est de la forme :
\(M\ddot{u}+Ku=F\)
avec \(M=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 10& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]\) et \(K=28000\left[\begin{array}{ccc}1+0.1j& -1-0.1j& 0\\ -1-0.1j& 2+0.1j& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\)
La solution \(\omega\) à une excitation harmonique \(\mathrm{F}={\mathrm{F}}_{0}{e}^{j\omega t}({j}^{2}=-1)\) est de la forme \(u={u}_{0}{e}^{j\omega t}\) , ce qui conduit à : \((\mathrm{K}-\mathrm{M}{\omega}^{2}){u}_{0}={\mathrm{F}}_{0}\)
Ce système est résolu pour tout \(\omega\) .
Grandeurs et résultats de référence#
Déplacement selon \(x\) du point \(C\) pour certaines fréquences.
Fréquences propres et amortissement réduits.
Incertitudes sur la solution#
Solution semi-analytique.
Références bibliographiques#
PIRANDA: Notice d’utilisation du logiciel d’analyse modale MODAN - Version 0.2 (1990). Laboratoire de Mécanique Appliquée - Université de Franche Comté‑ Besançon (France).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément discret de rigidité en translation
Caractéristiques des éléments
DISCRET: |
avec masses nodales |
M_T_D_N |
et matrices de rigidité |
K_T_D_L |
Conditions aux limites:
en tous les nœuds |
DDL_IMPO: |
( TOUT:’OUI’ DY: 0. , DZ: 0. ) |
au nœud extrémité \(A\) |
( GROUP_NO: A DX: 0. ) |
Noms des nœuds:
Point \(A=\mathit{N1}\) |
Point \(B=\mathit{N2}\) |
Point \(C=\mathit{N3}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Parties réelle et imaginaire de la composante \(\mathit{DX}\) du déplacement du point \(C\) .
Fréquence |
Référence |
Aster |
% Différence |
0.00 |
7.1075E-03 –3.5360E-04 |
7.1074964639321E-03 –3.5360678925035E-04 |
1.08E-04 |
3.36870E+00 |
9.388216E-03 –7.31196E-04 |
9.3882649899583E-03 –7.3120610001073E-04 |
5.31E-04 |
6.48480E+00 |
–5.0269E-03 –7.07103E-02 |
–5.0349198344062E-03 –7.0708581052416E-02 |
0.012 |
8.00060E+00 |
–9.54931E-03 –2.2154E-03 |
–9.5490053525137E-03 –2.2153458282190E-03 |
0.003 |
1.18746E+01 |
–4.23259E-05 –3.57193E-04 |
–4.2266734408325E-05 –3.5719325443817E-04 |
0.016 |
1.34747E+01 |
2.35524E-03 –5.01765E-04 |
2.3552527130123E-03 –5.0176685846530E-04 |
5.34E-04 |
1.55802E+01 |
–1.6395374E-02 –6.871471E-02 |
–1.6420641488151E-02 –6.8704047854161E-02 |
0.039 |
2.10543E+01 |
–1.88977E-03 –5.53314E-06 |
–1.8897660707219E-03 –5.5328629109043E-06 |
2.08E-04 |
Remarques#
Contenu du fichier résultats:
Les valeurs du déplacement de la composante \(\mathit{DX}\) du point \(C\) pour toutes les fréquences de \(0\) à \(2.10543E+\mathrm{01Hz}\) par pas de \(3.3687\) .
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément continu de type poutre en traction
Caractéristiques des éléments
DISCRET: |
masses nodales |
M_T_D_N |
POUTRE: |
matrices de rigidité |
POU_D_T |
Conditions aux limites:
en tous les nœuds |
DDL_IMPO: |
( TOUT:’OUI’ DY: 0. , DZ: 0. ) |
au nœud extrémité \(A\) |
( GROUP_NO: A DX: 0. ) |
Noms des nœuds:
Point \(A=\mathit{N1}\) |
Point \(B=\mathit{N2}\) |
Point \(C=\mathit{N3}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Parties réelle et imaginaire de la composante \(\mathit{DX}\) du déplacement du point \(C\) .
Fréquence |
Référence |
Aster |
% Différence |
0.00 |
7.1075E-03 –3.5360E-04 |
7.1074964639321E-03 –3.5360678925035E-04 |
1.08E-04 |
3.36870E+00 |
9.388216E-03 –7.31196E-04 |
9.3882649899583E-03 –7.3120610001073E-04 |
5.31E-04 |
6.48480E+00 |
–5.0269E-03 –7.07103E-02 |
–5.0349198344064E-03 –7.0708581052416E-02 |
0.012 |
8.00060E+00 |
–9.54931E-03 –2.2154E-03 |
–9.5490053525137E-03 –2.2153458282190E-03 |
0.003 |
1.18746E+01 |
–4.23259E-05 –3.57193E-04 |
–4.2266734408325E-05 –3.5719325443817E-04 |
0.016 |
1.34747E+01 |
2.35524E-03 –5.01765E-04 |
2.3552527130123E-03 –5.0176685846530E-04 |
5.34E-04 |
1.55802E+01 |
–1.6395374E-02 –6.871471E-02 |
–1.6420641488152E-02 –6.8704047854161E-02 |
0.039 |
2.10543E+01 |
–1.88977E-03 –5.53314E-06 |
–1.8897660707219E-03 –5.5328629109043E-06 |
2.08E-04 |
Remarques#
Contenu du fichier résultats:
Les valeurs du déplacement de la composante \(\mathit{DX}\) du point \(C\) pour toutes les fréquences de \(0\) à \(2.10543E+\mathrm{01Hz}\) par pas de \(3.3687\) .
