v2.01.035 SDLD35 – Système de masses et ressorts à 3 d.d.l. en parallèle#

Résumé:

Système de 3 masses et 3 ressorts en parallèle#

Dans un système constitué de trois masses et trois ressorts en parallèle, les masses, numérotées de 1 à 3, sont toutes égales à \(m\), tandis que les raideurs des ressorts suivent la distribution suivante :

\[k_1 = k, \quad k_2 = 1.21k, \quad k_3 = 1.44k\]

En conséquence, les fréquences associées respectent les relations :

\[f_2 = 1.1 f_1, \quad f_3 = 1.2 f_1 < 1.1 f_2\]

L’étude se concentre sur la réaction en appui, avec pour objectif de rapprocher les fréquences afin de mieux distinguer les combinaisons GROUPING et DPC, conformément aux règles NRC (version 12/1999).

Application numérique et modélisation dans code_aster (nouveau cas-test)#

\(m = 2533 \, kg\),

\(k = 10^5 \, N/m\)

Caractéristiques de la modélisation#

Le système est modélisé par :

3 éléments discrets K_T_D_L
3 éléments discrets M_T_D_N

Grandeurs testées#

Fréquences propres#

Les fréquences propres du systèmes :

MODES	Références (Hz)	code_aster (Hz)
1	1.0	1.0
2	1.1	1.1
3	1.2	1.2

Réponse globale sur base modale complète (calcul multi-appui décorrélé)#

On considère uniquement la réaction nodale au support (Noeud NO1): Les 3 modes sont pris en compte.

Calcul 1

COMB_MODE = 'SRSS'

Réponse globale : \(R = \sqrt{R_1^2 + R_2^2 + R_3^2}\)

Calcul 2

COMB_MODE = 'ABS'

Réponse globale : \(R = |R_1| + |R_2| + |R_3|\)

Calcul 3

COMB_MODE = 'DPC' (DPC aster) :

On a :

\[f_2 = 1.1 f_1\]

\[1.1 f_1 < f_3 < 1.1 f_2\]

Les 3 modes 1, 2, 3 font partie d’un même groupe, les réponses se combinent donc linéairement par leur valeur absolue :

Réponse globale : \(R = |R_1| + |R_2| + |R_3|\)

Calcul 4

COMB_MODE = 'CQC'

Réponse globale : \(R = \sqrt{ \sum_{i, j = 1}^3 \rho_{i j}R_i R_j}\)

Calcul 5

COMB_MODE = 'DSC'

Amortissements modaux = 0.05

Durée du signal : 15 s

Réponse globale : \(R = \sqrt{ \sum_{i, j = 1}^3 \rho_{i j} R_i R_j}\)

Calcul 6

COMB_MODE = 'NRC_DSA'

Amortissements modaux = 0.05

Durée du signal : 15 s

Comme DSC mais avec les réponses en valeur absolue

Réponse globale : \(R = \sqrt{ \sum_{i, j = 1}^3 \rho_{i j}|R_i R_j|}\)

Calcul 7

COMB_MODE = 'NRC_GROUPING'

On a :

\[f_2 = 1.1 f_1\]

\[1.1f_1 < f_3 < 1.1 f_2\]

On part de la première fréquence : comme \(f_2 = 1.1 f_1\), les deux modes 1, 2 font partie d’un même groupe, les réponses se combinent donc linéairement par leur valeur absolue. Par la suite, le résultat de ce groupe sera combiné quadratiquement avec la réponse du mode 3:

Réponse globale : \(R = \sqrt{ (|R_1| + |R_2|)^2 + R_3^2 }\)

Calcul 8

COMB_MODE = 'NRC_TEN_PERCENT'

Réponse globale :

\(R = \sqrt{ \sum_{i, j = 1}^3 \rho_{i j}|R_i R_j|}\)

Comme :

\[f_2 = 1.1 f_1\]

\[1.1f_1 < f_3 < 1.1 f_2\]

On a :

\(\rho_{11} = \rho_{22} = \rho_{33} = 1\)

\(f_2 \leq 1.1 f_1 \Rightarrow \rho_{12}=\rho_{21} = 1\)

\(f_3 \leq 1.1 f_2 \Rightarrow \rho_{23}=\rho_{32} = 1\)

On en déduit la réponse globale :

\[R = \sqrt{R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + 2 |R_1 R_2| + 2 |R_2 R_3|}\]

Résultats#

Résultat en réaction au support (kN)

Calcul	Méthode	Références (Analytique)	code_aster
1	`SRSS`	2.8754	2.8754
2	`ABS`	4.7384	4.7384
3	`DPC`	4.7384	4.7384
4	`CQC`	3.8276	3.8276
5	`DSC`	4.0897	4.0897
6	`NRC_DSA`	4.08971	4.0897
7	`NRC_GROUPING`	3.8605	3.8605
8	`NRC_TEN_PERCENT`	4.2296	4.2296