r7.02.05 Calcul des facteurs d’intensité de contraintes en thermo-élasticité linéaire

Résumé:

On présente la méthode de calcul des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) , \({K}_{\mathrm{II}}\) et \({K}_{\mathrm{III}}\) en thermoélasticité linéaire. La formulation considère le taux de restitution d’énergie comme une forme bilinéaire symétrique du champ de déplacement \(u\) et utilise les expressions explicites des champs de déplacements singuliers connues en élasticité linéaire plane.

Cette méthode est utilisable à l’aide de l’option CALC_K_G de la commande CALC_G, aussi bien pour une fissure maillée (éléments finis classiques) que pour une fissure non maillée (éléments finis enrichis: méthode X-FEM).

Cette méthode est aussi utilisable pour calculer les facteurs d’intensité des contraintes associés aux modes propres de vibration d’une structure.

Implantation de KI, KII et KIII en thermoélasticité linéaire dans Code_Aster

Types d’éléments et de chargements

Pour calculer les facteurs d’intensité de contraintes

et

(et éventuellement

) en élasticité linéaire, il faut utiliser l’option CALC_K_G de la commande CALC_G.

Cette option est valable aussi bien pour une fissure maillée (éléments finis classiques) que pour une fissure non maillée (éléments finis enrichis: méthode X-FEM). Elle est disponible en 2D (modélisations “C_PLAN” et “D_PLAN” pour une fissure maillée ou non ; modélisation “AXIS” pour une fissure maillée uniquement) et en 3D, pour des éléments finis linéaires ou quadratiques.

Tous les chargements thermomécaniques classiques sont pris en compte: chargements thermiques, chargements volumiques (pesanteur, rotation, …), chargements surfaciques (y compris sur les lèvres de la fissure).

Remarque :

On ne tient pas compte du terme dû aux déplacements imposés sur

, il ne faut donc pas imposer de conditions de DIRICHLET sur les lèvres de la fissure.

Environnement nécessaire pour le calcul de KI, KII et KIII

La commande CALC_G permet de récupérer le modèle du problème, les caractéristiques du matériau, le champ de déplacement. Le champ thêta est récupéré ou calculé par la commande CALC_G.

Fissure maillée:

• En 2D, il est nécessaire de définir le mot-clé FOND_FISS, qui permet de récupérer un concept de type fond_fiss (produit par la commande DEFI_FOND_FISS) où sont définis le noeud de fond de fissure et la normale à la fissure.

• En 3D, il est nécessaire de définir le mot-clé FISSURE, qui permet de récupérer un concept de type fiss_xfem (produit par la commande DEFI_FISS_XFEM) où sont définis les noeuds de fond de fissure et les bases locales le long du fond de fissure.

• Lorsque que la fissure est disposée le long d’un axe de symétrie, on peut se contenter de ne représenter que la moitié du modèle, et préciser la symétrie du chargement par le mot-clé SYME (ou si FOND_FISS est indiquée la présence de symétrie est automatiquement détectée). Par défaut, on suppose qu’il n’y a pas de symétrie . Si on affecte la valeur “OUI” au mot clé SYME, cela signifie que seul le mode I de rupture agit (ouverture des lèvres de la fissure) et on affecte automatiquement la valeur nulle à

  

(et éventuellement

).

Fissure non maillée (méthode X-FEM):

• En 2D comme en 3D, la fissure doit être définie, pour le calcul mécanique et pour le post-traitement, à l’aide de la commande DEFI_FISS_XFEM. Le mot-clé FISSURE doit être renseigné dans CALC_G.

• Si la fissure n’est pas maillée, il n’est pas possible de prendre en compte les éventuelles symétries du modèle par rapport aux lèvres de la fissure.

Insistons sur la nécessité d’affecter à tous les éléments (y compris ceux des lèvres) les valeurs du modules d’YOUNG \(E\) et du coefficient de POISSON \(\nu\) , car elles sont utilisées dans le calcul des déplacements singuliers. Ces valeurs doivent être homogènes sur tout le support du champ thêta. Par ailleurs, si un chargement est affecté sur les mailles surfaciques (en 3D) ou linéiques (en 2D) des lèvres de la fissure, les mailles de celles-ci doivent être correctement orientées.

