v6.04.402 SSNV402 – Vérification de la loi de comportement BETON_RAG : couplage des phénomènes#
Résumé:
Ces tests vérifient la loi de comportement BETON_RAG sur un cube sollicité par un chargement de température et de séchage. La réponse du modèle est comparée à des solutions obtenues en résolvant analytiquement les équations qui régissent le comportement [R7.01.26].
Plusieurs modélisations sont proposées:
Modélisation a: le cube est libre en déformations.
Modélisation b: le cube est bloqué en déplacements.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation est réalisée sur un cube libre de se déformer. Le chargement est une température et un séchage qui varient au cours du temps.
# Liste commune pour l’ interpolation de la température et du séchage
L_evol = DEFI_LIST_REEL(VALE=( 0.0, 2.0, 10.0, 40.0, 50.0, 80.0, 100.0, 110.0, 200.0, ))
# Champ de Température
TFONC = DEFI_FONCTION(NOM_PARA=’INST’ ,
PROL_DROITE=’CONSTANT’ , PROL_GAUCHE=’CONSTANT’ ,
VALE=( 0.0, 10.0,
2.0, 10.0,
10.0, 40.0,
40.0, 50.0,
100.0, 20.0,
200.0, 50.0, ) , )
# Champ de Séchage
SFONC = DEFI_FONCTION(NOM_PARA=’INST’ ,
PROL_DROITE=’CONSTANT’ , PROL_GAUCHE=’CONSTANT’ ,
VALE=( 0.0, 0.30,
2.0, 0.30,
50.0, 0.60,
80.0, 0.30,
100.0, 0.70,
110.0, 0.70, ) , )
La figure représente l’évolution du chargement au cours du temps.
Figure 2.1-a: Évolution du chargement de température et de séchage.
Solution de référence#
Les équations sont issues de [R7.01.26].
Avancement chimique#
L’avancement chimique suit la loi suivante:
\(\frac{\partial A}{\partial t}\phantom{\rule{2em}{0ex}}=\phantom{\rule{2em}{0ex}}{a}_{0}.\exp\left[\frac{{E}_{a}}{R}\left(\frac{1}{{T}_{\mathit{ref}}}-\frac{1}{T}\right)\right]\frac{{⟨{S}_{r}-{S}_{r}^{0}⟩}_{+}}{\left(1-{S}_{r}^{0}\right)}{⟨{S}_{r}-A⟩}_{+}\) [éq2.2.1-1]
Cette équation dépend de la température et du séchage. Elle peut donc être vérifiée sans connaître l’état de déformation et de contrainte de l’échantillon.
Pression d’eau#
La pression capillaire est reliée au degré de saturation, par la relation:
\(\mathit{Pc}=-a.{S}_{r}.{({\mathit{Sr}}^{-b}-1)}^{1-1/b}\) [éq2.2.2-1]
Cette équation ne dépend que du séchage. Elle peut donc être vérifiée sans connaître l’état de déformation et de contrainte de l’échantillon.
Pression du gel#
La pression de gel effective suit la loi suivante
\({P}_{\mathit{gel}}={b}_{g}.{M}_{g}{⟨A.{V}_{g}-{⟨{A}_{0}.{V}_{g}+{b}_{g}\mathit{tr}({\epsilon}^{\mathit{total}})⟩}_{+}⟩}_{+}\) [éq2.2.3-1]
Cette équation dépend de l’avancement chimique et de la trace de la déformation. Elle ne peut donc être vérifiée qu’en connaissant l’état de déformation l’échantillon.
État mécanique de l’échantillon#
Pour résoudre les équations précédentes il faut déterminer les déformations. Les équation suivantes régissent le problème:
\({\epsilon}^{\text{e}}=\frac{1+{\nu}^{0}}{{E}^{0}}.{\sigma}^{\text{e}}-\frac{{\nu}^{0}}{{E}^{0}}\text{tr}({\sigma}^{\text{e}}).\mathit{Id}\)
avec:
\({\epsilon}^{\text{total}}={\epsilon}^{\text{e}}+{\epsilon}^{\text{fluage}}+{\epsilon}^{\text{vdt}}+{\epsilon}^{\text{ther}}\)
\({\sigma}^{\mathit{total}}={\sigma}^{\text{e}}-{P}_{\mathit{gel}}.\mathit{Id}-{P}_{c}.\mathit{Id}\)
On est dans le cas où \({\sigma}^{\mathit{total}}=0\) du fait des conditions aux limites. Les paramètres matériaux sont choisis de façon à ce que \({\epsilon}^{\text{fluage}}=0\) , \({\epsilon}^{\text{vdt}}=0\) , \({\epsilon}^{\text{ther}}=0\) .
