v6.07.104 COMP004 - Loi de comportement VISC_ISOT_PLAS appliquée à un point matériel

Résumé:

Ce test a pour objectif de valider la loi de comportement mécanique isotrope élasto-viscoplastique VISC_ISOT_PLAS décrite dans [R5.03.38]. Le problème est mis en oeuvre à l’échelle du point matériel (SIMU_POINT_MAT) en imposant la déformation (totale) au cours du temps. La solution obtenue numériquement est comparée à une solution analytique de référence ainsi qu’à des valeurs de non-régression.

Solution de référence

Méthode de calcul

Un certain nombre de quantités décrites dans le modèle VISC_ISOT_PLAS [R5.03.38] sont d’abord calculées explicitement :

\[\begin{split}\begin{array}{l} \mu := \dfrac{E}{ 2 \left( 1 + \nu \right) } \\ \\ \sigma_{HP} := \mu \sqrt{ \dfrac{ 3.3090\text{e-}11 }{ \text{TAILLE_GRAIN} } } \\ \\ \sigma_{VD} := 2.5\text{e}7 \, \text{min} \left[ \text{max} \left( 0, 0.01 \, T - 2 \right), 1 \right] \\ \\ \sigma_{VS0} := 8\text{e}7 - 2\text{e}5 \left( 150 + T \right) \\ L := \dfrac{1}{ 2.222222222\text{e-}4 + 6.7925\text{e-}6 \, \sqrt{ 1\text{e-}22 \, \text{C_AMAS} } } \\ \\ f := \text{min} \left( 1.178 + 0.019 \, T, 6.8 \right) \\ \\ H := \dfrac{ \mu^{2} }{ 4 \, L \, f } \\ \\ H_{0} := \mu^{2} \, 1.5376\text{e-}20 \, \text{D_DISLOC} \\ \\ \sigma_{I} := \sqrt{ \mu^{2} \, 3.35\text{e-}8 \, \left( 1\text{e}9 \, \text{TAILLE_AMAS} \right)^{2.3} \, \left( 1\text{e-}22 \, \text{C_AMAS} \right)^{1.142857} } \\ \\ \sigma_{C0} := \sigma_{HP} + \sigma_{VD} + \sigma_{VS0} + \sqrt{\left( \sigma_{I} \right)^{2} + 4 \, H_{0} } \\ \\ \sigma_{E} := 900\text{e}6 \, \left[ 1 - \left( T + 273.15 \right) \dfrac{19.3289}{9744} \right]^{2} \\ \\ \sigma_{D} := 5\text{e}6 \, \left( 1 \text{e}6 \right)^{0.1} \\ \end{array}\end{split}\]

Ensuite, on définit une liste de \(1001\) instants (notés \(t\)) décrivant l’intervalle \(\left[ 0; 1 \right]\) avec un pas de discrétisation constant (égal à \(0.001\)). On rappelle que lorsqu’on simule une loi de comportement sur un point matériel, le tenseur des déformations totales \(\varepsilon^{tot}\) peut être assimilé à un scalaire et de même pour le tenseur des contraintes \(\sigma\).

On assimile alors initialement la déformation totale imposée de référence \(\varepsilon^{tot}_{ref}\) à cette liste d’instants tandis que la contrainte de référence est initialisée comme si le comportement était élastique i.e. comme si \(\varepsilon^{elas}_{ref} = \varepsilon^{tot}_{ref}\). Autrement dit, on pose \(\sigma_{ref}(t) := E t\) ainsi que \(\varepsilon^{tot}_{ref}(t) = t\).

Puis, on regarde à partir de quel instant le régime (visco-)plastique commence c’est-à-dire à partir du moment où \(\sigma\) dépasse le seuil \(\sigma_{C0}\) déjà calculé: c’est lorsque \(\varepsilon^{tot}_{ref} > \frac{\sigma_{C0}}{E}\). On suit alors l’évolution de la déformation plastique cumulée, notée ici \(p\) et égale à la déformation (visco-)plastique \(\varepsilon^{vp}_{ref}\) dans le cas d’un point matériel. Autrement dit, lorsque \(t > \frac{\sigma_{C0}}{E}\), on impose \(p(t):= t - \frac{\sigma_{C0}}{E}\). Il en découle un certain nombre d’évaluations qui permettent de mettre à jour de nouvelles valeurs de références pour \(\sigma_{ref}\) et \(\varepsilon^{tot}_{ref}\) à ces instants \(t\) du régime (visco-)plastique :