Forme bilinéaire symétrique g(. , .)

Terme classique élémentaire

\(\mathit{TCLA}=\sigma (u):(\nabla u\nabla \theta )-\Psi (\varepsilon (u))div\theta\)

La densité d’énergie élastique \(\Psi (\varepsilon (u))\) peut s’écrire en thermo-élasticité linéairesous la forme suivante :

en D_PLANet en C_PLAN:

\(2\Psi (\varepsilon (u))={C}_{1}({\varepsilon}_{xx}^{2}+{\varepsilon}_{yy}^{2})+2{C}_{2}{\varepsilon}_{xx}{\varepsilon}_{yy}+4{C}_{3}{\varepsilon}_{xy}^{2}-2{\Psi}_{\mathrm{th}}\)

en 3D:

\(2\Psi (\varepsilon (u))={C}_{1}({\varepsilon}_{xx}^{2}+{\varepsilon}_{yy}^{2}+{\varepsilon}_{zz}^{2})+2{C}_{2}({\varepsilon}_{xx}{\varepsilon}_{yy}+{\varepsilon}_{xx}{\varepsilon}_{zz}+{\varepsilon}_{yy}{\varepsilon}_{zz})+4{C}_{3}({\varepsilon}_{xy}^{2}+{\varepsilon}_{xz}^{2}+{\varepsilon}_{yz}^{2})-2{\Psi}_{\mathrm{th}}\)

avec \({\Psi}_{\mathrm{th}}\) =Densité d’énergie due à la thermique:

\({\Psi}_{\mathrm{th}}=3K\alpha (T-{T}_{\mathrm{réf}})\mathrm{tr}\varepsilon -\frac{9}{2}K{\alpha}^{2}{(T-{T}_{\mathrm{réf}})}^{2}\)

où:

\(\begin{array}{ccc}\text{}3K& =& \frac{E}{1-2\nu }\\ \alpha & =& \mathrm{dilation}\mathrm{thermique}\\ \varepsilon & =& \mathrm{tenseur}\mathrm{de}\mathrm{déformations}\\ {T}_{\mathrm{réf}}& =& \mathrm{température}\mathrm{de}\mathrm{référence}\end{array}\)

et avec:

\(\lbrace \begin{array}{c}{C}_{1}=\frac{(1-\nu )E}{(1+\nu )(1-2\nu )}=\lambda +2\mu \hfill \\ {C}_{2}=\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}=\lambda \hfill \\ {C}_{3}=\frac{E}{2(1+\nu )}=\mu \hfill \end{array}\) en D_PLANet en 3D; \(\lbrace \begin{array}{c}{C}_{1}=\frac{E}{(1-{\nu}^{2})}\hfill \\ {C}_{2}=\frac{\nu E}{(1-{\nu}^{2})}\hfill \\ {C}_{3}=\frac{E}{2(1+\nu )}=\mu \hfill \end{array}\) en C_PLAN

En notant \(\Psi (\varepsilon (u))=\Psi (u,u)\) , on a \(2\Psi (u,v)=\mathrm{S1}-\mathrm{S1TH}\) avec:

\(\mathrm{S1}=\mathrm{C1}(\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{k}}\frac{\partial {v}_{k}}{\partial {x}_{k}})+\mathrm{C2}(\frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{i}}\frac{\partial {v}_{j}}{\partial {x}_{j}}(1-{\delta}_{ij}))+\mathrm{C3}(\frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{j}}\frac{\partial {v}_{i}}{\partial {x}_{j}}(1-{\delta}_{ij})+\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{l}}\frac{\partial {v}_{l}}{\partial {x}_{k}}(1-{\delta}_{kl}))\)

