v6.01.125 SSNA125 - Sphère creuse quasi-incompressible avec pression interne et externe#
Résumé:
On considère une sphère modélisée en axisymétrie soumise à des pressions interne et externe. Le calcul est élastique linéaire. La simulation est comparée à une solution analytique.
Ce test permet de valider les éléments AXIS en quasi-incompressible.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Le champ de déplacement en coordonnées sphériques s’écrit sous la forme:
\(U(r,\theta ,\varphi )={u}_{r}(r,\theta ,\varphi ){e}_{r}+{u}_{\theta}(r,\theta ,\varphi ){u}_{\theta}+{u}_{\varphi}(r,\theta ,\varphi ){e}_{\varphi}\)
Dans notre cas, une pression est appliquée seulement suivant la direction \({e}_{r}\) . Donc, on peut écrire le champ de déplacement sous la forme:
\(U(r)={u}_{r}(r){e}_{r}\)
L’équation de Lamé Navier pour ce problème s’écrit:
\(\rho f=(\lambda +2\mu )\nabla \wedge (\nabla \wedge u)+\rho b\)
On a: \(f=0\) et \(b=0\) .
Le champ de déplacement solution de cette équation est de la forme:
\(U(r)=({C}_{1}r+{C}_{2}/{r}^{2}){e}_{r}\)
Les conditions aux limites permettent d’obtenir l’expression des constantes:
\({C}_{2}=\frac{(-{P}_{i}+{P}_{e}){R}_{e}^{3}{R}_{i}^{3}}{4\mu ({R}_{i}^{3}-{R}_{e}^{3})}\)
\({C}_{1}=\frac{1}{3\lambda +2\mu }(-{P}_{i}+\frac{4\mu {C}_{2}}{{R}_{i}^{3}})\)
Le tenseur de déformation s’écrit,
\({ϵ}_{\mathit{rr}}={C}_{1}-\frac{{\mathrm{2C}}_{2}}{{r}^{3}}\)
\({ϵ}_{\theta \theta }={C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}}\)
\({ϵ}_{\varphi \varphi }={C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}}\)
\({ϵ}_{\theta \varphi }={ϵ}_{\theta r}={ϵ}_{r\varphi }=0\)
et le tenseur des contraintes s’écrit:
\({\sigma}_{\mathit{rr}}={\mathrm{3C}}_{1}\lambda +2\mu ({C}_{1}-\frac{{\mathrm{2C}}_{2}}{{r}^{3}})\)
\({\sigma}_{\theta \theta }={\mathrm{3C}}_{1}\lambda +2\mu ({C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}})\)
\({\sigma}_{\varphi \varphi }={\mathrm{3C}}_{1}\lambda +2\mu ({C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}})\)
\({\sigma}_{\theta \varphi }={\sigma}_{\theta r}={\sigma}_{r\varphi }=0\)
Les conditions aux limites qui permettent d’obtenir les coefficients \({C}_{1},{C}_{2}\) sont alors:
\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}({R}_{i})=-{P}_{i}\\ {\sigma}_{\mathit{rr}}({R}_{e})=-{P}_{e}\end{array}\)
Grandeurs et résultats de référence#
La trace des contraintes aux points de Gauss est comparée avec la solution analytique \(trace(\sigma)=-449.54954955 \mathrm{Pa}\). Toutes les valeurs numériques sont données en unité SI.
Incertitudes sur la solution#
Il n’y a pas d’incertitude sur la solution, celle-ci étant analytique.
Références bibliographiques#
A.F. Bower, Applied Mechanics of Solids , Taylor and Francis, 2010.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation en axisymétrie (AXIS). La sphère est maillée avec des éléments quadrangulaires quadratiques.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte 450 mailles de type QUAD8.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la trace des contraintes aux points de Gauss.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation en axisymétrie (AXIS_INCO_UPG). La sphère est maillée avec des éléments quadrangulaires quadratiques.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte 450 mailles de type QUAD8.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la trace des contraintes aux points de Gauss.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation en axisymétrie (AXIS_HHO linéaire). La sphère est maillée avec des éléments quadrangulaires quadratiques.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte 450 mailles de type QUAD9.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la trace des contraintes aux points de Gauss.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation en axisymétrie (AXIS_HHO quadratique). La sphère est maillée avec des éléments quadrangulaires quadratiques.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage comporte 450 mailles de type QUAD9.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la trace des contraintes aux points de Gauss.
Synthèse#
Les différentes modélisations de ce cas test valident les éléments AXIS avec contact en X-FEM.