v2.01.301 SDLD301 - Réponse sismique spectrale d’un système 2 masses et 3 ressorts multi-supporté (excitations corrélées ou décorrélées)#
Résumé :
Le problème consiste à calculer la réponse spectrale d’un système 2 masses - 3 ressorts soumis à une excitation sismique multiple. Les excitations sont considérées soit décorrélées et indépendantes, soit corrélées entre elles.
On teste l’élément discret en traction, le calcul des modes propres, des modes statiques et de la réponse spectrale par superposition modale via l’opérateur COMB_SISM_MODAL. Différents cumuls sont testés lors du calcul des réponses d’appuis. On vérifie que, dans le cas d’excitations égales aux appuis, le calcul en mono-appui et le calcul en multi-appui corrélé fournissent le même résultat.
On vérifie également le bon fonctionnement de l’entrée de l’amortissement sous forme de matrice d’amortissement (modélisation C).
Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les résultats analytiques de référence.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On calcule la réponse spectrale par superposition modale d’un système masses-ressorts soumis à deux excitations distinctes. On détermine le déplacement des masses et les réactions d’appui aux nœuds \(\mathrm{NO1}\) et \(\mathrm{NO4}\) suivant l’axe \(x\) .
On calcule analytiquement :
les fréquences propres \({f}_{i}\) ,
les vecteurs propres associés \({\phi }_{\text{Ni}}\) normalisés par rapport à la masse modale,
les modes statiques d’appuis \({\psi}_{j}\) du système,
les facteurs de participation modale \({P}_{ij}\) relatif aux appuis,
\({\mathrm{Rm}}_{ij}\) le maximum de la réponse de chaque mode à partir des spectres d’excitation,
\({\mathrm{Rc}}_{j}\) le terme de correction statique.
Ces calculs analytiques sont décrits dans le fichier Matlab sdld301.55.
Grandeur de référence#
matrice de rigidité \(K\)
\(K=\left[\begin{array}{cccc}k& -k& 0& 0\\ -k& \mathrm{3k}& -\mathrm{2k}& 0\\ 0& -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}& -k\\ 0& 0& -k& k\end{array}\right]\)
\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}& -k& 0\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}& 0& -k\\ -k& 0& k& 0\\ 0& -k& 0& k\end{array}\right]\)
matrice partitionnée degrés de liberté de structure \(\mathrm{2,}3\) , degrés de liberté de support \(\mathrm{1,}4\)
\({K}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{\mathrm{xx}}& {k}_{\mathrm{xs}}\\ {k}_{\mathrm{sx}}& {k}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right]\), \({k}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}\end{array}\right]\), \({k}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]\)
matrice de masse \(M\)
\(M = \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& m& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\)
matrice partitionnée degrés de liberté de structure \(\mathrm{2,}3\) , degrés de liberté de support \(\mathrm{1,}4\)
\({M}^{p}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{\mathrm{xx}}& {m}_{\mathrm{xs}}\\ {m}_{\mathrm{sx}}& {m}_{\mathrm{ss}}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 0\\ 0& m& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\), \({m}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{m}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{m}\end{array}\right]\), \({m}_{\mathrm{xs}}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\)
calcul modal en base encastrée
\({k}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{3k}& -\mathrm{2k}\\ -\mathrm{2k}& \mathrm{3k}\end{array}\right]\), \({m}_{\mathrm{xx}}=\left[\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m\end{array}\right]\)
\(({k}_{\mathrm{xx}}-{\lambda }_{i}{m}_{\mathrm{xx}}){\phi }_{i, x}=0\),
où \({\lambda }_{i}={\omega }_{\mathrm{i}}^{2}\) sont les valeurs propres de la matrice \({m}_{\mathrm{xx}}^{-1} {k}_{\mathrm{xx}}^{}\). On a :
\({\lambda }_{1}=\frac{k}{m}\), \({\lambda }_{2}=\frac{\mathrm{5k}}{m}\)
fréquences propres :
\(\Rightarrow \text{}{\mathrm{freq}}_{1}=\frac{{\omega }_{\mathrm{1}}}{2\pi };{\mathrm{freq}}_{2}=\frac{{\omega }_{\mathrm{2}}}{2\pi }\)
\(\{{\phi }_{i, x}\} \in \mathbb{R}^{2 \times 1}\) sont les modes propres dans la base des degrés de liberté liés à la structure (ddl libres) : \({\phi }_{1, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\), \({\phi }_{2, x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\)
Les degrés de liberté liés au support sont à déplacements nuls.
