r3.03.02 Conditions de liaison de corps solide#
Résumé
On présente dans cette documentation une manière de modéliser des parties indéformables de structure, grâce au mot clé LIAISON_SOLIDE de AFFE_CHAR_MECA.
Table des matières
Principe de l’utilisation du mot clé#
Le mot clé LIAISON_SOLIDE est un mot clé facteur répétable. A chaque occurrence du mot clé, l’utilisateur définit un «morceau de modèle» qu’il souhaite rigidifier.
De ce «morceau de modèle» défini par les mots clés GROUP_MA, GROUP_NO, MAILLE et NOEUD, on déduit la liste des nœuds à rigidifier.
Une fois cette liste établie, on écrit les relations nécessaires pour exprimer que le «morceau rigide»n’a plus que les degrés de liberté d’un solide (en général: trois en 2D et six en 3D).
Remarque:
Si tous les nœuds d’un élément fini sont soumis à une condition de type LIAISON_SOLIDE, cet élément ne se déforme pas. Son état de contrainte sera alors toujours nul. Si on souhaite accéder à l’état de contrainte d’une zone «rigide», il faut utiliser la technique du matériau «dur».
Quels sont les cas de figure traités ?#
Selon les degrés de liberté portés par les nœuds de la liste des nœuds à rigidifier, on se place dans un des quatre cas de figure suivants. Si on ne se retrouve pas dans l’un de ces cas de figure, le code s’arrête en erreur fatale:
Les cas \(\mathrm{2DA}\) et \(\mathrm{2DB}\) correspondent à des problèmes «plans» ou axisymétriques;
Les cas \(\mathrm{3DA}\) et \(\mathrm{3DB}\) correspondent à des problèmes 3D.
Cas \(\mathrm{2DA}\) :
Tous les nœuds de la liste des nœuds à rigidifier portent les degrés de liberté \(\mathit{DX}\) et \(\mathit{DY}\) et au moins l’un des nœuds porte \(\mathit{DRZ}\) .
Cas \(\mathrm{2DB}\) :
Tous les nœuds de la liste des nœuds à rigidifier portent \(\mathit{DX}\) , \(\mathit{DY}\) mais ils ne portent pas \(\mathit{DRX}\) , \(\mathit{DRY}\) et \(\mathit{DZ}\) .
Cas \(\mathrm{3DA}\) :
Tous les nœuds de la liste des nœuds à rigidifier portent les degrés de liberté \(\mathit{DX}\) , \(\mathit{DY}\) et \(\mathit{DZ}\) et au moins l’un des nœuds porte \(\mathit{DRX}\) , \(\mathit{DRY}\) ou \(\mathit{DRZ}\) .
Cas \(\mathrm{3DB}\) :
Tous les nœuds de la liste des nœuds à rigidifier portent \(\mathit{DX}\) , \(\mathit{DY}\) , \(\mathit{DZ}\) et il n’existe pas de noeud de la liste des nœuds à rigidifier portant des degrés de liberté de rotation \(\mathit{DRX}\) , \(\mathit{DRY}\) , \(\mathit{DRZ}\) .
Seuls les cas \(\mathrm{2DB}\) et \(\mathrm{3DB}\) peuvent être actuellement traités en non linéaire (TYPE_CHARGE=”SUIV”).
Traitement des cas 2DA et 3DA#
Dans ces deux cas de figure, on a pu trouver un noeud de la liste des noeuds à rigidifier qui portait tous les degrés de liberté du solide. Soit \(A\) ce nœud, alors:
En 2D: \(\mathit{DX}\) , \(\mathit{DY}\) , \(\mathit{DRZ}\) ;
En 3D: \(\mathit{DX}\) , \(\mathit{DY}\) , \(\mathit{DZ}\) , \(\mathit{DRX}\) , \(\mathit{DRY}\) , \(\mathit{DRZ}\)
Soit un nœud \(M\) de la liste des nœuds à rigidifier quelconque. En théorie des petits déplacements, le mouvement d’un corps solide s’exprime par:
Cas 2DA#
On écrit les relations linéaires:
Cas 3DA#
\(\begin{array}{}\forall M\ne A:\left\lbrace \begin{array}{}\text{DX}(M)-\text{DX}(A)-\text{DRY}(A).z+\text{DRZ}(A).y=0\\ \text{DY}(M)-\text{DY}(A)-\text{DRZ}(A).x+\text{DRX}(A).z=0\\ \text{DZ}(M)-\text{DZ}(A)-\text{DRX}(A).y+\text{DRY}(A).x=0\end{array}\right\rbrace \\ \\ +\text{si}M\text{porte}\text{DRX},\text{DRY},\text{DRZ}:\left\lbrace \begin{array}{}\text{DRX}(M)-\text{DRX}(A)=0\\ \text{DRY}(M)-\text{DRY}(A)=0\\ \text{DRZ}(M)-\text{DRZ}(A)=0\end{array}\right\rbrace \end{array}\)
Traitement des cas 2DB et 3DB#
On distingue quatre cas de figure pour le nuage des noeuds «solidifiés»:
Volumique: il existe au moins 4 noeuds non coplanaires (à un epsilon près);
Plan: il existe au moins 3 noeuds non alignés (à un epsilon près);
Segment: il existe au moins 2 noeuds non confondus (à un epsilon près);
Ponctuel: tous les noeuds sont géométriquement confondus (à un epsilon près)
La routine qui détermine le cas de figure retourne également les 1, 2, 3 ou 4 noeuds qui permettent de «définir» le solide. Les relations cinématiques que l’on écrit dépendent (assez légèrement) du cas de figure.
Prenons l’exemple du cas «Plan» en 3D.
On dispose de trois noeuds \(A\) , \(B\) , \(C\) non alignés. On écrit que le carré des trois distances \(\mathit{AB}\) , \(\mathit{AC}\) et \(\mathit{BC}\) reste constant lors du mouvement. Ces trois relations sont non-linéaires. Elles sont quadratiques et on peut facilement les dériver pour obtenir le problème linéarisé tangent.
Pour chaque noeud (\(M\) ) différent de \(A\) , \(B\) , \(C\) , on calcule les coordonnées barycentriques \(\alpha\) , \(\beta\) et \(\gamma\) telles que:
Puis, on écrit les trois relations linéaires:
Au total, si le nuage comporte \(n\ge 3\) noeuds, on écrit:
Trois relations quadratiques (facilement linéarisables);
\(3(n-3)\) relations linéaires.
Le nuage avait \(\mathrm{3n}\) degrés de liberté. On a écrit \(3n-6\) relations indépendantes. Il lui reste six degrés de liberté, ce qui correspond au nombre de mouvements possibles pour un solide 3D.
Remarques:
Pour le cas «segment» en 3D, par exemple, on écrit \(\mathrm{3n}-5\) relations, ce qui veut dire que le solide n’a que cinq mouvements possibles, ce qui est normal car la rotation du solide autour de la droite est indéterminée;
Chaque solide n’engendre que peu de relations non-linéaires (au maximum six).