\[\begin{split}\begin{array}{l} \sigma_{VS} : = \sigma_{VS0} \text{exp} \left( -200 p \right) \\ \\ \sigma_{auto} := \sqrt{ H_{0} \text{exp} \left( -3 f p \right) + H \left[ 4 - \text{exp} \left( - 3 f p \right) - 3 \text{exp} \left( -p \right) \right] } \\ \\ \sigma_{LT} : = \text{max} \left[ 0, \sqrt{ 3 \left(\sigma_{auto} \right)^{2} } - \sigma_{E} \right] \\ \\ \sigma_{ref} := \sigma_{D} + \sigma_{E} + \sigma_{HP} + \sigma_{VD} + \sigma_{VS} + \sqrt{\left( \sigma_{I} \right)^{2} + \left( \sigma_{auto} \right)^2 + \left(\sigma_{LT} \right)^{2} } \\ \\ \varepsilon^{tot}_{ref} := p + \dfrac{\sigma_{ref}}{E} \\ \\ \end{array}\end{split}\]

Grandeurs et résultats de référence

On a ainsi obtenu des valeurs de référence \(\varepsilon_{ref}^{tot}\) pour la déformation totale qui seront imposées en entrée du test dans la macro-commande SIMU_POINT_MAT via l’opérande EPXX du mot-clé facteur EPSI_IMPOSE.

On effectue également un deuxième test identique en changeant les unités de longueur et de contrainte via les opérandes UNITE_LONGUEUR = “MM” et UNITE_CONTRAINTE = “MPa” du mot-clé VISC_ISOT_PLAS_FO dans la macro-commande DEFI_MATERIAU. Ainsi, on utilise aussi ce test pour vérifier que la relation de comportement VISC_ISOT_PLAS fonctionne dans le cas non-scalaire en définissant les paramètres matériaux avec la macro-commande DEFI_CONSTANTE et en adaptant les valeurs aux nouvelles unités (millimètre et MégaPascal).

Pour les deux tests, les \(1001\) valeurs de référence obtenues pour la contrainte et la déformation totale (paramètres nommés respectivement “SIXX” et “EPXX” dans la table retournée par SIMU_POINT_MAT) seront comparées avec celles calculées précédemment (\(\sigma_{ref}\) et \(\varepsilon_{ref}^{tot}\)), ainsi qu’avec des valeurs de non-regression stockées en dur explicitement dans une liste python du fichier comp004.comm associé au test.

Incertitudes sur la solution

Les résultats de référence sont obtenus de manière très précise et le pas de temps est choisi très fin.

À la fois pour la déformation totale et la contrainte, on tolère \(10^{-10}\) sur l’écart relatif entre les valeurs de non-regression et celles calculées par le test.

Pour la déformation totale, on tolère également \(10^{-10}\) entre les valeurs de référence et celles calculées par le test.

Quant à la contrainte, on tolère \(10^{-7}\) entre les valeurs de référence et celle calculées par le test sauf pour quelques instants où le critère est un peu relaché et correspond à la transition entre le régime élastique et (visco-)plastique :

Instant	PRECISION (pour “SIXX”)
\(0.000\)	\(1.0\text{e-}7\)
\(0.001\)	\(1.0\text{e-}7\)
\(0.002\)	\(1.0\text{e-}7\)
\(0.003\)	\(4.41\text{e-}2\)
\(0.004\)	\(5.35\text{e-}3\)
\(0.005\)	\(6.06\text{e-}4\)
\(0.006\)	\(6.72\text{e-}5\)
\(0.007\)	\(7.20\text{e-}6\)
\(0.008\)	\(7.06\text{e-}7\)
\(0.009\)	\(1.0\text{e-}7\)
\(0.010\)	\(1.0\text{e-}7\)
\(\ldots\)	\(1.0\text{e-}7\)

Références bibliographiques

Néant

Synthèse des résultats

On note un bon accord entre la modélisation et la solution analytique de référence (inférieur à 5 %) pour ce test qui dure une quinzaine de secondes environ.