\(\mathit{S1TH}=3K\alpha (({T}_{u}-{T}_{\mathit{réf}})\mathit{tr}\epsilon (v)+({T}_{v}-{T}_{\mathit{réf}})\mathit{tr}\epsilon (u))-\mathrm{9K}{\alpha}^{2}({T}_{u}-{T}_{\mathit{réf}})({T}_{v}-{T}_{\mathit{réf}})\)

où les indices i , j , k et l correspondent à une sommation sur les 2 coordonnées de l’espace (resp. 3 coordonnées) en 2D (resp. 3D);

est la température associée au champ de déplacement

par la relation:

\(\sigma =\Lambda (\epsilon (u)-{\epsilon}^{\mathit{th}})\)

où \({\epsilon}_{ij}^{\mathit{th}}=\alpha (T-{T}_{\mathit{réf}}){\delta}_{ij}\) et \(\sigma\) vérifient les équations d’équilibre. \({T}_{v}\) est la température associée au champ de déplacement \(v={u}_{s}\) (fonctions singulières). Pour le calcul du taux de restitution d’énergie, \({T}_{v}={T}_{u},v=u\) , pour le calcul des facteurs d’intensité des contraintes, on a pris \({T}_{v}={T}_{f}\) , i.e., on a pris les solutions singulières d’un problème purement mécanique.

Remarque :

L’utilisation des solutions singulières purement thermiques dans la méthode G-théta pour déterminer les facteurs d’intensité des contraintes d’un problème thermo-mécanique comme programmé dans Code_Aster entraîne implicitement l’approximation dans le calcul des K.

La comparaison entre G calculé par CALC_K_Get G_IRWINva fournir une indicateur d’erreur. Si la différence est très grande, le calcul de K n’est pas juste. Cependant, les valeurs de G sont justes.

De la même façon, le terme \(\sigma (u):(\nabla u\nabla \theta )\) peut s’écrire:

\(\sigma (u):(\nabla u\nabla \theta )=\mathrm{S2}-\mathrm{S2TH}\)

avec: \(\mathrm{S2}=\mathrm{C1}\left[\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{k}}\frac{\partial {v}_{k}}{\partial {x}_{k}}\frac{\partial {\theta}_{k}}{\partial {x}_{k}}+\frac{1}{2}(\frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{i}}\frac{\partial {v}_{i}}{\partial {x}_{j}}+\frac{\partial {v}_{i}}{\partial {x}_{i}}\frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{j}})(1-{\delta}_{ij})\frac{\partial {\theta}_{j}}{\partial {x}_{i}}\right]\)

\(+\mathrm{C2}\left[\frac{1}{2}\frac{\partial {\theta}_{i}}{\partial {x}_{j}}(\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{k}}\frac{\partial {v}_{j}}{\partial {x}_{i}}+\frac{\partial {v}_{k}}{\partial {x}_{k}}\frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}_{i}})(1-{\delta}_{\mathrm{jk}})\right]\)

\(+\mathrm{C3}\left[\frac{1}{2}(\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{i}}(\frac{\partial {v}_{k}}{\partial {x}_{j}}+\frac{\partial {v}_{j}}{\partial {x}_{k}})+\frac{\partial {v}_{k}}{\partial {x}_{i}}(\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{j}}+\frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}_{k}}))(1-{\delta}_{\mathrm{jk}})\frac{\partial {\theta}_{i}}{\partial {x}_{j}}\right]\)

et:

\(\mathit{S2TH}=\frac{\mathit{TH1}}{2}3K\alpha ({T}_{u}-{T}_{\mathit{réf}})(\frac{\partial {v}_{i}}{\partial {x}_{j}}\frac{\partial {\theta}_{j}}{\partial {x}_{i}})+\frac{\mathit{THA}}{2}3K\alpha ({T}_{v}-{T}_{\mathit{réf}})(\frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{j}}\frac{\partial {\theta}_{j}}{\partial {x}_{i}})\)

où

en D_PLANet en 3Det

en C_PLAN.

