r7.01.08 Modèle d’endommagement de MAZARS

Résumé :

Cette documentation présente le modèle de comportement de MAZARS qui permet de décrire le comportement élastique-endommageable du béton. Ce modèle est 3D, isotrope et s’appuie sur un critère d’endommagement écrit en déformation et décrivant la dissymétrie traction-compression. Le modèle initial, ne rend pas compte de la restauration de rigidité en cas de «refermeture des fissures» et ne prend pas en compte les éventuelles déformations plastiques ou effets visqueux qui peuvent être observés au cours des déformations d’un béton. La version implémentée dans Code_Aster tient compte des dernières améliorations. Cette reformulation du modèle Mazars des années 1980 permet de mieux décrire le comportement du béton en bi-compression et en cisaillement pur.

La version \(\mathrm{1D}\) du modèle permet de rendre compte de la restauration de rigidité en cas de refermeture des fissures, elle est seulement utilisée avec les poutres multifibres [R5.03.09].

Les modèles de MAZARS

Modèle d’Origine de Mazars

Le modèle de MAZARS a été élaboré dans le cadre de la mécanique de l’endommagement. Ce modèle est détaillé dans la thèse de MAZARS ]

La contrainte est donnée par la relation suivante :

(3159)\[\sigma =(1-D)\text{E}{\epsilon}^{\mathrm{e}}\]

avec :

• \(E\) la matrice de Hooke,

• \(D\) la variable d’endommagement

•  \({\varepsilon}^{e}\) la déformation élastique \({\varepsilon}^{e}=\varepsilon -{\varepsilon}^{\text{th}}-{\varepsilon}^{\text{rd}}-{\varepsilon}^{\text{re}}\)

• \({\varepsilon}^{\text{th}}=\alpha (T-{T}_{\text{ref}}){I}_{d}\) la dilatation thermique

• \({\varepsilon}^{\text{re}}=-\beta \xi {\mathrm{I}}_{\mathrm{d}}\) le retrait endogène (lié à l’hydratation)

• \({\varepsilon}_{\text{rd}}=-\kappa ({C}_{\text{ref}}-C){I}_{d}\) le retrait de dessiccation (lié au séchage)

\(D\) est la variable d’endommagement. Elle est comprise entre \(0\) , matériaux sain, et \(1\) , matériau rompu. L’endommagement est piloté par la déformation équivalente \({\epsilon}_{\text{eq}}\) qui permet de traduire un état triaxial par une équivalence à un état uniaxial. Comme les extensions sont primordiales dans le phénomène de fissuration du béton, la déformation équivalente introduite est définie à partir des valeurs propres positives du tenseur des déformations, soit :

\({\epsilon}_{\text{eq}}=\sqrt{{\langle \epsilon \rangle }_{+}:{\langle \epsilon \rangle }_{+}}\) où dans le repère principal du tenseur de déformations : \({\varepsilon}_{\text{eq}}=\sqrt{{\langle {\varepsilon}_{1}\rangle }_{+}^{2}+{\langle {\varepsilon}_{2}\rangle }_{+}^{2}+{\langle {\varepsilon}_{3}\rangle }_{+}^{2}}\)

(éq 2.1-2 )

sachant que la partie positive \({\langle \rangle }_{+}\) est définie de telle sorte que si \({\varepsilon}_{i}\) est la déformation principale dans la direction \(i\) :

(3159)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}{\langle {\epsilon}_{i}\rangle }_{+}={\epsilon}_{i}\text{si}{\epsilon}_{i}\ge 0\\ {\langle {\epsilon}_{i}\rangle }_{+}=0\text{si}{\epsilon}_{i}<0\end{array}\end{split}\]

Remarque :

Dans le cas d’un chargement thermo-mécanique, seule la déformation élastique \({\varepsilon}^{e}=\varepsilon -{\varepsilon}^{\text{th}}\) contribue à l’évolution de l’endommagement d’où : \({\varepsilon}_{\text{eq}}=\sqrt{{\langle {\varepsilon}^{e}\rangle }_{+}:{\langle {\varepsilon}^{e}\rangle }_{+}}\) .

