v2.01.320 SDLD320 - Réponse transitoire d’un système librede 3 masses et 2 ressorts sous excitation harmonique#
Résumé :
On considère l’analyse transitoire d’un système discret masse/ressort linéaire à trois degrés de liberté totalement libre. Ce système possède un amortissement non-proportionnel. Une excitation sinusoïdale est appliquée à une extrémité du système.
Dans ce problème, on teste, au travers d’un modèle discret, le calcul de la réponse transitoire d’un système dont les modes rigides ne sont pas fixés. On ne s’intéresse qu’au régime transitoire. Pour cela, on recherchera la solution par une intégration sur la base modale complète.
Les résultats obtenus (déplacement, vitesse et accélération) sont comparés à une moyenne de résultats provenant de codes industriels et d’une méthode d’intégration numérique de type \(\beta\) -Newmark améliorée.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La recherche de la réponse transitoire de ce problème à amortissement non proportionnel, et où les modes rigides ne sont pas fixés, peut être menée par intégration numérique dans l’espace réel :
.
Pour cela, la réponse a été calculée avec deux codes industriels :
|
Schéma d’intégration de Newmark (\(\alpha =0,25\) , \(\delta =0,5\) ), \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) , |
Schéma d’intégration avec interpolation cubique d’Hermite [bib1], \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) , |
|
|
Schéma d’intégration de Hilber-Hughes-Taylor [bib2] (\(\alpha =-0,05\) ), \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) , |
et la méthode d’intégration de \(\beta\) -Newmark améliorée [bib3] :
où \(n\) , \(n+1\) , \(n+2\) désignent respectivement les calculs effectués aux temps \({t}_{n}\) , \({t}_{n+1}={t}_{n}+\Delta t\) et \({t}_{n+2}={t}_{n}+2\Delta t\) où \(\Delta t\) est l’incrément de temps retenu.
Pour démarrer, on prend :
Le pas de temps adopté est \(\Delta t={10}^{-\mathrm{5s}}\) .
Résultats de référence#
Déplacement, vitesse et accélération du point \({P}_{3}\) .
Différentiel de déplacement entre les points \({P}_{3}\) et \({P}_{1}\) .
Incertitude sur la solution#
Moyenne de solutions numériques.
Références bibliographiques#
J.H. ARGYRIS, P.C. DUNNE and T. ANGELOPOULOS «Non-linear oscillations using the finite element technique» Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., Vol.2, 1972, pp. 203-254
H.M. HILBER, T.J.R. HUGHES and R.L. TAYLOR «Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics» Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol.5, 1977, pp. 283-292
N.M. NEWMARK «A method of computation for structural dynamics» Proceeding ASCE J.Eng.Mech. Div E-3, July 1959, pp. 67-94
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Éléments discrets de rigidité, amortissement et masse.
Caractéristiques des éléments :
DISCRET: |
masses nodales |
M_TR_D_N |
rigidités linéaires |
K_TR_D_L |
|
amortissements linéaires |
A_TR_D_L |
Pas de conditions aux limites, en tous les nœuds : \(\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ},\mathrm{DRX},\mathrm{DRY},\mathrm{DRZ}\) libres.
Noms des nœuds : \({P}_{1}=\mathrm{N1}\) , \({P}_{2}=\mathrm{N2}\) , \({P}_{3}=\mathrm{N3}\) .
Méthode de calcul :
Intégration sur la base modale complète avec Newmark (\(\alpha =0,25\) , \(\delta =0,5\) ),
Pas de temps : \(\Delta t={10}^{-\mathrm{4s}}\) puis recombinaison modale.
Durée d’observation : \(\mathrm{5s}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 3
Nombre de mailles et type : 2 mailles SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Déplacement du point \({P}_{3}\)
Temps |
Déplacement |
Déplacement |
Différence |
(\(s\) ) |
Référence (\(m\) ) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
0,09 |
6,7395 E-6 |
6,73326 E-6 |
-0,093 |
0,32 |
1,1019 E-5 |
1,10002 E-6 |
-0,171 |
1,18 |
3,6683 E-5 |
3,66122 E-5 |
-0,193 |
4,92 |
1,6615 E-4 |
1,65849 E-4 |
-0,181 |
Vitesse du point \({P}_{3}\)
Temps |
Vitesse |
Vitesse |
Différence |
(\(s\) ) |
Référence (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-1}\) ) |
(%) |
0,05 |
1,3425 E-4 |
1,34131 E-4 |
-0,088 |
0,32 |
-6,4111 E-5 |
-6,41097 E-4 |
-0,002 |
1,18 |
1,6104 E-5 |
1,60598 E-5 |
-0,274 |
3,55 |
4,4262 E-5 |
4,41720 E-5 |
-0,203 |
Accélération du point \({P}_{3}\)
Temps |
Accélération |
Accélération |
Différence |
(\(s\) ) |
Référence (\({\mathrm{m.s}}^{-2}\) ) |
Aster (\({\mathrm{m.s}}^{-2}\) ) |
(%) |
0,09 |
-3,5694 E-3 |
-3,56634 E-3 |
-0,086 |
0,18 |
-4,3924 E-3 |
-4,38933 E-3 |
-0,070 |
0,55 |
4,3766 E-3 |
4,37283 E-3 |
-0,086 |
1,18 |
4,2459 E-3 |
4,24264 E-3 |
-0,077 |
4,92 |
-4,2233 E-3 |
-4,21962 E-3 |
-0,087 |
Déplacement relatif du point \({P}_{3}\) par rapport au point \({P}_{1}\)
Temps |
\({u}_{3}-{u}_{1}\) |
\({u}_{3}-{u}_{1}\) |
Différence |
(\(s\) ) |
Référence (\(m\) ) |
Aster (\(m\) ) |
(%) |
0,18 |
8,0987 E-6 |
8,04800 E-6 |
-0,626 |
0,55 |
-6,2246 E-6 |
-6,21194 E-6 |
-0,203 |
0,82 |
5,3064 E-6 |
5,34121 E-6 |
0,656 |
1,18 |
-4,5552 E-6 |
-4,52071 E-6 |
-0,757 |
1,92 |
-3,0416 E-6 |
-3,04417 E-6 |
0,085 |
3,55 |
1,8448 E-6 |
1,82742 E-6 |
-0,942 |
4,92 |
1,4832 E-6 |
1,47526 E-6 |
-0,535 |
Remarques#
En plus de la comparaison pour les valeurs testées, on vérifie que les variables cinématiques autres que celles liées à la translation suivant \(x\) restent nulles.
Synthèse des résultats#
Pour obtenir une bonne précision des résultats, il est d’abord nécessaire d’obtenir une base modale précise et parfaitement orthogonale (CALC_MODES) :
|
en évitant les modes multiples (rigidité différente sur les degrés de liberté non excités), |
|
en calculant correctement les modes de corps rigides (préférer l’option “CENTRE’dans CALC_MODES aux autres options), |
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en spécifiant la méthode “JACOBI”(dans le mot-clé facteur SOLVEUR_MODAL) pour une extraction modale complète. |
La précision des résultats est bonne aussi bien pour les déplacements que pour les vitesses et les accélérations.
Pour la réponse élastique du système (déplacements relatifs \({u}_{3}-{u}_{1}\) ), la précision numérique est un peu moins bonne du fait du cumul numérique des erreurs sur les valeurs absolues.