Finalement le terme classique s’écrit:

\(\mathrm{TCLA}=(\mathrm{S2}-\mathrm{S2TH})-\frac{1}{2}(\mathrm{S1}-\mathrm{S1TH})div\theta\)

Terme thermique

On fait l’hypothèse que les caractéristiques du matériau \((E,\nu ,\alpha )\) ne dépendent pas de la température.

en D_PLANet en C_PLAN: \(\mathit{TTHE}=\frac{-\partial \Psi }{\partial T}(\nabla T.\theta )=\frac{1}{2}3K\alpha \mathit{tr}\varepsilon (\frac{\partial T}{\partial x}{\theta}_{x}+\frac{\partial T}{\partial y}{\theta}_{y})\)

en 3D:

\(\mathit{TTHE}=\mathit{TTHE1}+\mathit{TTHE2}\) avec

\(\mathit{TTHE1}=\frac{1}{2}3K\alpha (\mathit{tr}\epsilon (u)(\frac{\partial {T}_{v}}{\partial x}{\theta}_{x}+\frac{\partial {T}_{v}}{\partial y}{\theta}_{y}+\frac{\partial {T}_{v}}{\partial z}{\theta}_{z})+\mathit{tr}\epsilon (v)(\frac{\partial {T}_{u}}{\partial x}{\theta}_{x}+\frac{\partial {T}_{u}}{\partial y}{\theta}_{y}+\frac{\partial {T}_{u}}{\partial z}{\theta}_{z}))\)

et

\(\mathit{TTHE2}=-9K{\alpha}^{2}(({T}_{u}-{T}_{\mathit{réf}})(\frac{\partial {T}_{v}}{\partial x}{\theta}_{x}+\frac{\partial {T}_{v}}{\partial y}{\theta}_{y}+\frac{\partial {T}_{v}}{\partial z}{\theta}_{z})+({T}_{v}-{T}_{\mathit{réf}})(\frac{\partial {T}_{u}}{\partial x}{\theta}_{x}+\frac{\partial {T}_{u}}{\partial y}{\theta}_{y}+\frac{\partial {T}_{u}}{\partial z}{\theta}_{z}))\)

Pour le calcul du taux de restitution d’énergie, \({T}_{v}={T}_{u},v=u\) , pour le calcul des facteurs d’intensité des contraintes, on a pris \({T}_{v}={T}_{f}\) , i.e., on a pris les solutions singulières d’un problème purement mécanique.

Remarque :

L’utilisation des solutions singulières purement thermiques dans la méthode G-théta pour déterminer les facteurs d’intensité des contraintes d’un problème thermo-mécanique comme programmé dans Code_Aster entraîne implicitement l’approximation dans le calcul des K.

La comparaison entre G calculé par CALC_K_Get G_IRWINva fournir une indicateur d’erreur. Si la différence est très grande, le calcul de K n’est pas juste. Cependant, les valeurs de G sont justes.

Terme force volumique

\(\mathrm{TFOR}=(\nabla f.\theta )u+f.udiv\theta\)

En toute rigueur, ce terme est linéaire et non quadratique en déplacement. La construction de la forme bilinéaire symétrique associée n’est donc pas triviale. On considère alors qu’il existe une dépendance de la force au champ de déplacement; on note \({f}_{u}\) les forces volumiques associées au champ de déplacement \(u\) pour le problème élastique et \({f}_{v}\) les forces volumiques associées au champ admissible fictif \(v\) . On peut alors construire une expression bilinéaire symétrique de \(\mathit{TFOR}\) \((u,v)\) comme suit :

\(\mathrm{TFOR}(u,v)=\frac{1}{2}[(\nabla {f}_{u}.\theta )v+(\nabla {f}_{v}.\theta )u+({f}_{u}.v+{f}_{v}.u)div\theta ]\)

On notera bien que \(\mathit{TFOR}(u,u)=\mathit{TFOR}\) .