\({\epsilon}_{\text{eq}}\) est un indicateur de l’état de tension dans le matériau qui génère l’endommagement. Cette grandeur définit la surface de charge \(f\) telle que:

\[ \begin{align}\begin{aligned}:label: eq-None\\ f={\varepsilon}_{\text{eq}}-K(D)=0\\*(4)*\\avec :math:`K(D)={\epsilon}_{\text{d0}}` si :math:`D=0` . :math:`{\epsilon}_{\text{d0}}` la déformation seuil d'endommagement.\end{aligned}\end{align} \]

Lorsque la déformation équivalente atteint cette valeur, l’endommagement s’active. \(D\) est défini comme une combinaison de deux modes d’endommagement définis par \({D}_{\text{t}}\) et \({D}_{\text{c}}\) , variant entre 0 et 1 selon l’état d’endommagement associé, et correspondant respectivement à l’endommagement en traction et en compression. La relation liant ces variables est la suivante:

\[ \begin{align}\begin{aligned}:label: eq-None\\ D={\alpha}_{t}^{\beta}{D}_{t}+{\alpha}_{c}^{\beta}{D}_{c}\\*(5)*\end{aligned}\end{align} \]

\(\beta\) est un coefficient qui a été introduit ultérieurement pour améliorer le comportement en cisaillement. Usuellement sa valeur est fixée à 1.06. Les coefficients \({\alpha}_{\text{t}}\) et \({\alpha}_{\text{c}}\) réalisent un lien entre l’endommagement et l’état de traction ou de compression. Lorsque la traction est activée \({\alpha}_{\text{t}}=1\) alors que \({\alpha}_{\text{t}}=0\) et inversement en compression.

Une particularité de ce modèle est son écriture explicite ce qui implique que toutes les grandeurs se calculent directement sans utiliser un algorithme de linéarisation comme celui de Newton-Raphson. Ainsi, les lois d’évolution des endommagements \({D}_{\text{t}}\) et \({D}_{\text{c}}\) s’expriment seulement à partir de la déformation équivalente \({\epsilon}_{\text{eq}}\)

(3159)\[{D}_{t}=1-\frac{(1-{A}_{t}){\varepsilon}_{\mathit{d0}}}{{\varepsilon}_{\text{eq}}}-{A}_{t}\exp(-{B}_{t}({\varepsilon}_{\text{eq}}-{\varepsilon}_{\mathit{d0}}))\]

(3159)\[{D}_{c}=1-\frac{(1-{A}_{c}){\varepsilon}_{\mathit{d0}}}{{\varepsilon}_{\text{eq}}}-{A}_{c}\exp(-{B}_{c}({\varepsilon}_{\text{eq}}-{\varepsilon}_{\mathit{d0}}))\]

avec \({A}_{t}\) , \({A}_{c}\) , \({B}_{t}\) , et \({B}_{c}\) , des paramètres matériaux à identifier. Ces paramètres permettent de moduler la forme de la courbe post-pic. Ils sont obtenus à l’aide d’essais de traction et d’un essai de compression.

Modèle Revisité de Mazars

Bien que couramment employé, le modèle d’Origine de Mazars a des lacunes dans la modélisation du comportement du béton lors de chargements en cisaillement et en bi-compression. Une comparaison entre les surfaces de charge des deux modèles est donnée en .

a) Modèle d’Origine de Mazars b) Modèle Revisité de Mazars

Figure 2.2-1: Comparaison des surfaces d’initiation d’endommagement et de rupture des modèles Mazars dans le plan \({\sigma}_{3}=0\) et un béton C30

Ainsi, une nouvelle formulation est proposée à travers 2 modifications majeures:

1. amélioration du comportement en bi-compression,

2. simplification et amélioration du comportement en cisaillement.

Le modèle de Mazars d’origine des années 1980 ] sous-estime grandement la résistance du béton en bi-compression. La première modification apportée par le modèle Revisité améliore donc le comportement en bi-compression. Ce but est atteint en corrigeant la déformation équivalente lorsqu’au moins une contrainte principale est négative, à l’aide d’une variable \(\gamma\) :

(3159)\[ \begin{align}\begin{aligned}{\epsilon}_{\mathit{eq}}^{\mathit{corrigée}}=\gamma {\epsilon}_{\text{eq}}=\gamma \sqrt{{\langle \epsilon \rangle }_{+}:{\langle \epsilon \rangle }_{+}}\\ avec:\end{aligned}\end{align} \]