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément discret de rigidité en translation
Test informatique de vérification d’un calcul modal GEP à modes complexes (via un amortissement hystérétique dans la matrice K). Intercomparaison des valeurs analytiques/valeurs fournies par numpy (valeurs de référence) et de celles produites par deux solveurs modaux de CALC_MODES: SORENSEN et QZ. Pour chacune de ces méthodes modales, on effectue 20 calculs en variant:
5 valeurs d’amortissement différentes: 0.1, -0.1, 10.0, 1.0e-6, 0.0;
4 prises en compte différentes des conditions limites: DDL_IMPO seul, MECA_IMPO seul ou 2 panachages possibles des deux.
Pour chacun de ces 40 calculs on teste, en non-régression, la fréquence, l’amortissement réduit et la rigidité et masse généralisées. Seuls les deux premiers paramètres sont aussi comparés à des valeurs analytiques et numpy.
Remarque: Le prototype de calcul numpy ayant permis de produire les valeurs de référence est laissé en commentaires dans le fichier de commande.
Caractéristiques des éléments
DISCRET: |
avec masses nodales |
M_T_D_N |
et matrices de rigidité |
K_T_D_L |
Conditions aux limites:
Pour chaque configuration de calcul, 5 valeurs d’amortissement différentes x 2 solveurs modaux distincts, on fait varier la prise en compte des conditions limites: DDL_IMPO seul, MECA_IMPO seul ou 2 panachages possibles des deux.
en tous les nœuds |
DDL_IMPO ou MECA_IMPO |
( TOUT:’OUI’ DY: 0. , DZ: 0. ) |
au nœud extrémité \(A\) |
DDL_IMPO ou MECA_IMPO |
( GROUP_NO: A DX: 0. ) |
Noms des nœuds:
\(\mathit{Point}A=\mathit{N1}\) |
\(A=\mathit{N1}\) |
\(\mathit{Point}B=\mathit{N2}\) |
\(B=\mathit{N2}\) |
\(\mathit{Point}C=\mathit{N3}\) |
\(C=\mathit{N3}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 3
Nombre de mailles et types : 2 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Fréquences propres et amortissements réduits pour chacune des valeurs d’amortissement hystérétique. La valeur code_aster est celle issue de la première configuration: DDL_IMPO seul et méthode de SORENSEN.
Fréquences propres pour l’amortissement=0.1
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
6.46222526308711 |
6.462225263087109 |
2.748832E-14 |
2 |
15.560069882271089 |
15.560069882271092 |
2.283225E-14 |
Amortissements réduits pour l’amortissement=0.1:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
0.04249782015413385 |
0.04249782015413381 |
9.796588E-14 |
2 |
0.007323637911698332 |
0.007323637911698352 |
2.723963E-13 |
Fréquences propres pour l’amortissement=-0.1
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
6.46222526308711 |
6.462225263087109 |
2.748832E-14 |
2 |
15.560069882271089 |
15.560069882271092 |
2.283225E-14 |
Amortissements réduits pour l’amortissement=-0.1:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
-0.04249782015413385 |
-0.04249782015413384 |
1.632765E-14 |
2 |
-0.007323637911698332 |
-0.0073236379116983046 |
3.789862E-13 |
Fréquences propres pour l’amortissement=10.0:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
11.940974109047797 |
11.940974109047799 |
1.487615E-14 |
2 |
26.62894000595828 |
26.628940005958274 |
2.668310E-14 |
Amortissements réduits pour l’amortissement=10.0:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
0.05084398132271347 |
0.05084398132271348 |
1.364742E-14 |
2 |
0.6324390493148134 |
0.6324390493148134 |
0.0 |
Fréquences propres pour l’amortissement=1.e-6:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
6.445680930313876 |
6.445680930313873 |
4.133831E-14 |
2 |
15.561250320689263 |
15.56125032068925 |
7.990680E-14 |
Amortissements réduits pour l’amortissement=1.e-6:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
4.2677669529645575E-07 |
4.267766953033847E-07 |
1.623552E-09 |
2 |
7.322330470336444E-08 |
7.322330468935464E-08 |
1.913299E-08 |
Fréquences propres pour l’amortissement=0.0:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
6.445680930312213 |
6.445680930312216 |
1.377944E-14 |
2 |
15.561250320689378 |
15.561250320689375 |
0.0 |
Amortissements réduits pour l’amortissement=0.0:
Numéro d’ordre |
Référence |
Aster |
% Différence |
1 |
0.0 |
1.5717152502541266E-18 |
1.571715E-18 |
2 |
0.0 |
1.210686181296381E-17 |
1.210686E-17 |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus sont excellents.