modes propres non normés \(\{{\phi }_{i}\} \in \mathbb{R}^{4 \times 1}\) dans le repère global :
\({\phi }_{1}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\), \({\phi }_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right)\)
masses modales généralisées : \({\mu }_{i}{=}^{T}{\phi }_{i}M{\phi }_{i}\)
\({\mu }_{1}=\mathrm{2m}\) ; \({\mu }_{2}=\mathrm{2m}\)
modes propres normés à la masse modale généralisée unitaire \({\phi }_{\text{Ni}}\) :
\(\Rightarrow \text{}{\phi }_{\mathrm{N1}}=\frac{{\phi }_{1}}{\sqrt{{\mu }_{1}}}\) ; \({\phi }_{\mathrm{N2}}=\frac{{\phi }_{2}}{\sqrt{{\mu }_{2}}}\)
Les réactions modales \({\mathrm{F}}_{m,i}\) :
Nota : On suppose qu’aucune force d’excitation n’est appliquée sur les degrés de liberté de structure, les réactions sont calculées au niveau des supports
Dans le repère repartitionné :
\({F}_{mi}^p=\left(\begin{array}{c}0\\ r_i\end{array}\right)\), \({\phi }_{Ni}^p=\left(\begin{array}{c}{\phi }_{Nix}^{}\\ {\phi }_{Nis}^{}\end{array}\right)\), \(r_i=k_{sx} \phi_{Nix}\)
\(\Rightarrow r_1=k_{sx} \phi_{N1x}=k_{sx} \frac{\phi_{1x}}{\sqrt{\mu_1}}=\) \(\frac{1}{\sqrt{2m}} \left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]\) \(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}} \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)\)
\(\Rightarrow r_2=k_{sx} \phi_{N2x}=k_{sx} \frac{\phi_{2x}}{\sqrt{\mu_2}}=\) \(\frac{1}{\sqrt{2m}} \left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]\) \(\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}} \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)\)
Soit dans le repère global :
\(\Rightarrow \text{}{\mathrm{F}}_{m1}=K{\phi }_{\mathrm{N1}}\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right)\) ; \({\mathrm{F}}_{m2}=K{\phi }_{\mathrm{N2}}\) \(=\frac{k}{\sqrt{\mathrm{2m}}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\)
modes statiques d’appuis \({\Psi }_{j}\)
Matrice des modes statiques réduite aux degrés de liberté de structure \({\varphi }_{s}=-{k}_{\mathrm{xx}}^{\text{-1}}{k}_{\mathrm{xs}}^{}\)
\({\varphi }_{s}=-\frac{1}{\mathrm{5k}}\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -k\end{array}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\)
solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathrm{NO1}\) :
déplacements : \({\psi }_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) +\) \(\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 2\\ 0\end{array}\right)\) \(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 2\\ 0\end{array}\right)\)
réactions nodales : \({F}_{1}=K{\psi }_{1}=\frac{k}{5} \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ -2\end{array} \right)\)
solution statique à un déplacement unitaire du nœud \(\mathrm{NO4}\) :
déplacements : \({\psi }_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right) +\) \(\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\\ 0\end{array}\right)\) \(=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\\ 5\end{array}\right)\)
réactions nodales : \({F}_{2}=K{\psi }_{2}=\frac{k}{5}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\\ 2\end{array}\right)\)
facteurs de participation modale en multi-appui : \({P}_{ij}{=}^{T}{\phi }_{i}M{\psi}_{j}\)
contribution du mode dynamique \(1\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO1}\) :
\({P}_{11}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{1}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{m}{2}}\)