(3159)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}\gamma =-\frac{\sqrt{\sum_{i}{\langle {\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\rangle }_{-}^{2}}}{\sum_{i}{\langle {\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\rangle }_{-}}\text{si au moins une contrainte effective est négative}\\ \gamma =1\text{sinon}\end{array}\end{split}\]

La contrainte effective au sens de la mécanique de l’endommagement est définie par:

(3159)\[\underline{\underline{\tilde{\sigma}}}=\frac{\underline{\underline{\sigma}}}{1-D}\]

La définition de < > - est similaire à :

(3159)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}{\langle {\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\rangle }_{-}={\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\text{si}{\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\le 0\\ {\langle {\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\rangle }_{-}=0\text{si}{\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}>0\end{array}\end{split}\]

où \({\tilde{\sigma}}_{i}\) est une contrainte effective principale.

L’amélioration du comportement en cisaillement est atteint par l’introduction d’une nouvelle variable interne: \(Y\) . Elle correspond au maximum atteint au cours du chargement de la déformation équivalente. Sa valeur initiale \({Y}_{0}\) est \({\epsilon}_{\mathit{d0}}\) . \(Y\) est définie par l’équation suivante:

(3159)\[Y=\max\left({\epsilon}_{\mathit{d0}}\text{,max}\left({\epsilon}_{\mathit{eq}}^{\mathit{corrigée}}\right)\right)\]

La fonction de charge est :

(3159)\[f={\epsilon}_{\mathit{eq}}^{\mathit{corrigée}}-Y\]

L’évolution de l’endommagement est donnée par:

(3159)\[D=1-\frac{(1-A){Y}_{0}}{Y}-A\exp(-B(Y-{Y}_{0}))\]

Dans cette expression, ce sont les variables \(A\) et \(B\) qui permettent de reproduire le comportement quasi fragile du béton en traction et le comportement écroui en compression. Pour représenter au mieux les résultats expérimentaux, les lois d’évolution suivantes ont été choisies pour \(A\) et \(B\) :

(3159)\[A={A}_{t}({\mathrm{2r}}^{2}(1-\mathrm{2k})-r(1-\mathrm{4k}))+{A}_{c}({\mathrm{2r}}^{2}-\mathrm{3r}+1)\]

et

(3159)\[B={r}^{2}{B}_{t}+(1-{r}^{2}){B}_{c}\]

où l’expression de \(r\) est :

(3159)\[r=\frac{\sum_{i}{\langle {\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\rangle }_{+}}{\sum_{i}\mid {\stackrel{̃}{\sigma}}_{i}\mid }\]

Il apparaît dans ces équations une nouvelle variable \(r\) qui nous renseigne sur l’état de contrainte. Lorsque \(r\) est égal à 1 (correspondant au secteur des tractions), les variables \(A\) et \(B\) sont équivalentes aux paramètres \({A}_{t}\) et \({B}_{t}\) . Donc, est identique à . Inversement,si \(r\) est nulle (correspondant au secteur des compressions), alors \(A={A}_{c}\) , \(B={B}_{c}\) et est identique à .

La donne dans le plan \({\sigma}_{3}=0\) l’évolution en fonction du signe des contraintes principales des variables \(A\) , \(B\) , \(r\) et \(\gamma\) .

Figure 2.2-2: Évolution des variables \(A\) , \(B\) , \(r\) et \(\gamma\) dans le plan \({\sigma}_{3}=0\)

Dans l’équation un nouveau paramètre apparaît: \(k\) . Il introduit une asymptote à la courbe \(\sigma -\epsilon\) en cisaillement et il est défini par :

(3159)\[k=\frac{{A}_{\text{cisaillement}}}{{A}_{t}}\]

où \({A}_{\text{cisaillement}}\) définit la contrainte résiduelle en cisaillement pur. Il est similaire à \({A}_{t}\) pour ce cas de chargement. La valeur conseillée pour \(k\) est de \(0.7\) . La valeur de \(k\) inférieure à 1 est très utile dans la modélisation des effets de friction entre le béton et les armatures dans des structures en béton armé car elle induit une contrainte de cisaillement résiduelle. Pour la valeur \(k=1\) on retrouve le comportement du modèle d’Origine ().

