v3.02.307 SSLP307 - Plaque mince dont les deux bords opposés sont en appui simple

Résumé:

Le test a pour but de valider l’élément créé automatiquement à partir de Fenicsx basé sur la théorie de Reissner-Mindlin et la procédure MITC (en anglais, Mixed Interpolation of Tensorial Component).

La solution de référence est analytique.

Le nouvel élément fini PLAQ_MITC (discrétisé avec QUAD9 et TRI6) est comparé avec l’élément DST.

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Pour toutes les modélisations la valeur du déplacement vertical est donnée par:

\[w(x, y) = \sum_{m=1,3,5,\ldots} \left( \cfrac{4}{ \pi^5 m^5} + A_m \cosh{(\bar{Y})} + B_m \bar{Y} \sinh{(\bar{Y})} \right) \sin{(\bar{X})}\]

où

\[\begin{split}\begin{aligned} \bar{X} &= m \pi x \\ \bar{Y} &= m \pi (y - 0.5) \\ \alpha_m & = \cfrac{m \pi} {2} \\ A_m &= \cfrac{4}{ \pi^5 m^5} \cfrac{ \nu (1 + \nu) \sinh(\alpha_m) - \nu (1 - \nu) \alpha_m \cosh(\alpha_m) }{ (3 + \nu) (1 - \nu) \sinh(\alpha_m) \cosh(\alpha_m) - (1 - \nu)^2 \alpha_m }\\ B_m &= \cfrac{4}{ \pi^5 m^5} \cfrac{ \nu (1 - \nu) \sinh(\alpha_m) }{ (3 + \nu) (1 - \nu) \sinh(\alpha_m) \cosh(\alpha_m) - (1 - \nu)^2 \alpha_m } \end{aligned}\end{split}\]

Résultats de référence

Fig 1. Solution de référence pour les modélisations A, B, C, D et E.

Incertitude sur la solution

Solution analytique.

Références bibliographiques

1. Timoshenko, Stephen, and Sergius Woinowsky-Krieger. « Theory of plates and shells. » (1959).

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

C’est une modélisation PLAQ_MITC faite via fenicsx.

Le maillage de \(\Omega=[0,1]^2\) est directement construit par :

mesh = CA.Mesh.buildSquare(refine=FINE_REFINEMENT)

Conditions limites:

sur les bords : \(\lbrace 0, 1\rbrace\times[0, 1]\):

MECA_IMPO=_F(DZ=0, GROUP_MA=("LEFT", "RIGHT"))

Remarque:

A présent, PLAQ_MITC ne considère que la mouvement de type COQUE et on n’impose donc pas les déplacements DX, DY, DRZ.

Chargement:

PRES_REP=_F(GROUP_MA="SURFACE", PRES=PRES)

où PRES est une CONSTANTE qui ne dépend que de l’épaisseur problème de référence.

Caractéristiques du maillage

Les données suivantes correspondent au niveau de raffinement 6:

Nombre de nœuds : 16641.

Nombre de mailles et types : 4352, 256 SEG3, 4096 QUAD9.

Valeurs testées

On teste l’erreur relative entre le déplacement théorique et le déplacement obtenu à partir du modèle à l’aide de la norme discrète \(L^2\).

Niveau de raffinement	Erreur relative
4	4.20e-03
5	1.08e-03
6	2.76e-04

Modélisation B

Caractéristiques de la modélisation

Idem modélisation A.

Caractéristiques du maillage

Les données suivantes correspondent au niveau de raffinement 6:

Nombre de nœuds : 16641.

Nombre de mailles et types : 8448, 256 SEG3, 8192 TRIA6.

Valeurs testées

On teste l’erreur relative entre le déplacement théorique et le déplacement obtenu à partir du modèle à l’aide de la norme discrète \(L^2\).

Niveau de raffinement	Erreur relative
4	1.92e-03
5	4.95e-04
6	1.31e-04

Modélisation C

Caractéristiques de la modélisation

C’est une modélisation DST.

Conditions limites :

sur tous les bords de la géométrie : \({0, 1}\times[0, 1] \cup [0, 1]\times{0, 1}\):

MECA_IMPO=_F(DX=0, DY=0, DZ=0, DRX=0, DRY=0, DRZ=0, GROUP_MA=("LEFT", "RIGHT", "TOP", "BOTTOM"))

Chargement:

FORCE_COQUE=_F(GROUP_MA="SURFACE", PRES=PRES)

où PRES est une CONSTANTE qui ne dépend que de l’épaisseur problème de référence.

Caractéristiques du maillage

Les données suivants correspond au niveau de raffinement 6:

Nombre de nœuds : 4225

Nombre de mailles et types : 4352, 256 SEG2, 4096 QUAD4

Valeurs testées

On teste l’erreur relative entre le déplacement théorique et le déplacement obtenu à partir du modèle à l’aide de la norme discrète \(L^2\).

Niveau de raffinement	Erreur relative
4	3.68e-03
5	9.19e-04
6	2.29e-04

Modélisation D

Caractéristiques de la modélisation

On utilise la même approche que dans la modélisation A, sauf qu’on part d’un maillage grossier différent.

Caractéristiques du maillage

Les données suivantes correspondent au niveau de raffinement 4:

Nombre de nœuds : 16641

Nombre de mailles et types : 4352, 256 SEG3, 4096 QUAD9

Valeurs testées

On teste l’erreur relative entre le déplacement théorique et le déplacement obtenu à partir du modèle à l’aide de la norme discrète \(L^2\).

Niveau de raffinement	Erreur relative
2	5.49e-03
3	1.41e-03
4	3.61e-04

Modélisation E

Caractéristiques de la modélisation

On utilise la même approche que dans la modélisation C, sauf qu’on part d’un maillage grossier différent.

Caractéristiques du maillage

Les données suivantes correspondent au niveau de raffinement 4:

Nombre de nœuds : 4225

Nombre de mailles et types : 4352, 256 SEG2, 4096 QUAD4

Valeurs testées

On teste l’erreur relative entre le déplacement théorique et le déplacement obtenu à partir du modèle à l’aide de la norme discrète \(L^2\).

Niveau de raffinement	Erreur relative
2	4.91e-03
3	1.23e-03
4	3.04e-04

Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont très satisfaisants. Toutes les modélisations ont le taux de convergence attendu. Une dégradation de la précision est attendue dans les modélisation D et E ayant une discrétisation plus « complexe » que les autres.