Comme les expressions que nous sommes amenés à calculer sont du type \(\mathrm{TFOR}(u,u)\) et \(\mathit{TFOR}(u,{u}_{S})\) , où \(u\) et \({u}_{S}\) sont respectivement le champ de déplacement et le champ singulier, et que:

\({f}_{{u}^{S}}=div(\sigma ({u}_{S}))=0\) sur \(\Omega\)

On se limite à écrire:

\(\mathrm{TFOR}(u,v)=\mathrm{CS}[(\nabla {F}_{u}.\theta )v+{F}_{u}.vdiv\theta ]\) avec \(\lbrace \begin{array}{cc}\mathit{CS}=0.5& v={u}_{S}\\ \mathit{CS}=1& v=u\end{array}\)

La même remarque est valable pour le terme classique thermique, le terme supplémentaire dû à la thermique et les termes dus aux forces surfaciques.

Les termes de forces volumiques et de contrainte initiale engendrent des termes linéaires et non quadratiques en \(u\) et donc dont la forme bilinéaire associée est plus délicate à construire,

Pour le faire, considérons que les contraintes initiales et les forces volumiques dépendent également du champ de déplacement; on introduit alors

Terme de contrainte initiale

\({\mathit{TINI}}_{1}=-{\int}_{\Omega}\left[({\Lambda}^{-1}:\sigma (u)):(\nabla {\sigma}^{0}.\theta )\right]d\Omega\)

En toute rigueur, ce terme est linéaire et non quadratique en déplacement. La construction de la forme bilinéaire symétrique associée n’est donc pas triviale. On réalise le même raisonnement que pour le terme de force volumique, en considèrant qu’il existe une dépendance de la force au champ de déplacement; on note \({\sigma}_{u}^{0}\) les forces volumiques associées au champ de déplacement \(u\) pour le problème élastique et \({\sigma}_{v}^{0}\) les forces volumiques associées au champ admissible fictif \(v\) . On peut alors construire une expression bilinéaire symétrique de \({\mathit{TINI}}_{1}\) comme suit :

\({\mathit{TINI}}_{1}\left(u,v\right)=-\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\left[({\Lambda}^{-1}:{\sigma}_{u}):(\nabla {\sigma}_{v}^{0}.\theta )+({\Lambda}^{-1}:{\sigma}_{v}):(\nabla {\sigma}_{u}^{0}.\theta )\right]d\Omega\)

avec \({\sigma}_{u}=\Lambda :\mathit{sym}(\nabla u)+{\sigma}_{u}^{0}\) et \({\sigma}_{v}=\Lambda :\mathit{sym}(\nabla v)+{\sigma}_{v}^{0}\)

En présence de contraintes initiales, la formulation de l’énergie libre et la relation contrainte/déformation sont également modifiées.

\(\Psi (\epsilon (u),{\sigma}^{0})=\frac{1}{2}\left(\epsilon (u)+{\Lambda}^{-1}:{\sigma}^{0}\right):\Lambda :\left(\epsilon (u)+{\Lambda}^{-1}:{\sigma}^{0}\right)=\frac{1}{2}\left(\epsilon (u)-{\epsilon}_{\mathit{ref}}\right):\Lambda :\left(\epsilon (u)-{\epsilon}_{\mathit{ref}}\right)\) \(\sigma =\Lambda :\epsilon (u)+{\sigma}^{0}\)

avec \({\epsilon}_{\mathit{ref}}=-{\Lambda}^{-1}:{\sigma}^{0}\)

Cela ajoute deux termes liés au terme classique \(\sigma (u):(\nabla u\nabla \theta )-\Psi (\epsilon (u))div\theta\) :

• un terme lié à l’ajout de la contrainte initiale dans la contrainte: \({\mathit{TINI}}_{2}={\sigma}^{0}:(\nabla u\nabla \theta )\)

• un terme lié à la modification de l’énergie libre: \({\mathit{TINI}}_{3}=-\frac{1}{2}\left(2\epsilon (u)-{\epsilon}_{\mathit{ref}}\right):{\sigma}^{0}div\theta\)