contribution du mode dynamique \(1\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO4}\) :
\({P}_{12}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{2}=\frac{-1}{5}\sqrt{\frac{m}{2}}\)
contribution du mode dynamique \(2\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO1}\) :
\({P}_{21}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{1}=\sqrt{\frac{m}{2}}\)
contribution du mode dynamique \(2\) au mouvement imposé au nœud \(\mathrm{NO4}\) :
\({P}_{22}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{2}=\sqrt{\frac{m}{2}}\)
facteur de participation du mode dynamique \(1\) dans la direction \(X\) :
\({P}_{\mathrm{1X}}={P}_{11}+{P}_{12}\)
facteur de participation du mode dynamique \(2\) dans la direction \(X\) :
\({P}_{\mathrm{2X}}={P}_{21}+{P}_{22}\)
facteurs de participation modale en mono-appui \({P}_{i}=\frac{{\phi }_{\text{Ni}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}}{{\mu}_{i}}\)
contribution du mode dynamique \(1\) :
\({P}_{1}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N1}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}={\phi }_{\mathrm{N1}}M({\psi}_{\mathrm{s1}}+{\psi}_{\mathrm{s2}})={P}_{11}+{P}_{12}\)
contribution du mode dynamique \(2\) :
\({P}_{2}{=}^{T}{\phi }_{\mathrm{N2}}M{\psi}_{\mathrm{R1}}={\phi }_{\mathrm{N2}}M({\psi}_{\mathrm{s1}}+{\psi}_{\mathrm{s2}})={P}_{21}+{P}_{22}\)
facteur de participation du mode dynamique \(1\) dans la direction \(X\) :
\({P}_{\mathrm{1X}}={P}_{1}+{P}_{2}\)
réponse du mode \(i\) au mouvement de l’appui \(j\) en multi-appui
\({\mathrm{R}}_{\mathrm{m, ij}}={r}_{i}{P}_{\mathrm{ij}}\frac{{A}_{\mathrm{ij}}}{{\omega }_{i}^{2}}\)
avec :
\({r}_{i}={\phi }_{\text{Ni}}\) : Réponse en déplacement
\({r}_{i}={\mathrm{F}}_{mi}\) : Réponse en force (Réaction nodale dans ce cas).
Modélisation \(A\) :
\({A}_{11}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}\) : mode \(1\) , nœud \(1\)
\({A}_{12}=\frac{{a}_{2}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{2}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}\) : mode \(1\) , nœud \(2\)
\({A}_{21}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}\) : mode \(2\) , nœud \(1\)
\({A}_{22}=\frac{{a}_{2}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{2}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}\) : mode \(2\) , nœud \(2\)
Modélisation \(B\) :
\({A}_{11}={A}_{12}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{1}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{1}^{2}∣}\) : mode \(1\) \({A}_{21}={A}_{22}=\frac{{a}_{1}{\mathrm{freq}}_{2}^{2}}{∣{f}_{1}^{2}-{\mathrm{freq}}_{2}^{2}∣}\) : mode \(2\)
réponse du mode \(i\) en mono-appui
\({\mathrm{Rm}}_{i}={r}_{i}{P}_{i}\frac{{A}_{i}}{{\omega}_{i}^{2}}\) avec \({r}_{i}={\phi }_{\text{Ni}}\) ou \({r}_{i}={\mathrm{Fm}}_{i}\)
Réponses combinées des oscillateurs modaux
Réponse du mode \(1\) : \({\mathrm{Rm}}_{1}={\phi }_{\mathrm{N1}}{P}_{1}\frac{{A}_{1}}{{\omega}_{1}^{2}}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)
Réponse du mode \(2\) : \({\mathrm{Rm}}_{2}={\phi }_{\mathrm{N2}}{P}_{2}\frac{{A}_{2}}{{\omega}_{2}^{2}}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\)
correction statique
modes statiques \({u}_{s,j}\) solution de \({k}_{\mathrm{xx}}{u}_{\mathrm{sj}}={m}_{\mathrm{xx}}{\varphi }_{\mathrm{s,j}}\) (j = 1, 2) :
On en déduit : \({u}_{s,j} = {k}_{\mathrm{xx}}^{-1} {m}_{\mathrm{xx}}{\varphi }_{\mathrm{s,j}}\)
