v6.01.125 SSNA125 - Sphère creuse avec pression interne et externe#

Résumé:

On considère une sphère modélisée en axisymétrie soumise à des pressions interne et externe. Le calcul est élastique linéaire. La simulation est comparée à une solution analytique.

Ce test permet de valider les éléments AXIS avec contact dans le cadre de l’approche X-FEM.

Solution de référence#

Méthode de calcul#

Le champ de déplacement en coordonnées sphériques s’écrit sous la forme:

\(U(r,\theta ,\varphi )={u}_{r}(r,\theta ,\varphi ){e}_{r}+{u}_{\theta}(r,\theta ,\varphi ){u}_{\theta}+{u}_{\varphi}(r,\theta ,\varphi ){e}_{\varphi}\)

Dans notre cas, une pression est appliquée seulement suivant la direction \({e}_{r}\) . Donc, on peut écrire le champ de déplacement sous la forme:

\(U(r)={u}_{r}(r){e}_{r}\)

L’équation de Lamé Navier pour ce problème s’écrit:

\(\rho f=(\lambda +2\mu )\nabla \wedge (\nabla \wedge u)+\rho b\)

On a: \(f=0\) et \(b=0\) .

Le champ de déplacement solution de cette équation est de la forme:

\(U(r)=({C}_{1}r+{C}_{2}/{r}^{2}){e}_{r}\)

Les conditions aux limites permettent d’obtenir l’expression des constantes:

\({C}_{2}=\frac{(-{P}_{i}+{P}_{e}){R}_{e}^{3}{R}_{i}^{3}}{4\mu ({R}_{i}^{3}-{R}_{e}^{3})}\)

\({C}_{1}=\frac{1}{3\lambda +2\mu }(-{P}_{i}+\frac{4\mu {C}_{2}}{{R}_{i}^{3}})\)

Le tenseur de déformation s’écrit,

\({ϵ}_{\mathit{rr}}={C}_{1}-\frac{{\mathrm{2C}}_{2}}{{r}^{3}}\)

\({ϵ}_{\theta \theta }={C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}}\)

\({ϵ}_{\varphi \varphi }={C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}}\)

\({ϵ}_{\theta \varphi }={ϵ}_{\theta r}={ϵ}_{r\varphi }=0\)

et le tenseur des contraintes s’écrit:

\({\sigma}_{\mathit{rr}}={\mathrm{3C}}_{1}\lambda +2\mu ({C}_{1}-\frac{{\mathrm{2C}}_{2}}{{r}^{3}})\)

\({\sigma}_{\theta \theta }={\mathrm{3C}}_{1}\lambda +2\mu ({C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}})\)

\({\sigma}_{\varphi \varphi }={\mathrm{3C}}_{1}\lambda +2\mu ({C}_{1}+\frac{{C}_{2}}{{r}^{3}})\)

\({\sigma}_{\theta \varphi }={\sigma}_{\theta r}={\sigma}_{r\varphi }=0\)

Les conditions aux limites qui permettent d’obtenir les coefficients \({C}_{1},{C}_{2}\) sont alors:

\(\begin{array}{c}{\sigma}_{\mathit{rr}}({R}_{i})=-{P}_{i}\\ {\sigma}_{\mathit{rr}}({R}_{e})=-{P}_{e}\end{array}\)

Grandeurs et résultats de référence#

Les déplacements et pression de contact au niveau de l’interface sont utilisés pour la validation de l’approche pour l’ensemble des quatre modélisations présentées dans ce cas test.

Pour la valeur du champ de déplacement radial testé sous forme de formule en \(r={R}_{f}\) , nous avons:

\({U}_{r}({R}_{f})=\frac{1}{3\lambda +2\mu }(\frac{-{P}_{i}{R}_{i}^{3}+{P}_{e}{R}_{e}^{3}}{{R}_{i}^{3}-{R}_{e}^{3}}){R}_{f}+\frac{(-{P}_{i}+{P}_{e}){R}_{i}^{3}{R}_{e}^{3}}{4\mu {R}_{f}^{2}({R}_{i}^{3}-{R}_{e}^{3})}\)

Pour la valeur du champ de pression de contac testé sous forme de formule en \(r={R}_{f}\) , nous avons:

\({\sigma}_{\mathit{rr}}({R}_{f})=(\frac{-{P}_{i}{R}_{i}^{3}+{P}_{e}{R}_{e}^{3}}{{R}_{i}^{3}-{R}_{e}^{3}})-\frac{(-{P}_{i}+{P}_{e}){R}_{i}^{3}{R}_{e}^{3}}{{R}_{f}^{3}({R}_{i}^{3}-{R}_{e}^{3})}\)

Toutes les valeurs numériques sont données en unité SI.