On réalise le même raisonnement et on construit les termes de forme bilinéaire associée:

• \({\mathit{TINI}}_{2}\left(u,v\right)=\frac{1}{2}\left({\sigma}_{v}^{0}:\nabla u+{\sigma}_{u}^{0}:\nabla v\right).\nabla \theta\)

• \({\mathit{TINI}}_{3}\left(u,v\right)=-\frac{1}{4}\left(\left(2\epsilon (u)\right):{\sigma}_{v}^{0}+\left(2\epsilon (v)\right):{\sigma}_{u}^{0}+2{\sigma}_{u}^{0}:{\Lambda}^{-1}:{\sigma}_{v}^{0}\right)div\theta\)

Deux cas de figure se présentent: soit \(v=u\) (détermination de G), soit \(v={u}_{S}\) (détermination des facteurs d’intensité des contraintes). Dans ce deuxième cas, il faut se souvenir que le champ de contraintes initiales est déterminé avant l’apparition de fissure, et donc n’est a priori pas compatible avec un champ singulier. Sa contribution aux déplacements intervient en réalité à travers la contrainte totale en équilibre avec le champ de déplacement.

On écrit donc:

\(\lbrace \begin{array}{cc}{\sigma}_{v}^{0}={\sigma}^{0}& \mathit{si}v=u\\ {\sigma}_{v}^{0}=0& \mathit{si}v={u}_{S}\end{array}\)

Au final, pour le calcul du taux de restitution d’énergie:

• :math:`{mathit{TINI}}_{1}left(u,uright)=-{int}_{Omega}left[(epsilon left(uright)+{Lambda}^{-1}:{sigma}^{0}):(nabla {sigma}^{0}.theta )right]dOmega `

• \({\mathit{TINI}}_{2}\left(u,u\right)={\int}_{\Omega}\left({\sigma}^{0}:\nabla u\right).\nabla \theta d\Omega\)

• \({\mathit{TINI}}_{3}\left(u,u\right)=-\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\left(\left(2\epsilon (u)\right):{\sigma}^{0}+{\sigma}^{0}:{\Lambda}^{-1}:{\sigma}^{0}\right)div\theta d\Omega\)

Et pour les facteurs d’intensité des contraintes:

• \({\mathit{TINI}}_{1}\left(u,{u}_{S}\right)=-\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\left[(\epsilon \left({u}_{S}\right)):(\nabla {\sigma}^{0}.\theta )\right]d\Omega\)

• \({\mathit{TINI}}_{2}\left(u,{u}_{S}\right)=\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\left({\sigma}^{0}:\nabla {u}_{S}\right).\nabla \theta d\Omega\)

• \({\mathit{TINI}}_{3}\left(u,{u}_{S}\right)=-\frac{1}{2}{\int}_{\Omega}\left(\left(\epsilon ({u}_{S})\right):{\sigma}^{0}\right)div\theta d\Omega\)

Terme force surfacique

Le terme force surfacique s’écrit :

\(\mathrm{TSUR}=(\nabla F.\theta )u+\mathrm{F.}u(div\theta -\mathrm{n.}\frac{\partial \theta }{\partial n})\)

Le terme en \(\mathrm{n.}\frac{\partial \theta }{\partial n}\) est nul car le gradient de \(\theta\) est orthogonal à \(n\) . Comme pour le terme force volumique, l’expression bilinéaire

s’obtient en considérant que

est soit égal au déplacement

(et donc

), soit à un champ singulier \({u}_{S}\) (et donc

). On a alors:

\(\mathrm{TSUR}(u,v)=\mathrm{CS}[(\nabla {F}_{u}.\theta )v+{F}_{u}.vdiv\theta ]\) avec \(\lbrace \begin{array}{cc}\mathit{CS}=0.5& v={u}_{S}\\ \mathit{CS}=1& v=u\end{array}\)

Terme de dynamique modale

Dans le cas des problèmes dynamiques, un terme supplémentaire

apparaît dans la décomposition de taux de restitution d’énergie exprimée dans le paragraphe 1.3 :