On rappelle que \({\varphi}_{\mathrm{s,j}}\) est la j-ième colonne de la matrice \({\varphi }_{\mathrm{s}}\), obtenue par \({\varphi }_{s}=-{k}_{\mathrm{xx}}^{\text{-1}}{k}_{\mathrm{xs}}^{}\)
modes \(\varphi\) réduits aux degrés de liberté de structure : \({\varphi }_{\mathrm{S1}}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\), \({\varphi }_{\mathrm{S2}}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)\)
déplacements : \({u}_{1}=\frac{m}{\mathrm{25k}}\left(\begin{array}{c}0\\ 13\\ 12\\ 0\end{array}\right)\), réactions nodales : \({\mathrm{F}}_{u1}=Ku_1 = \frac{m}{25}\left(\begin{array}{c}-13\\ 15\\ 10\\ -12\end{array}\right)\)
déplacements : \({u}_{2}=\frac{m}{\mathrm{25k}}\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 13\\ 0\end{array}\right)\), réactions nodales : \({\mathrm{F}}_{u2}=Ku_2=\frac{m}{25}\left(\begin{array}{c}-12\\ 10\\ 15\\ -13\end{array}\right)\)
Incertitude sur la solution#
Aucune (solution analytique exacte).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le système est modélisé par :
3 éléments discrets K_T_D_L,
2 éléments discrets M_T_D_N.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 3 mailles SEG2.
Grandeurs testées et résultats#
Fréquences propres#
MODE |
Référence (Hz) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(1\) |
\(1.000\) |
\(0.1\) |
\(2\) |
\(2.236\) |
\(0.1\) |
Modes statiques pour l’entraînement#
Réponse en déplacements absolus
Réponse statique à déplacement unitaire au NO1 en déplacement absolu DEPL :
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(0.4\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(0.6\) |
\(0.1\) |
Réponse statique à déplacement unitaire au NO4 en déplacement absolu DEPL :
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(0.4\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(0.6\) |
\(0.1\) |
Réponse statique à déplacement unitaire au NO1 en réaction nodale REAC_NODA :
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(4.00E+04\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(-4.00E+04\) |
\(0.1\) |
Réponse en réactions nodales
Réponse statique à déplacement unitaire au NO4 en réaction nodale REAC_NODA :
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(-4.00E+04\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(4.00E+04\) |
\(0.1\) |
Modes statiques pour la correction statique#
Réponse en déplacements absolus
Réponse statique à accélération unitaire au NO1 en déplacement absolu DEPL :
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(1.317E-02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(1.216E-02\) |
\(0.1\) |
Réponse statique à accélération unitaire au NO4 en déplacement absolu DEPL :
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(1.216E-02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(1.317E-02\) |
\(0.1\) |
Réponse en réactions nodales
Réponse statique à accélération unitaire au NO1 en réaction nodale REAC_NODA :
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(-1317.16\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(-1215.84\) |
\(0.1\) |
Réponse statique à accélération unitaire au NO4 en réaction nodale REAC_NODA :
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(-1215.84\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(-1317.16\) |
\(0.1\) |
Réponse globale sur base modale complète (calcul multi-appui décorrélé)#
Les modes \(1\) et \(2\) sont pris en compte.