Test

Identification

Valeur analytique de référence

\({\sigma}_{\mathit{rr}}({R}_{f})\)

Min, Max LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

\({U}_{r}({R}_{f})\)

Min, Max UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

Incertitudes sur la solution#

Il n’y a pas d’incertitude sur la solution, celle-ci étant analytique.

Références bibliographiques#

A.F. Bower, Applied Mechanics of Solids , Taylor and Francis, 2010.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit d’une modélisation \(\text{X-FEM}\) , en axisymétrie (AXIS). La sphère est maillée avec des éléments triangulaires et linéaires.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage comporte 2592 mailles de type TRIA3.

../../../../_images/10000000000002290000022AA42129129BD8F340.png

Grandeurs testées et résultats#

On teste les valeurs de la pression normale et de contact et déplacement. On teste tous les points de contact sur l’interface. On vérifie que l’on retrouve bien les valeurs déterminées analytiquement. Pour tester tous les nœuds en une seule fois, on teste le minimum et le maximum sur tous les points de post-traitement de l’interface.

Identification

Référence

Tolérance (%)

Max UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

4

Min UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

2

Max LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

14

Min LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

27

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit d’une modélisation \(\text{X-FEM}\) , en axisymétrie (AXIS). La sphère est maillée avec des éléments quadrangulaires et linéaires.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage comporte 1296 mailles de type QUAD4.

../../../../_images/100000000000022F000002280A9FB550B91C2148.png

Grandeurs testées et résultats#

On teste les valeurs de la pression normale et de contact et déplacement. On teste tous les points de contact sur l’interface. On vérifie que l’on retrouve bien les valeurs déterminées analytiquement. Pour tester tous les nœuds en une seule fois, on teste le minimum et le maximum sur tous les points de post-traitement de l’interface.

Identification

Référence

Tolérance (%)

Max UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

3

Min UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

1

Max LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

2

Min LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

6

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit d’une modélisation \(\text{X-FEM}\) , en axisymétrie (AXIS). La sphère est maillée avec des éléments triangulaires et quadratiques.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage comporte 648 mailles de type TRIA6.

../../../../_images/10000000000002C40000029F871EDACDFB991E3A.png

Grandeurs testées et résultats#

On teste les valeurs de la pression normale et de contact et déplacement. On teste tous les points de contact sur l’interface. On vérifie que l’on retrouve bien les valeurs déterminées analytiquement. Pour tester tous les nœuds en une seule fois, on teste le minimum et le maximum sur tous les points de post-traitement de l’interface.

Identification

Référence

Tolérance (%)

Max UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

2

Min UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

2

Max LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

2

Min LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

2

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

Il s’agit d’une modélisation \(\text{X-FEM}\) , en axisymétrie (AXIS). La sphère est maillée avec des éléments quadrangulaires et quadratiques.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage comporte 324 mailles de type QUAD8.

../../../../_images/10000000000002BB000002A1A84FE473E53CF42D.png

Grandeurs testées et résultats#

On teste les valeurs de la pression normale et de contact et déplacement. On teste tous les points de contact sur l’interface. On vérifie que l’on retrouve bien les valeurs déterminées analytiquement. Pour tester tous les nœuds en une seule fois, on teste le minimum et le maximum sur tous les points de post-traitement de l’interface.

Identification

Référence

Tolérance (%)

Max UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

2

Min UR pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

7.1133E-05

2

Max LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

2

Min LAGS_C pour tous les nœuds de post-traitement de l’interface

-1.5046

2

Synthèse#

Les différentes modélisations de ce cas test valident les éléments AXIS avec contact en X-FEM.