\(\mathit{TDYN}=-{\int}_{\Omega}\frac{1}{2}\rho \dot{u}\ddot{u}.div\sigma .d\Omega -{\int}_{\Omega}\frac{1}{2}\rho \dot{u}\nabla \dot{u}.\theta .d\Omega +{\int}_{\Omega}\frac{1}{2}\rho \ddot{u}\nabla u.\theta .d\Omega\)

où \(\dot{u}\) et \(\ddot{u}\) sont respectivement la dérivée première et seconde du champ de déplacement

par rapport au temps. Pour les problèmes harmoniques, ce terme peut se simplifier [bib 10]. En notant

la pulsation du mode propre étudié et

la masse volumique, la forme bilinéaire du terme dynamique s’écritainsi :

\(\mathit{TDYN}(u,v)=-\frac{1}{2}(\rho {\omega}^{2}{u}_{k}{v}_{k,j}{\theta}_{j}+\rho {\omega}^{2}{v}_{k}{u}_{k,j}{\theta}_{j})\) .

Champs de déplacements singuliers et leurs dérivées

Les champs singuliers \({u}_{S}^{I}\) , \({u}_{S}^{\mathit{II}}\) et \({u}_{S}^{\mathit{III}}\) , associés respectivement aux modes \(I\) , \(\mathit{II}\) et \(\mathit{III}\) , sont connus explicitement ainsi que leurs dérivées. Ils sont écrits en fonction des coordonnées polaires dans le repère lié à la fissure.

L’introduction successive de ces champs singuliers permet, comme indiqué dans le §1, le calcul élémentaire des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) , \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) .

Post-traitement des résultats de KI et KII

Pour les problèmes 2D

Connaissant les valeurs des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) pour une fissure donnée, les formules de AMESTOY - BUI et DANG-VAN, permettent le calcul de l’angle de propagation de la fissure selon 3critères (\({K}_{I}\) maximal, \({K}_{\mathit{II}}\) et \(G\) maximal) [bib6].

Soit \({\Omega}_{m}^{\eta}\) un domaine identique à \(\Omega\) sauf que la fissure est prolongée dans la direction d’angle \(m\) d’un segment de droite de longueur \(\eta\) .

\({\Omega}_{m}^{0}\equiv \Omega\)

Soient \({K}_{I}(\eta ,m)\) , \({K}_{\mathrm{II}}(\eta ,m)\) , \(G(\eta ,m)\) les facteurs d’intensité de contraintes et le taux de restitution d’énergie de \({\Omega}_{m}^{\eta}\) soumis au même chargement que \(\Omega\) .

On pose:

Les critères cités par AMESTOY - BUI et DANG-VAN [bib6] sont:

• choisir \({m}_{0}\) tel que \({K}_{I}^{\text{*}}({m}_{0})\) soit maximum,

• choisir \({m}_{0}\) tel que \({K}_{\mathrm{II}}^{\text{*}}({m}_{0})\) soit nul,

• choisir \({m}_{0}\) tel que \({G}^{\text{*}}({m}_{0})\) soit maximum.

Ces critères donnent des résultats très voisins [bib8].

Les résultats sont donnés sous forme d’un tableau de 4coefficients \({K}_{11}\) , \({K}_{21}\) , \({K}_{12}\) , \({K}_{22}\) permettant de calculer \({K}_{I}^{\text{*}}\) et \({K}_{\mathrm{II}}^{\text{*}}\) dans tous les cas de chargement:

\((\begin{array}{c}{K}_{I}^{\text{*}}\\ {K}_{\mathrm{II}}^{\text{*}}\end{array})=(\begin{array}{cc}{K}_{11}& {K}_{12}\\ {K}_{21}& {K}_{22}\end{array})(\begin{array}{c}{K}_{I}\\ {K}_{\mathrm{II}}\end{array})\)

