v4.25.301 TTLV301 - Parallélépipède soumis à une température imposée sur ses faces#
Résumé:
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en thermique transitoire linéaire.
Il s’agit d’un problème volumique représenté par une seule modélisation (3D).
Les fonctionnalités testées sont les suivantes:
élément thermique volumique,
algorithme de thermique transitoire,
conditions limites : température imposée.
Les résultats sont comparés à une solution analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
\({T}_{(x,y,z,t)}={T}_{w}+\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}{a}_{\mathrm{nml}}\exp(-{\kappa}_{\mathrm{mnl}}^{2}\alpha .t){\mathrm{Tcos}}_{(x,y,z,m,n,l)}\)
avec \({\mathrm{Tcos}}_{(x,y,z,m,n,l)}=\cos(\frac{(2m-1)\pi x}{2{L}_{1}})\cos(\frac{(2n-1)\pi y}{2{L}_{2}})\cos(\frac{(2l-1)\pi z}{2{L}_{3}})\)
\({a}_{\mathrm{mnl}}=\frac{64({T}_{0}-{T}_{w})}{{\pi}^{3}(2m-1)(2n-1)(2l-1)}\sin(\frac{(2m-1)\pi }{2})\sin(\frac{(2n-1)\pi }{2})\sin(\frac{(2l-1)\pi }{2})\)
\({\kappa}_{\mathrm{mnl}}={(\frac{(2m-1)\pi }{2{L}_{1}})}^{2}+{(\frac{(2n-1)\pi }{2{L}_{2}})}^{2}+{(\frac{(2l-1)\pi }{2{L}_{3}})}^{2}\)
\(\alpha =\frac{\lambda}{\rho {c}_{p}}\)
Les valeurs de référence sont obtenues avec \(m=n=l=100.\)
Résultats de référence#
Température aux points : \(O(0,0,0)\) et \(H(0.5,0.8,1.)\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
M.J Chang, L.C Chow, W.S Chang, « Improved alternating direction implicit for solving transient three dimensional heat diffusion problems », Numerical Heat Transfer, vol 19, pp 69-84, 1991.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
3D (HEXA27)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
3927 |
Nombre de mailles et types : |
400 HEXA27 |
Remarques#
La condition limite \(\varphi =0.\) est implicite sur les bords libres.
Discrétisation du temps : 24 intervalles entre \(0.\) et \(1.2s\) :
de \(t=0.00\) |
à \(t=0.02\) |
: |
4 |
intervalles de 0.005 |
secondes. |
de \(t=0.02\) |
à \(t=0.05\) |
: |
3 |
intervalles de 0.01 |
secondes. |
de \(t=0.05\) |
à \(t=0.15\) |
: |
4 |
intervalles de 0.025 |
secondes. |
de \(t=0.15\) |
à \(t=0.4\) |
: |
5 |
intervalles de 0.05 |
secondes. |
de \(t=0.4\) |
à \(t=1.2\) |
: |
8 |
intervalles de 0.1 |
secondes. |
Résultats de la modélisation A#
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Tolérance |
Point \(O\) |
||||
\(N5(\mathrm{0.,0}\mathrm{.,0}.)\) |
||||
\(t=0.1s\) |
1.05137 |
1.04934 |
-0.193 |
1% |
\(t=0.2s\) |
1.24768 |
1.24181 |
-0.471 |
1% |
\(t=0.3s\) |
1.45136 |
1.44378 |
-0.522 |
1% |
\(t=0.5s\) |
1.73684 |
1.72955 |
-0.420 |
1% |
\(t=0.7s\) |
1.88010 |
1.87516 |
-0.263 |
1% |
\(t=1.0s\) |
1.96406 |
1.96191 |
-0.110 |
1% |
\(t=1.2s\) |
1.98398 |
1.98282 |
-0.059 |
1% |
Point \(H\) |
||||
\(N1075(\mathrm{0.5,0}\mathrm{.8,1}.0)\) |
||||
\(t=0.1s\) |
1.33579 |
1.32490 |
-0.816 |
1% |
\(t=0.2s\) |
1.61081 |
1.60337 |
-0.462 |
1% |
\(t=0.3s\) |
1.75959 |
1.75424 |
-0.304 |
1% |
\(t=0.5s\) |
1.90017 |
1.89718 |
-0.157 |
1% |
\(t=0.7s\) |
1.95657 |
1.95478 |
-0.091 |
1% |
\(t=1.0s\) |
1.98723 |
1.98646 |
-0.039 |
1% |
\(t=1.2s\) |
1.99433 |
1.99391 |
-0.021 |
1% |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
3D_HHO/LINEAIRE (HEXA27)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
3927 |
Nombre de mailles et types : |
400 HEXA27 |
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Tolérance |
Point \(O\) |
||||
\(\mathrm{N5}(0.,0.,0.)\) |
||||
\(t=0.1s\) |
1.05137 |
1.04934 |
-0.193 |
1% |
\(t=0.2s\) |
1.24768 |
1.24181 |
-0.471 |
1% |
\(t=0.3s\) |
1.45136 |
1.44378 |
-0.522 |
1% |
\(t=0.5s\) |
1.73684 |
1.72955 |
-0.420 |
1% |
\(t=0.7s\) |
1.88010 |
1.87516 |
-0.263 |
1% |
\(t=1.0s\) |
1.96406 |
1.96191 |
-0.110 |
1% |
\(t=1.2s\) |
1.98398 |
1.98282 |
-0.059 |
1% |
Point \(H\) |
||||
\(\mathrm{N1075}(0.5,0.8,1.0)\) |
||||
\(t=0.1s\) |
1.33579 |
1.32490 |
-0.816 |
1% |
\(t=0.2s\) |
1.61081 |
1.60337 |
-0.462 |
1% |
\(t=0.3s\) |
1.75959 |
1.75424 |
-0.304 |
1% |
\(t=0.5s\) |
1.90017 |
1.89718 |
-0.157 |
1% |
\(t=0.7s\) |
1.95657 |
1.95478 |
-0.091 |
1% |
\(t=1.0s\) |
1.98723 |
1.98646 |
-0.039 |
1% |
\(t=1.2s\) |
1.99433 |
1.99391 |
-0.021 |
1% |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus sont satisfaisants. L’écart maximum obtenu (0.816%), est situé au point \(H\) placé à mi-distance entre la surface extérieure et le centre du parallélépipède. Au bout de \(\mathrm{1.2s}\) , cet écart diminue, le maximum obtenu est alors de 0.059% (point \(O\) : centre du parallélépipède).
Ce test a permis de tester en linéaire transitoire la modélisation 3D avec des mailles HEXA27.