Asymptote induite par k  1

Figure 2.2-3: Courbe contrainte-déformation lors d’un essai de cisaillement pur sur un point de Gauss

Le modèle d’Origine sous-estime la résistance du béton en cisaillement pur. Cette nouvelle formulation permet d’augmenter cette résistance en cisaillement pur passant de \(2.5\mathit{MPa}\) à \(3.5\mathit{Mpa}\) pour un béton C30. Cette valeur dépend de celles des paramètres matériaux entrées (\({A}_{t}\) , \({A}_{c}\) , \({B}_{t}\) , et \({B}_{c}\) ).

La réponse locale du modèle Revisité de Mazars sous chargement successifs de traction compression est donnée par la .

Figure 2.2-4: Réponse contrainte-déformation du modèle de Mazars pour une sollicitation 1D.

La permet de visualiser un certain nombre de caractéristiques du modèle de Mazars, à savoir :

• l’endommagement affecte la rigidité du béton,

• il n’y a pas de déformations irréversibles,

• les réponses en traction et en compression sont bien dissymétriques,

Remarque : Les modèles Mazars d’Origine et Revisité ne prennent pas en compte le caractère unilatéral du béton à savoir la refermeture de fissure lors du passage d’un état de traction à un état de compression.

Identification

Outre les paramètres thermo-élastiques \(E,\nu ,\alpha\) , le modèle de MAZARS Revisité fait intervenir 6 paramètres matériau : \({A}_{c},{B}_{c},{A}_{t},{B}_{t},{\varepsilon}_{\mathit{d0}},k\) .

• \({\varepsilon}_{\mathrm{d0}}\) est le seuil d’endommagement. Il agit évidemment sur la contrainte au pic mais également sur la forme de la courbe post-pic. En effet, la chute de contrainte est d’autant moins brutale que \({\varepsilon}_{\mathrm{d0}}\) est petit. En général \({\varepsilon}_{\mathrm{d0}}\) est compris en \(0.5\) et \(1.5{10}^{-4}\) .

Les coefficients \(A\) et \(B\) permettent de moduler la forme de la courbe post-pic. Ils sont définis par les équations et qui dépendent des paramètres du modèle d’Origine de Mazars ( \({A}_{t}\) , \({B}_{t}\) , \({A}_{c}\) et \({B}_{c}\) ) et de \(r\) :

• \(A\) introduit une asymptote horizontale qui est l’axe des \(\varepsilon\) pour \(A=1\) et l’horizontale passant par le pic pour \(A=0\) (cf.[]). Dans le domaine des tractions , \(A\) est équivalent à \({A}_{t}\) (et réciproquement dans le domaine des compressions \(A={A}_{c}\) ). En général, \({A}_{c}\) est compris entre 1 et 2. et \({A}_{t}\) entre 0.7 et 1.

• \(B\) selon sa valeur peut correspondre à une chute brutale de contrainte (\(B>10000\) ) ou une phase préliminaire d’accroissement de contrainte suivie, après passage par un maximum, d’une décroissance plus ou moins rapide comme on peut le voir sur la []. Dans le domaine des tractions , \(B\) est équivalent à \({B}_{t}\) (et réciproquement dans le domaine des compressions \(B={B}_{c}\) ). En général \({B}_{c}\) est compris entre \(1000\) et \(2000\) et \({B}_{t}\) entre \(9000\) et \(21000\) .

• \(k\) introduit une asymptote horizontale en cisaillement pur sur la courbe contrainte-déformation si sa valeur est différente de 1 pour \({A}_{t}=1\) , . La valeur conseillée est \(0.7\) .

Fi gure 3-1: Influence du paramètre \({A}_{t}\)

Fig ure 3-2: Influence du paramètre \({B}_{t}\)

Un moyen d’obtenir un jeu de paramètres est de disposer des résultats d’essais uniaxiaux en compression et traction (pour la traction on peut utiliser autres type de tests, des essais de fendage «brésiliens» par exemple).

Si on utilise la régularisation en gradient de déformation (voir § 1.2 ), il est recommandé de caler les paramètres de la loi au même temps de la longueur caractéristique \({L}_{c}\) . Quelques auteurs (confer ) suggère aussi de calibrer \({L}_{c}\) en utiliser des essais expérimentaux sur plusieurs tailles des spécimens ; en effet, la longueur caractéristique est liée à la taille de la zone de dissipation énergétique qui pourrait être à l’origine d’effet d’échelle structuraux.