On a donc \(\mathit{tr}({\epsilon}^{\text{total}})=\frac{3.(1-2.{\nu}^{0})}{{E}^{0}}.({P}_{\mathit{gel}}+{P}_{c})\) [éq2.2.4-1]
Grandeurs testées et résultats#
Pour l’avancement chimique, la variable interne correspondante est BR_AVCHI. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
4.981207356948E-03 |
1.0E-03 |
40.00 |
5.361979299970E-01 |
1.0E-03 |
50.00 |
5.924644217241E-01 |
1.0E-03 |
80.00 |
5.938195769343E-01 |
1.0E-03 |
100.00 |
5.938216310035E-01 |
1.0E-03 |
110.00 |
5.938338086705E-01 |
1.0E-03 |
200.00 |
7.000000000002E-01 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-a: Avancement chimique, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Pour la pression de gel, la variable interne correspondante est BR_PRGEL. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
40.00 |
2.101217954854E+06 |
1.0E-03 |
50.00 |
2.448598919982E+06 |
1.0E-03 |
80.00 |
2.460563938661E+06 |
1.0E-03 |
100.00 |
2.455008850947E+06 |
1.0E-03 |
110.00 |
2.455084251465E+06 |
1.0E-03 |
200.00 |
3.112433957654E+06 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-b: Pression de gel, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Pour la pression capillaire, la variable interne correspondante est BR_PRCAP. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
-2.810249099279E+06 |
1.0E-03 |
40.00 |
-2.529791246328E+06 |
1.0E-03 |
50.00 |
-2.400000000000E+06 |
1.0E-03 |
80.00 |
-2.861817604251E+06 |
1.0E-03 |
100.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
110.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
200.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-c : Pression de gel, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Les grandeurstestées sont les déformations. Les noms des composantes du champ EPSI_ELGA sont EPXX, EPYY, EPZZ. La figure représente l’évolution de la trace des déformations au cours du temps. Compte tenue de la symétrie du problème les 3 déformations sont identiques, on a donc:
\(\mathit{EPXX}=\mathit{EPYY}=\mathit{EPZZ}=\mathit{Trace}(\mathit{Epsi})/3\)
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
-4.391014217624E-05 |
1.0E-03 |
40.00 |
-6.696457679281E-06 |
2.1E-03 |
50.00 |
7.593581247263E-07 |
1.6E-02 |
80.00 |
-6.269588524836E-06 |
1.0E-03 |
100.00 |
4.884067537256E-06 |
3.2E-03 |
110.00 |
4.885245670348E-06 |
1.0E-03 |
200.00 |
1.515633482955E-05 |
1.0E-03 |
Figure 2.3-d: Trace des déformations, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Les données sont identiques à celles de la modélisation A.
Solution de référence#
Les équations sont issues de [R7.01.26].
Avancement chimique#
L’avancement chimique suit la loi suivante:
\(\frac{\partial A}{\partial t}\phantom{\rule{2em}{0ex}}=\phantom{\rule{2em}{0ex}}{a}_{0}.\exp\left[\frac{{E}_{a}}{R}\left(\frac{1}{{T}_{\mathit{ref}}}-\frac{1}{T}\right)\right]\frac{{⟨{S}_{r}-{S}_{r}^{0}⟩}_{+}}{\left(1-{S}_{r}^{0}\right)}{⟨{S}_{r}-A⟩}_{+}\) [éq3.2.1-1]
Cette équation dépend de la température et du séchage. Elle peut donc être vérifiée sans connaître l’état de déformation et de contrainte de l’échantillon.
Pression d’eau#
La pression capillaire est reliée au degré de saturation, par la relation:
\(\mathit{Pc}=-a.{S}_{r}.{({\mathit{Sr}}^{-b}-1)}^{1-1/b}\) [éq3.2.2-1]
Cette équation ne dépend que du séchage. Elle peut donc être vérifiée sans connaître l’état de déformation et de contrainte de l’échantillon.