calcul \(n°1\)
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{11}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{21}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{12}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{22}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(5.65E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(5.65E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(5.651E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(5.651E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°2\)
COMB_MODE=’ABS’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=∣{\mathrm{Rm}}_{11}∣+∣{\mathrm{Rm}}_{21}∣\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=∣{\mathrm{Rm}}_{12}∣+∣{\mathrm{Rm}}_{22}∣\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(6.477E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(6.477E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(6.477E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(6.477E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°3\)
COMB_MODE=’DPC’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\mathit{Rm}}_{11}^{2}+{\mathit{Rm}}_{21}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{12}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{22}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(5.65E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(5.65E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(5.651E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(5.651E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°4\)
COMB_MODE=’CQC’
amortissements modaux = \(0.05\)
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\rho}_{12}{\mathrm{Rm}}_{11}{\mathrm{Rm}}_{21}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\rho}_{12}{\mathrm{Rm}}_{12}{\mathrm{Rm}}_{22}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus: \(\mathit{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathit{NO2}\) |
\(5.6505E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathit{NO3}\) |
\(5.6521E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(5.6505E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(5.6521E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°5\)
COMB_MODE=’DSC’
amortissements modaux = \(0.05\)
durée : 15 s
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\rho}_{12}{\mathrm{Rm}}_{11}{\mathrm{Rm}}_{21}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\rho}_{12}{\mathrm{Rm}}_{12}{\mathrm{Rm}}_{22}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(5.6497E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(5.6529E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(5.6497E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(5.6529E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°6\)
COMB_MODE=’NRC_DSA’
amortissements modaux = \(0.05\)
durée : 15 s
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\rho }_{12}{\mathrm{Rm}}_{11}{\mathrm{Rm}}_{21}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\rho }_{12}{\mathrm{Rm}}_{12}{\mathrm{Rm}}_{22}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(5.6749E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(5.6749E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(5.6749E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(5.6749E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°7\)
COMB_MODE=’NRC_GROUPING’
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\mathit{Rm}}_{11}^{2}+{\mathit{Rm}}_{21}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{12}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{22}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(5.651E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(5.651E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(5.651E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(5.651E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°8\)
COMB_MODE=’SRSS’ et,
CUMUL_INTER=’LINE’ : cummul linéaire sur les appuis corrélés.
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{11}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{21}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{12}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{22}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R={R}_{1}+{R}_{2}\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(7.549E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(7.549E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(7.549E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(7.549E+02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°9\)
COMB_MODE=’SRSS’ et,
CUMUL_INTER=’ABS’ : cummul absolu sur les appuis corrélés.
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse de l’appui \(j=1\) (nœud \(\mathrm{NO1}\) ) : \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{11}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{21}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse de l’appui \(j=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{12}^{2}+{\mathrm{Rm}}_{22}^{2}}\) (cumul sur les modes \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\left| {R}_{1} \right| + \left|{R}_{2}\right|\) (cumul sur les appuis)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(7.549E-03\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(7.549E-03\) |
\(0.1\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(7.549E+02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(7.549E+02\) |
\(0.1\) |
Réponse globale sur base modale complète (calcul mono-appui avec \({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}1}\))#
Les modes \(1\) et \(2\) sont pris en compte.
calcul \(n°1\)
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque \(\mathrm{ddl}\) actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(1.01321E-02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(1.01321E-02\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°2\)
COMB_MODE=’ABS’
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) r
réponse globale : \(R=∣{R}_{1}∣+∣{R}_{2}∣\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°3\)
COMB_MODE=’DPC’
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°4\)
COMB_MODE=’CQC’
amortissements modaux = \(0.05\)
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\)
réponse globale : \(R=\sqrt{{\rho}_{12}{R}_{1}{R}_{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathit{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathit{NO2}\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
\(\mathit{NO}3\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°5\)
COMB_MODE=’DSC’
amortissements modaux = \(0.05\)
durée : 15 secondes
réponse du mode \(1\) : \({R}_{1}={\mathit{Rm}}_{11}+{\mathit{Rm}}_{12}\)
réponse du mode \(2\) : \({R}_{2}={\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22}\)
réponse globale : \(R=\sqrt{{\rho}_{12}{R}_{1}{R}_{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathit{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathit{NO}2\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
\(\mathit{NO}3\) |
\(0.01013\) |
\(0.1\) |
Réponse globale sur base modale incomplète (calcul mono-appui avec correction statique)#
Base modale constituée du mode 2 seul.
