v3.02.106 SSLP106 – Massif rectangulaire en flexion pure (test des éléments QUAD4 sous intégrés)#

Résumé:

On teste les éléments finis sous intégrés à un point de Gauss stabilisés par la méthode assumed strain sur un calcul de flexion pure en déformation plane.

Solution de référence#

Méthode de calcul#

La solution de référence provient d’une solution analytique de [Bib1]:

(4697)#\[{u}_{x}(x,y)=\frac{4(1-{\nu}^{2})}{{\mathrm{EL}}^{2}}.(\mathrm{y.}({x}^{2}-\mathrm{2.Lx})+\frac{2+\nu (1-\nu )}{3}.y.(\frac{{L}^{2}}{4}-{y}^{2})).{\sigma}_{d}\]

Et suivant \(y\) :

(4698)#\[{u}_{y}(x,y)=\frac{4(1-{\nu}^{2})}{{\mathrm{EL}}^{2}}({\mathrm{Lx}}^{2}-\frac{{x}^{3}}{3}-\nu .(1-\nu ).{y}^{2}.(x-L)+\frac{4+5\nu .(1-\nu )}{12}.{\mathrm{xL}}^{2})).{\sigma}_{d}\]

Grandeurs et résultats de référence#

En appliquant , on trouve le déplacement suivant \(x\) au point \(C\) : \({u}_{x}(L,L/2)=-1.5\mathrm{mm}\)

Et en appliquant , on trouve le déplacement suivant \(y\) au point \(C\) : \({u}_{y}(L,L/2)=4.25\mathrm{mm}\)

Références bibliographiques#

[Bib1] Timoshenko & Woinowsky-Krieger, «Theory of plates and shells», McGrawHill, 1964.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation en déformations planes sur le maillage \(\mathrm{2D}\) suivant:

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 25

Nombres et types de mailles: 16 SEG2, 16 QUAD4 avec les éléments D_PLAN_SI.

Grandeurs testées et résultats#

Valeur testée	Référence	Type	Écart
Déplacement \(\mathrm{DX}\) en \(C\)	-1,25	Analytique	1.7%
Déplacement \(\mathrm{DY}\) en \(C\)	4,25	Analytique	0,3%

Remarques#

La sollicitation est dite à flexion dominante. A travers ce calcul, on montre la difficulté pour le QUAD4 même sous-intégré de représenter les modes de déformation en flexion en déformation plane et pour un coefficient \(\nu\) proche de 0,5. Ceci se traduit par une rigidité excessive de l’élément due aux termes de cisaillement de l’opérateur gradient discrétisé: il s’agit d’un blocage numérique.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

On reprend le maillage précédent que l’on passe en éléments quadratiques dans le but d’utiliser la modélisation D_PLAN_INCO_UPG (éléments adaptés aux problèmes incompressibles).

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 65

Nombres et types de mailles: 16 SEG3, 16 QUAD8 avec les éléments D_PLAN_INCO_UPG.

Grandeurs testées et résultats#

Valeur testée	Référence	Type	Écart
Déplacement \(\mathrm{DX}\) en \(C\)	-1,25	Analytique	<0.01%
Déplacement \(\mathrm{DY}\) en \(C\)	4,25	Analytique	<0.01%

Remarques#

Ces éléments adaptés aux problèmes incompressibles donnent un résultat identique à la solution analytique.

Synthèse des résultats#

La mauvaise qualité du résultat des éléments QUAD4 sous-intégrés s’explique par le phénomène de blocage numérique qui rend l’élément très rigide. En outre, sa convergence vers la solution analytique est très lente. Ce phénomène apparaît bien sûr aussi pour l’élément intégré complètement. Le calcul à l’aide d’éléments quadratiques incompressibles permet d’obtenir une solution exacte.