v2.03.504 SDLS504 - Flambement latéral d’une poutre (déversement)#
Résumé :
Ce test représente un calcul de stabilité d’une poutre (IPE) console soumise à un effort de flexion à une extrémité. On calcule la charge critique conduisant au flambement élastique par déversement. La matrice de rigidité géométrique utilisée dans la résolution du problème aux valeurs propres est celle qui est due aux contraintes initiales.
Ce test permet de valider la modélisation par les éléments finis COQUE_3D (TRIA7 et QUAD9) et 3D (HEXA8) dans le domaine du flambement linéaire d’Euler.
Les modélisations A et B sont réalisées avec COQUE_3D et les modélisations C, D, E, et F sont effectuées avec l’élément 3D.
La modélisation C utilise, comme les modélisations A et B, l’opérateur CALC_MODE pour obtenir le mode de flambement.
Les modélisations D et E utilisent l’opérateur STAT_NON_LINE pour obtenir les modes de flambement.
La modélisation F utilise un pilotage et intègre une petite perturbation dans les chargements pour diriger la solution vers le mode de flambement.
La charge critique et le mode propre associé sont comparés à une solution de référence analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le calcul de la charge critique de déversement est donnée en détail en [bib1].
\({P}_{\mathrm{cr}}={\gamma}_{2}\frac{\sqrt{E{I}_{y}C}}{{L}^{2}}\) |
charge critique de déversement |
avec \(C=\mathrm{GJ}\) |
rigidité à la torsion |
\(J=((b-2{h}_{1}){h}_{2}^{3}+2a{h}_{1}^{3})\) |
constante de torsion [bib2] |
\({C}_{1}E{I}_{y}\frac{{b}^{2}}{2}\) |
rigidité au gauchissement correspondant à une poutre en I |
Application numérique:
\(C=8578.515{\mathrm{N.m}}^{2}\)
\(\mathrm{C1}=5516.8{\mathrm{N.m}}^{4}\)
\(\frac{{L}^{2}C}{{C}_{1}}=6.22\)
La valeur de \({\gamma}_{2}\) dépend du rapport \(\frac{{L}^{2}C}{{C}_{1}}\) . Dans notre cas \({\gamma}_{2}\) vaut 8.617. Cette valeur est extraite d’un tableau donné en [bib1]. Ce qui nous donne \({P}_{\mathrm{cr}}=104797.82N\)
Résultats de référence#
Charge critique de déversement et mode associé.
Incertitudes sur la solution#
Solution analytique
Références bibliographiques#
S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE: Théorie de la stabilité élastique, deuxième édition, DUNOD 1966.
S.P. TIMOSHENKO : Résistance des matériaux, Tome 2: DUNOD 1968.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 3022
Nombre de mailles et types: 960 TRIA7
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
% différence |
Charge critique (mode 1) |
-104 797.82 N |
2.820 |
|
Charge critique (mode 2) |
104 797.82 N |
2.940 |
Remarques#
Les deux charges critiques obtenues sont similaires en amplitude, mais de signe contraire. Les modes de déversement associés sont identiques. Dans ce cas-test, la charge critique associée au chargement appliqué correspond à la deuxième charge critique trouvée (Mode 2).
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2106
Nombre de mailles et types: 480 QUAD9
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
% différence |
Charge critique (mode 1) |
–104 797.82 N |
–6.834 |
|
Charge critique (mode 2) |
104 797.82 N |
–6.834 |
Remarques#
Les deux charges critiques obtenues sont similaires en amplitude, mais de signe contraire. Les modes de déversement associés sont identiques. Dans ce cas-test, la charge critique associée au chargement appliqué correspond à la première charge critique trouvée (Mode 1).
