v2.04.123 SDLV123 - Calcul de G élastodynamique en milieu infini pour une fissure plane de longueur finie#
Résumé
Il s’agit d’un problème de mécanique de la rupture dans un milieu en état de déformation plane en régime élastodynamique transitoire. On considère une fissure de longueur \(\mathrm{2a}\) plongée dans un milieu supposé infini. On impose une pression uniforme sur les lèvres de la fissure, qui atteint un palier en un laps de temps de 1 micro-seconde (choc). Ce test permet de calculer le taux de restitution d’énergie \(G\) au cours du temps, en tenant compte des termes d’inertie.
L’intérêt du test est la stabilité de \(G\) selon différentes couronnes et la comparaison à une solution analytique exacte jusqu’au temps \(t=\mathrm{2a}/{V}_{C}\) , où \({V}_{C}\) représente la célérité des ondes longitudinales.
Ce test contient une modélisation en déformation plane et une modélisation tridimensionnelle. Des conditions aux limites absorbantes sur les frontières du solide permettent d’éviter les retours d’onde et donc de simuler un milieu infini.
Les écarts du calcul de \(G\) sur différentes couronnes par rapport à la solution de référence ne dépassent pas 1,4%.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est issue de THAU et LU [bib1] et du livre de L.B. FREUND [bib2]. La figure qui suit représente le milieu infini et non la géométrie du test.
\({K}_{I}^{D}(t)=\mathrm{2P}H(t)\frac{\sqrt{1-2\nu }}{(1-\nu )}\sqrt{\frac{{c}_{d}t}{\pi}},0<t<\mathrm{2a}/{c}_{d}\)
L’expression du taux de restitution de l’énergie est la suivante:
\(G(t)=\frac{{K}_{I}^{{D}^{2}}(t)}{E}(1-{\nu}^{2})={\mathrm{4P}}^{2}H(t)\frac{(1-2\nu )(1+\nu )}{(1-\nu )E}\frac{{c}_{d}t}{\pi},0<t<\mathrm{2a}/{c}_{d}\)
\(G=\frac{(1-{\nu}^{2})}{E}{K}_{1}^{2}\) avec \({K}_{1}=\frac{\alpha E}{P(1-\nu )}{T}_{0}\sqrt{\mathit{Pa}}\)
soit : \(G=\frac{(1-{\nu}^{2})}{P{(1-\nu )}^{2}}{\alpha}^{2}{\mathit{ET}}_{0}^{2}a\)
Résultat de référence#
Le résultat de référence est donc : \(G=5.9115{10}^{-7}N/\mathit{mm}\)
\(t\) |
\({G}_{\mathit{freund}}\) |
2e-3 |
5.677e5 |
4e-3 |
1.135e6 |
6e-3 |
1.703e6 |
Référence bibliographique#
Transient stress intensity factors for a finite crack in an elastic solid caused by a dilatational wave, International Journal of Solids and Structures 7, THAU et LU (1971)
Dynamic Fracture Mechanics L.B FREUND.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation en déformations planes (D_PLAN). Les frontières absorbantes sont modélisées par des éléments D_PLAN_ABSO.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 646
Nombre de mailles et types : 600QUAD4, 245SEG2
Couronne 1 : |
\({R}_{\inf}=3.\) |
\({R}_{\sup}=10.\) |
Couronne 2 : |
\({R}_{\inf}=5.\) |
\({R}_{\sup}=15.\) |
Couronne 3: |
\({R}_{\inf}=5.\) |
\({R}_{\sup}=18.\) |
Conditions aux limites#
Déplacements imposés:
Groupe de nœuds \(\mathit{grnm}1\) |
\(\mathit{DY}=0.\) |
Groupe de nœuds \(\mathit{grnm}2\) |
\(\mathit{DX}=0.\) |
Groupe de nœuds \(\mathit{grnm}3\) |
\(\mathit{DX}=0.\) \(\mathit{DY}=0.\) |
Résultats#
Les valeurs testées sont celles du taux de restitution de l’énergie \(G\) sur les différentes couronnes d’intégration.
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance \(\text{\%}\) |
Instant \(t=2e-3\) |
|||
\(G\) , couronne n°1 |
‘ANALYTIQUE’ |
5.67700E5 |
1,4 |
\(G\) , couronne n°2 |
‘ANALYTIQUE’ |
5.67700E5 |
1,4 |
\(G\) , couronne n°3 |
‘ANALYTIQUE’ |
5.67700E5 |
1,4 |
Instant \(t=4e-3\) |
|||
\(G\) , couronne n°1 |
‘ANALYTIQUE’ |
1.135000E6 |
1,4 |
\(G\) , couronne n°2 |
‘ANALYTIQUE’ |
1.135000E6 |
1,4 |
\(G\) , couronne n°3 |
‘ANALYTIQUE’ |
1.135000E6 |
1,4 |
Instant \(t=6e-3\) |
|||
\(G\) , couronne n°1 |
‘ANALYTIQUE’ |
1.703000E6 |
1,4 |
\(G\) , couronne n°2 |
‘ANALYTIQUE’ |
1.703000E6 |
1,4 |
\(G\) , couronne n°3 |
‘ANALYTIQUE’ |
1.703000E6 |
1,4 |
Synthèse des résultats#
Invariance du résultat par rapport aux couronnes. Terme thermique correct.