calcul \(n°1\)
COMB_MODE=’ABS’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(3\) :
réponse du mode \(i=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{2}^{2}+{U}^{2}}\) (cumul réponse modale et correction statique)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance |
\(\mathrm{NO2}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°2\)
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(3\) :
réponse du mode \(i=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{2}^{2}+{U}^{2}}\) (cumul réponse modale et correction statique)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance |
\(\mathrm{NO2}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°3\)
COMB_MODE=’DPC’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(3\) :
réponse du mode \(i=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{2}^{2}+{U}^{2}}\) (cumul réponse modale et correction statique)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance |
\(\mathrm{NO2}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°4\)
COMB_MODE=’CQC’
amortissements modaux = \(0.05\)
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(3\) :
réponse du mode \(i=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{2}^{2}+{U}^{2}}\) (cumul réponse modale et correction statique)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance |
\(\mathrm{NO2}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°5\)
COMB_MODE=’DSC’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(3\) :
réponse du mode \(i=2\) (nœud \(\mathrm{NO4}\) ) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis \(1\) et \(2\) )
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{2}^{2}+{U}^{2}}\) (cumul réponse modale et correction statique)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance |
\(\mathrm{NO2}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
0.02302302705 |
\(0.001\) |
Réactions nodales : \(\mathrm{REAC\_NODA}\)
NOEUD |
Référence (N) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO1}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO4}\) |
\(2302.70526332\) |
\(0.1\) |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
Le système est modélisé par :
3 éléments discrets K_T_D_L,
2 éléments discrets M_T_D_N.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 3 mailles SEG2.
Grandeurs testées et résultats#
Fréquences propres#
MODE |
Référence (Hz) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(1\) |
\(1.000\) |
\(0.1\) |
\(2\) |
\(2.236\) |
\(0.1\) |
Modes statiques pour l’entraînement#
Mode \(1\) : déplacements absolus \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(0.6\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(0.4\) |
\(0.1\) |
Mode \(2\) : déplacements absolus \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(0.6\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(0.4\) |
\(0.1\) |
Modes statiques pour la correction statique#
Mode \(1\) : déplacements absolus \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(1.317E-02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(1.216E-02\) |
\(0.1\) |
Mode \(2\) : déplacements absolus \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(1.216E-02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(1.317E-02\) |
\(0.1\) |
Réponse globale sur base modale complète#
Réponse globale sur base modale complète (calcul mono-appui)#
Les modes \(1\) et \(2\) sont pris en compte.
calcul \(n°1\)
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque \(\mathrm{ddl}\) actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(1.01321E-02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(1.01321E-02\) |
\(0.1\) |
Réponse globale sur base modale complète (calcul mono-appui via un calcul multi-appui corrélé avec le même spectre \({\mathit{SRO}}_{\mathit{NO}1}\) aux deux appuis)#
Les modes \(1\) et \(2\) sont pris en compte.
calcul \(n°2\)
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque \(\mathrm{ddl}\) actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(1.01321E-02\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(1.01321E-02\) |
\(0.1\) |
Réponse globale sur base modale complète (calcul multi-appui corrélé)#
Le cumul sur les appuis corrélés s’effectue avant le cumul sur les modes. Le type de cumul par défaut est linéaire.
(Mot clé: CUMUL_INTRA=”LINE” (valeur par défaut)).