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 4471
Nombre de mailles et types : 2240 HEXA8
Grandeurs testées et résultats#
Le mode de déversement :
Identification |
Référence |
Valeur calculée |
% Différence |
Charge critique (mode 1) |
-104 797.82 N |
-96 392.652 N |
8.020365 |
Charge critique (mode 2) |
104 797.82 N |
96 392.652 N |
8.020365 |
Remarques#
Les deux charges critiques obtenues sont similaires en amplitude, mais de signe opposé.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Le maillage utilisé est le même que celui de la modélisation C. On utilise dans cette modélisation STAT_NON_LINE/CRIT_STAB pour calculer les modes de flambement (TYPE = “FLAMBEMENT”) et analyser l’instabilité (TYPE = “STABILITE”).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 4471
Nombre de mailles et types : 2240 HEXA8
Grandeurs testées et résultats#
Pour les charges critiques :
Identification |
Référence |
Valeur calculée |
% Différence |
Charge critique (mode 1) |
-104 797.82 N |
-96 392.652 N |
8.020365 |
Charge critique (mode 2) |
104 797.82 N |
96 392.652 N |
8.020365 |
Pour la valeur de CHAR_STAB qui indique la stabilité de la solution, un test de non-régression est intégré.
Remarques#
Les deux charges critiques obtenues sont similaires en amplitude, mais de signe opposé. La valeur CHAR_STAB est positive à chaque pas de temps, indiquant que la solution est stable.
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Le maillage utilisé est le même que celui de la modélisation C. On utilise dans cette modélisation STAT_NON_LINE/CRIT_STAB pour calculer les modes de flambement (TYPE = “FLAMBEMENT”) et analyser l’instabilité (TYPE = “STABILITE”). Dans cette modélisation, la formulation GDEF_LOG est utilisée.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4471
Nombre de mailles et types: 2240 HEXA8
Grandeurs testées et résultats#
En grandes déformations GDEF_LOG, Code_Aster ne sépare pas les matrices matérielle et géométrique, et ne retourne pas directement la charge critique. La charge critique se trouve entre les deux instants où la valeur CHAR_CRIT change de signe. Pour ce problème, le signe de CRIT_STAB change entre l’instant 0.84 et 0.85. La charge critique est donc entre 120 000*0.84=100800 N et 120000*0.85=102000 N. Cette valeur est proche de la valeur de référence 104 797.82 N.
Pour la valeur de CHAR_STAB qui indique la stabilité de la solution, des tests de non-régression sont intégrés.
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Le maillage utilisé est le même que celui de la modélisation C.
Dans cette modélisation, on effectue un calcul STAT_NON_LINE en grandes déformations (GDEF_LOG). Afin d’assurer la convergence du calcul, un PILOTAGE avec DDL_IMPO est ajouté dans la direction Y. De plus, une perturbation par un faible chargement dans la direction Z est introduite afin de reproduire le mode de flambage.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4471
Nombre de mailles et types: 2240 HEXA8
Grandeurs testées et résultats#
Avec la petite perturbation introduite, il est possible de “diriger” la solution du problème vers le flambage. Voir la figure ci-dessous.
Deux tests de non-régression sur les valeurs de “DZ” et de “ETA_PILOTAGE” sont intégrés dans cette modélisation.
Synthèse des résultats#
Pour les modélisations A-D, on obtient deux charges critiques similaires mais de signe contraire. Les modes de déversement associés sont identiques. Les charges critiques négatives correspondent au chargement appliqué tandis que les charges critiques positives correspondent au chargement inverse. Si l’on fait abstraction du signe du chargement, les deux charges critiques existent réellement.
Les charges critiques relatives au chargement appliqué sont correctes. Les erreurs obtenues ne dépassent pas :
\(\text{3\%}\) pour la modélisation COQUE_3D avec des mailles TRIA7,
\(\text{7\%}\) pour la modélisation COQUE_3D avec des mailles QUAD9.
\(\text{8.1\%}\) pour la modélisation 3D avec des mailles HEXA8.
On constate que la modélisation COQUE_3D avec des mailles TRIA7 est plus précise que la modélisation COQUE_3D avec des mailles QUAD9.
Ce test a permis de tester la modélisation COQUE_3D (A et B avec maillage biquadratique) et la modélisation 3D (C et D avec maillage linéaire) en flambement linéaire d’Euler.
La modélisation E a permis de tester la modélisation 3D en flambage avec STAT_NON_LINE en grandes déformations (GDEF_LOG). La modélisation F teste la fonction de pilotage qui permet de diriger la solution vers le flambement.