Résolution numérique

Évaluation de la variable interne Y

Le calcul de \(Y\) est très simple et suit un schéma explicite. Les étapes sont les suivantes:

• Calcul des déformations élastiques et thermiques

• Calcul des contraintes élastiques principales et évaluation de \(\gamma\) .

• Calcul de la déformation équivalente ( et ).

• Calcul des variables \(r\) , \(A\) et \(B\)

• Calcul de la variable interne \(Y\) .

• • Si \(Y\le {Y}^{-}\) alors \({Y}^{+}={Y}^{-}\) .

Si \(Y>{Y}^{-}\) alors \({Y}^{+}=Y\) .

Remarque: Actuellement la variable stockée lors des calculs est \({\varepsilon}_{\text{eq}}\) afin de ne pas modifier les couplages existants avec UMLV. Une condition sur l’évolution strictement croissante de l’endommagement permet cette simplification dans le cas où \(\gamma\) varie.

Évaluation de l’endommagement

L’endommagement est calculé dans tous les cas avec l’équation .

(3159)\[D=1-\frac{\left(1-A\right){Y}_{0}}{Y}-A\exp\left(-B\left(Y-{Y}_{0}\right)\right)\]

Il est important de préciser que nous imposons à \(D\) d’être compris entre 0 et 1 car il est possible d’avoir des valeurs en dehors cet encadrement suivant le choix des paramètres matériaux comme pour le modèle d’origine.

Calcul de la contrainte

Après évaluation de \(D\) , nous calculons simplement:

(3159)\[\sigma =(1-D)\mathrm{A}{\varepsilon}^{\mathrm{e}}\]

Calcul de la matrice tangente

Un des désavantage du modèle de Mazars est l’absence de matrice tangente. Il n’est pas possible de calculer cette matrice à cause de l’utilisation de l’opérateur MacCauley dans le calcul de la déformation équivalente , de \(\gamma\) et \(r\) . Toutefois il est possible d’utiliser une approximation lors de chargement radiaux.

Nous cherchons le tenseur \(\mathrm{M}\) tel que \(\dot{\sigma}=\mathrm{M}\dot{\varepsilon}\) sachant que \(\sigma =(1-D)\mathrm{A}\varepsilon\) . La matrice est donc la somme de deux termes, l’un à endommagement constant, l’autre dû à l’évolution de l’endommagement:

(3159)\[\dot{\sigma}=(1-D)\mathrm{A}\dot{\varepsilon}-\mathrm{A}\varepsilon \dot{D}\]

Le premier terme est facile, il s’agit de l’opérateur de Hooke, multiplié par le facteur \(1-D\) .

Le deuxième nécessite l’évaluation de l’incrément d’endommagement \(\dot{D}\) .

Si un chargement radial est imposé, les variables \(\gamma\) , \(r\) , \(A\) et \(B\) sont constantes. En posant:

(3159)\[\dot{D}=\frac{\partial D}{\partial Y}\frac{\partial Y}{\partial (\gamma {\varepsilon}_{\text{eq}})}\frac{\partial (\gamma {\varepsilon}_{\text{eq}})}{\partial \varepsilon }\dot{\varepsilon}\]

Avec

(3159)\[\frac{\partial Y}{\partial (\gamma {\varepsilon}_{\text{eq}})}\frac{\partial (\gamma {\varepsilon}_{\text{eq}})}{\partial \varepsilon }=\frac{\gamma {\langle \varepsilon \rangle }_{+}}{{\epsilon}_{\text{eq}}}\]

Sous cette condition de chargement radial, l’incrément de déformation s’écrit:

(3159)\[\dot{D}=\left[\frac{(1-A){Y}_{0}}{{Y}^{2}}+\text{AB}\exp(B(Y-{Y}_{0}))\right]\frac{\gamma {\langle \varepsilon \rangle }_{+}}{{\varepsilon}_{\text{eq}}}\dot{\varepsilon}\]

Remarques :

1.	Étant donné les simplifications faites, dans le cas général la matrice tangente n’est pas consistante. Aussi, il peut arriver que la réactualisation de la matrice tangente au cours des itérations de Newton n’aide pas à la convergence. Dans ce cas, il suffit d’utiliser uniquement la matrice sécante en imposant STAT_NON_LINE(NEWTON = _F(REAC_ITER =0 )).
2.	Dans le cas général, la matrice tangente est non-symétrique. Il est possible de le faire grâce au mot-clé SOLVEUR=_F(SYME = ‘OUI’) de STAT_NON_LINE .
3 .	L’expression analytique de la matrice tangente n’est valide que pour des chargements radiaux ( \(\mathit{dr}=d\gamma =0\) ). Dans les autres cas, la convergence quadratique de la méthode n’est plus garantie.