Angle \(m\) (°)	\({K}_{11}\)	\({K}_{21}\)	\({K}_{12}\)	\({K}_{22}\)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90	1 0,9886 0,9552 0,9018 0,8314 0,7479 0,6559 0,5598 0,4640 0,3722	0 0,0864 0,1680 0,2403 0,2995 0,3431 0,3696 0,3788 0,3718 0,3507	0 — 0,2597 — 0,5068 — 0,7298 — 0,9189 — 1,0665 — 1,1681 — 1,2220 — 1,2293 — 1,1936	1 0,9764 0,9071 0,7972 0,6540 0,4872 0,3077 0,1266 — 0,0453 — 0,1988

\({K}_{11}(-m)={K}_{11}(m),{K}_{21}(-m)=-{K}_{21}(m),{K}_{12}(-m)=-{K}_{12}(m),{K}_{22}(-m)={K}_{22}(m)\)

La recherche de l’angle \({m}_{0}\) dans CALC_G est faite de 10 degrés en 10 degrés. L’angle \(\beta\) de propagation n’est calculé et imprimé (dans le fichier MESSAGE) que si INFO vaut 2.

Pour les problèmes 3D

La direction de propagation d’une fissure en 3D peut être déterminée par le principe du Maximum Hoop Stress Criterion (maximisation de la contrainte circonférentielle) [bib11]. L’angle de propagation s’exprime alors de la façon suivante:

\(\beta =2\arctan[\frac{1}{4}.(\frac{{K}_{I}}{{K}_{\mathit{II}}}-\mathit{sign}({K}_{\mathit{II}}).\sqrt{{(\frac{{K}_{I}}{{K}_{\mathit{II}}})}^{2}+8})]\)

L’angle \(\beta\) , calculé systématiquement, est indiqué dans le tableau résultat produit par la commande CALC_G (colonne BETA).

Bibliographie

1. H.D. BUI, J.M. PROIX: « Loi de conservation en thermo-élasticité linéaire »- C.R. Acad.Sc.Paris, t.298, SérieII, n°8, 1984.

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4. P;.DESTUYNDER, M.DJAOUA: « Sur une interprétation de l’intégrale de Rice en théorie de la rupture fragile, Mathematics Methods in the Applied Sciences »- Vol.3, pp.70-87, 1981.

5. 16. MIALON: « Calcul de la dérivée d’une grandeur par rapport à un fond de fissure par la méthode théta »- E.D.F. Bulletin de la Direction des Etudes et Recherches, SérieC, n°3, 1988, pp.1-28.

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7. 5. VISSE: « Calcul des facteurs d’intensité de contraintes en élasticité linéaire plane »- Note interne EDF-DER-MMN, HI-75505D du 05/07/94.

8. P.MIALON: « Etude du taux de restitution de l’énergie dans une direction marquant un angle avec une fissure », note interne E.D.F. HI/4740-07 - 1984.

9. J.B. LEBLOND: « Mécanique de la rupture fragile et ductile »– Lavoisier, 2003.

10. 5. GALENNE, S. DI DOMIZIO: « Méthode thêta en mécanique de la rupture: développement de la forme bilinéaire de G en 3D et application au cas de la dynamique modale basse fréquence », note interne E.D.F. R&D HT-65/05/024 - 2006.

11. 7. ERDOGAN, G.C. SIH, “On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear”, Journal of Basic Engineering, 85, 519-27, 1963.

12. R.A. CHAUDHURI, “Three-dimensional asymptotic stress field in the vicinity of the circumference of a penny shaped discontinuity”, Int. J. of Solids and Structures, 40, 3787-3805, 2003.

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Indice doc	Version Aster	Auteur(s) ou contributeur(s), organisme	Description des modifications
A	4	E.Visse EDF/R&D/MMN	Texte intial
B	7.4	E.Galenne EDF/R&D/AMA	modifications mineures
C	8.4	E.Galenne EDF/R&D/AMA	Extension au 3D, termes volumiques et thermiques
D	9.4	E.Galenne EDF/R&D/AMA	Fiche 11175 CALC_K_G en axisymétrique