calcul \(n°3\)
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\) (cumul sur les appuis)
réponse du mode \(2\) : \({R}_{2}={\mathit{Rm}}_{21}+{\mathit{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathit{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathit{NO}2\) |
\(7.22208e-3\) |
\(0.1\) |
\(\mathit{NO}3\) |
\(7.22208e-3\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°4\)
COMB_MODE=’ABS’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\) (cumul sur les appuis)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis)
réponse globale : \(R=\left|{R}_{1}\right|+\left|{R}_{2}\right|\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(7.98287e-3\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(7.98287e-3\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°5\)
COMB_MODE=’DPC’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\) (cumul sur les appuis)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(7.22208e-3\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(7.22208e-3\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°6\)
COMB_MODE=’CQC’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\) (cumul sur les appuis)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis)
réponse globale : \(R=\sqrt{{\rho}_{12}{R}_{1}{R}_{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(7.21139e-3\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(7.21139e-3\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°7\)
COMB_MODE=’DSC’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1 }\) : \({R}_{1}={\mathrm{Rm}}_{11}+{\mathrm{Rm}}_{12}\) (cumul sur les appuis)
réponse du mode \(\mathrm{2 }\) : \({R}_{2}={\mathrm{Rm}}_{21}+{\mathrm{Rm}}_{22}\) (cumul sur les appuis)
réponse globale : \(R=\sqrt{{\rho}_{12}{R}_{1}{R}_{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(7.20071e-3\) |
\(0.1\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(7.20071e-3\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°8\)
CUMUL_INTRA=’QUAD’ et,
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1}\) : \({R}_{1}=\sqrt{{\mathrm{Rm}}_{11}^2+{\mathrm{Rm}}_{12}^2}\) (cumul sur les appuis)
réponse du mode \(2\) : \({R}_{2}=\sqrt{{\mathit{Rm}}_{21}^2+{\mathit{Rm}}_{22}^2}\) (cumul sur les appuis)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathit{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathit{NO}2\) |
\(5.651e-3\) |
\(0.1\) |
\(\mathit{NO}3\) |
\(5.651e-3\) |
\(0.1\) |
calcul \(n°9\)
CUMUL_INTRA=’ABS’ et,
COMB_MODE=’SRSS’
Pour chaque degré de liberté actif \(2\) et \(\mathrm{3 }\) :
réponse du mode \(\mathrm{1}\) : \({R}_{1}=|{\mathrm{Rm}}_{11}| + |{\mathrm{Rm}}_{12}|\) (cumul sur les appuis)
réponse du mode \(2\) : \({R}_{2}=|{\mathit{Rm}}_{21}| + |{\mathit{Rm}}_{22}|\) (cumul sur les appuis)
réponse globale : \(R=\sqrt{{R}_{1}^{2}+{R}_{2}^{2}}\) (cumul sur les modes)
déplacements absolus : \(\mathit{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathit{NO}2\) |
\(7.382e-3\) |
\(0.1\) |
\(\mathit{NO}3\) |
\(7.382e-3\) |
\(0.1\) |
Modélisation C#
La modélisation C est purement fonctionnelle: elle sert à valider l’entrée de l’amortissement sous forme d’une matrice d’amortissement diagonale.
On reprend le calcul \(n°4\) de la modélisation A (calcul multi-appui décorrélé par la méthode “CQC”).
Les valeurs de référence sont bien évidemment les mêmes:
déplacements absolus: \(\mathrm{DEPL}\)
NOEUD |
Référence (m) |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(\mathrm{NO2}\) |
\(5.65E-03\) |
\(0.0001\) |
\(\mathrm{NO3}\) |
\(5.65157E-03\) |
\(0.0001\) |
Remarque:
Ce test a été choisi car il possède des valeurs de référence claires et le système est caractérisé par deux modes propres. On peut donc parfaitement déterminer la matrice d’amortissement de Rayleigh à partir de l’amortissement réduit \(\xi\) des deux modes propres et de leurs pulsations propres ( \({\omega}_{1}\) et \({\omega}_{2}\) ):
\(C=\alpha K+\beta M\) avec \(\alpha =\frac{2\xi }{{\omega}_{1}+{\omega}_{2}}\) et \(\beta =\frac{2\xi {\omega}_{1}{\omega}_{2}}{{\omega}_{1}+{\omega}_{2}}\)
Avant la projection des matrices structurelles (et la matrice d’amortissement en particulier) on a pris soin de préciser (dans la numérotation généralisée) que les matrices étaient diagonales. C’est nécessaire pour rester dans le cadre de l’amortissement classique auquel COMB_SISM_MODA L est restreint.
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus avec Code_Aster sont conformes aux résultats analytiques de référence.