Variables internes stockées

Nous indiquons dans le tableau suivant les variables internes stockées en chaque point de Gauss pour le modèle de MAZARS :

Variable interne	Sens physique
\(\mathit{V1}\)	\(D\) : variable d’endommagement
\(\mathit{V2}\)	indicateur d’endommagement (0 si élastique, 1 si endommagé c’est-à-dire dès que \(D\) n’est plus nul)
\(\mathit{V3}\)	\(\mathit{Tmax}\) : température \(\theta\) maximum atteinte au point de gauss
\(\mathit{V4}\)	\({\varepsilon}_{\text{eq}}=\sqrt{{\langle \varepsilon \rangle }_{+}:{\langle \varepsilon \rangle }_{+}}\) la déformation équivalente

Tableau 4.5-1 : Variables internes stockées.

Fonctionnalités et vérification

La loi de comportement MAZARS, mot-clé COMPORTEMENT de STAT_NON_LINE, matériau associé MAZARS est utilisable dans Code_Aster avec différentes modélisations :

• 3D, D_PLAN, AXIS, C_PLAN (formulation analytique implantée, ne pas utiliser la méthode DEBORST)

• couplé avec les modèles de THHM (confer [R7.01.11]).

La loi de MAZARS peut être couplée avec le modèle de fluage BETON_UMLV_FP (confer [R7.01.06]) via le mot-clé KIT_DDI.

La loi de comportement est vérifiée par les tests suivants :

COMP007b	[V6.07.107]	Essai de compression-dilatation pour étude du couplage thermique-fissuration
HSNV129	[V7.22.129]	Essai de compression-dilatation pour étude du couplage thermique-fissuration
SSLA103	[V3.06.103]	Calcul du retrait de dessiccation et du retrait endogène sur un cylindre
SSNP113	[V6.03.113]	Rotation des contraintes principales (loi de MAZARS)
SSNP161	[V6.03.161]	Essais biaxiaux de Kupfer
SSNV169	[V6.04.169]	Couplage fluage-endommagement
WTNV121	[V7.31.121]	Mouillage du béton avec une loi d’endommagement

Tableau 5-1 : Cas-tests existants

Bibliographie

[bib1]	Mazars (1984). Application de la mécanique de l’endommagement au comportement non linéaire et à la rupture du béton de structure , Thèse de doctorat d’état de l’Université Paris VI.
[bib2]	Lemaitre, J.L. Chaboche (1988), Mécanique des matériaux solides . Ed. Dunod.
[bib3]	Mazars, F. Hamon. A new strategy to formulate a 3D damage model for concrete under monotonic, cyclic and severe loadings . Engineering Structures, 2012, under review
[bib4]	Askes (2000). Advanced spatial discretisation strategies for localised failure, mesh adaptivity and meshless methods , PhD thesis, Delft University of Technology, Faculty of Civil Engineering and Geosciences.
[bib5]	R.H.J. Peerlings, R. de Borst, W.A.M. Brekelmans, J.H.P. de Vree, I. Spee (1996). Some observations on localisation in non local and gradient damage models , Eur. J. Mech. A/Solids, 15( 6), 937-953.
[bib6]	Pijaudier-Cabot, J. Mazars, J. Pulikowski (1991). Steel-concrete bond analysis with non local continuous damage , J. Structural Engrg ASCE, 117 , 862-882.
[bib7]	Le Bellego, J.F. Dubé, G. Pijaudier-Cabot, B. Gerard (2003). Calibration of nonlocal damage model from size effect tests , Eur. J. Mech. A/Solids, 22 (1), 33-46.

Historique des versions du document

Version Aster	Auteur(s) ou contributeur(s), organisme	Description des modifications
6.4	S.MICHEL-PONNELLE	Texte initial
7.4	S.MICHEL-PONNELLE
9.4	S.MICHEL-PONNELLE, Marina BOTTONI	Ajout du couplage UMLV-MAZARS + fiche 11150 + 4ème variable interne
11.0	Marina BOTTONI
11.2	François HAMON	Reformulation du modèle Mazars