Pression du gel#
La pression de gel effective suit la loi suivante
\({P}_{\mathit{gel}}={b}_{g}.{M}_{g}{⟨A.{V}_{g}-{⟨{A}_{0}.{V}_{g}+{b}_{g}\mathit{tr}({\epsilon}^{\mathit{total}})⟩}_{+}⟩}_{+}\) [éq3.2.3-1]
Cette équation dépend de l’avancement chimique et de la trace de la déformation. Elle ne peut donc être vérifiée qu’en connaissant l’état de déformation l’échantillon.
État mécanique de l’échantillon#
Pour résoudre les équations précédentes il faut déterminer les contraintes. Les équation suivantes régissent le problème:
\({\epsilon}^{\text{e}}=\frac{1+{\nu}^{0}}{{E}^{0}}.{\sigma}^{\text{e}}-\frac{{\nu}^{0}}{{E}^{0}}\text{tr}({\sigma}^{\text{e}}).\mathit{Id}\)
avec:
\({\epsilon}^{\text{total}}={\epsilon}^{\text{e}}+{\epsilon}^{\text{fluage}}+{\epsilon}^{\text{vdt}}+{\epsilon}^{\text{ther}}\)
\({\sigma}^{\mathit{total}}={\sigma}^{\text{e}}-{P}_{\mathit{gel}}.\mathit{Id}-{P}_{c}.\mathit{Id}\)
On est dans le cas où \({{\varepsilon}}^{\mathit{total}}=0\) du fait des conditions aux limites. Les paramètres matériaux sont choisis de façon à ce qu’il existe du fluage et que \({\epsilon}^{\text{vdt}}=0\) , \({\epsilon}^{\text{ther}}=0\) .
Grandeurs testées et résultats#
L’avancement chimique ainsi que la pression capillaire ne dépendent ni de l’état de contrainte ni de l’état de déformations. Leurs évolutions sont identiques à celles de la modélisation A.
Pour l’avancement chimique, la variable interne correspondante est BR_AVCHI. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
4.981207356948E-03 |
1.0E-03 |
40.00 |
5.361979299970E-01 |
1.0E-03 |
50.00 |
5.924644217241E-01 |
1.0E-03 |
80.00 |
5.938195769343E-01 |
1.0E-03 |
100.00 |
5.938216310035E-01 |
1.0E-03 |
110.00 |
5.938338086705E-01 |
1.0E-03 |
200.00 |
7.000000000002E-01 |
1.0E-03 |
Pour la pression de gel, la variable interne correspondante est BR_PRGEL. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
40.00 |
2.101217954854E+06 |
1.0E-03 |
50.00 |
2.448598919982E+06 |
1.0E-03 |
80.00 |
2.460563938661E+06 |
1.0E-03 |
100.00 |
2.455008850947E+06 |
1.0E-03 |
110.00 |
2.455084251465E+06 |
1.0E-03 |
200.00 |
3.112433957654E+06 |
1.0E-03 |
Pour la pression capillaire, la variable interne correspondante est BR_PRCAP. La figure représente son évolution au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
-2.810249099279E+06 |
1.0E-03 |
40.00 |
-2.529791246328E+06 |
1.0E-03 |
50.00 |
-2.400000000000E+06 |
1.0E-03 |
80.00 |
-2.861817604251E+06 |
1.0E-03 |
100.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
110.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
200.00 |
-2.142428528563E+06 |
1.0E-03 |
Pour les contraintes, les noms des composantes du champ SIEF_ELGA sont SIXX, SIYY, SIZZ. Compte tenue de la symétrie du problème les 3 contraintes sont identiques. La figure représente l’évolution de la contrainte au cours du temps.
Instant |
Valeur de référence |
Précision |
10.00 |
2.810249099279E+06 |
1.6E-02 |
40.00 |
4.285732914740E+05 |
1.2E-01 |
50.00 |
-4.859891998248E+04 |
1.1E+00 |
80.00 |
4.012536655895E+05 |
1.3E-01 |
100.00 |
-3.125803223844E+05 |
1.9E-01 |
110.00 |
-3.126557229023E+05 |
1.9E-01 |
200.00 |
-9.700054290914E+05 |
6.5E-02 |
Figure 3.3-a : Contraintes, comparaison entre la solution théorique et celle obtenue par code_aster.
Synthèse des résultats#
Les cas tests permettent de tester la bonne intégration de l’avancée chimique, de la pression de gel et de la pression capillaire. Pour la modélisation B, le phénomène de fluage est pris en compte. La résolution numérique du système d’équations différentielles montre une très bonne coïncidence avec les résultats de code_aster.