v3.03.120 SSLS120 - Coque mince cylindrique sous pression hydrostatique#
Résumé:
Ce test représente un calcul statique de réservoir cylindrique mince rempli d’eau. Il permet de valider la bonne prise en compte des pressions fonction de la géométrie, ainsi que les matériaux élastiques orthotropes. 6 modélisations éléments finis sont utilisées: AXIS, COQUE_3D avec des mailles QUAD9, COQUE_3D avec des mailles TRIA7, et DKT avec des mailles QUAD4, 3D avec des mailles HEXA20 et D_PLAN avec des mailles QUAD8. Les déplacements et les contraintes obtenus sont comparés à une solution de référence analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Matériau isotrope : Solution analytique [bib1], obtenue avec l’hypothèse de coque mince:
\({\sigma}_{zz}=0\)
\({\sigma}_{\theta \theta }=\mathrm{P0}R\frac{(L-z)}{Le}\)
\({u}_{r}=\frac{\mathrm{P0}{R}^{2}}{Ee}\left[1-\frac{z}{L}\right]\)
\({u}_{z}=\frac{-\mathrm{P0}Rvz}{Ee}\left[1-\frac{z}{\mathrm{2L}}\right]\)
Déplacement radial à la base du cylindre: \({u}_{r}(z=0)=\frac{\mathrm{P0}{R}^{2}}{Ee}\)
Déplacement vertical en haut du cylindre: \({u}_{z}(z=L)=\frac{-\mathrm{P0}RLv}{2Ee}\)
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre \({\sigma}_{\theta \theta }(z=0)=\frac{\mathrm{P0}R}{e}\)
Matériau orthotrope : La solution peut être déduite de la précédente: les contraintes étant statiquement déterminées, il suffit de modifier la loi de comportement, et d’intégrer les déformations. Afin que la solution soit indépendante des différentes notations (la valeur \({E}_{T}\) ne revêt pas la même signification selon le repère d’orthotropie), on se place en repère cylindrique \((r,\theta ,z)\) .
Déplacement radial à la base du cylindre: \({u}_{r}(z=0)=\frac{\mathrm{P0}{R}^{2}}{{E}_{\theta}e}\)
Déplacement vertical en haut du cylindre: \({u}_{z}(z=L)=\frac{-\mathrm{P0}RL{v}_{\theta z}}{2{E}_{\theta}e}\)
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre \({\sigma}_{\theta \theta }(z=0)=\frac{\mathrm{P0}R}{e}\)
Résultats de référence#
Matériau isotrope : |
|
Déplacement radial à la base du cylindre: |
\(\mathrm{Ur}(\mathrm{A1})=5.8017857E–05m\) |
Déplacement vertical en haut du cylindre: |
\(\mathrm{Uz}(\mathrm{A3})=–2.442857E–05m\) |
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre: |
\(\mathrm{Stt}(\mathrm{A1})=2.1375E+06\mathrm{Pa}\) |
Matériau orthotrope : |
|
Déplacement radial à la base du cylindre: |
\(\mathrm{Ur}(\mathrm{A1})=5.8017857E–05m\) |
Déplacement vertical en haut du cylindre: |
\(\mathrm{Uz}(\mathrm{A3})=–6.107143E–06m\) |
Contrainte circonférentielle en bas du cylindre: |
\(\mathrm{Stt}(\mathrm{A1})=2.1375E+06\mathrm{Pa}\) |
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
PILKEY W.D.: «Formulas for stress, Strain and Structural Matrices». Wiley & Cons, NewYork, 1994.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation AXIS. On maille seulement une génératrice du cylindre. 2 mailles QUAD8 dans l’épaisseur et 400 sur la hauteur.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 3206
Nombre de mailles et types : 800 QUAD8
Valeurs testées#
Matériau isotrope
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{A3})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{A4})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathrm{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathrm{SIZZ}(\mathrm{PM})\) |
2.1375E+06 |
Matériau orthotrope
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{A3})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{A4})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathrm{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathrm{SIZZ}(\mathrm{PM})\) |
2.1375E+06 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation COQUE_3D. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan \(y=0\) ) 10 mailles QUAD9 dans la hauteur et 20 sur la demi-circonférence.
La normale sur la coque est orientée vers l’intérieur du cylindre.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 664
Nombre de mailles et type : 200 QUAD9
Valeurs testées#
Matériau isotrope
Le repère UTILISATEUR sur la coque est défini par les angles nautiques (α=-90°, β=20°).
La composante TT du tenseur des contraintes est obtenue en effectuant un changement de repère (du repère UTILISATEUR vers le repère CYLINDRIQUE).
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathit{Ur}(z=0)\) |
\(\mathit{DX}(\mathit{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathit{Ur}(z=0)\) |
\(\mathit{DX}(\mathit{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathit{Ur}(z=0)\) |
\(\mathit{DX}(\mathit{A2})\) |
–5.8018E–05 |
\(\mathit{Uz}(z=L)\) |
\(\mathit{DZ}(\mathit{A3})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathit{Uz}(z=L)\) |
\(\mathit{DZ}(\mathit{A4})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathit{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathit{SIZZ}(\mathit{PM})\) |
2.1375E+06 |
Matériau orthotrope
Le repère UTILISATEUR sur la coque est défini par les angles nautiques (α=0°, β=-90°). Le second vecteur du repère UTILISATEUR est approximativement égal au vecteur tangentiel du repère cylindrique associé à la coque. La composante TT du tenseur des contraintes est approchée par SIYY.
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A2})\) |
–5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A3})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A4})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathit{SIYY}(\mathit{PM})\) |
2.1375E+06 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation COQUE_3D. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan \(y=0\) ) 10 mailles TRIA7 dans la hauteur et 20 sur la demi-circonférence.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 864
Nombre de mailles et types : 400 TRIA7
Valeurs testées#
Matériau isotrope
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A2})\) |
–5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A3})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A4})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathrm{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathrm{SIZZ}(\mathrm{PM})\) |
2.1375E+06 |
Matériau orthotrope
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A2})\) |
–5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A3})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A4})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathrm{SIZZ}(\mathrm{PM})\) |
2.1375E+06 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation DKT. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan \(y=0\) ) 30 mailles QUAD4 dans la hauteur et 60 sur la demi-circonférence.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1894
Nombre de mailles et types : 1800 QUAD4
Remarque:
Pour obtenir une solution précise de ce problème, il est nécessaire d’utiliser un maillage assez raffiné (ici 1800 QUAD4).
On observe les erreurs suivantes en fonction de la discrétisation:
Nombre d’éléments |
Erreur maximale sur le déplacement |
450 QUAD4 |
0.5% |
1800 QUAD4 |
0.2% |
900 TRIA3 |
17% |
3600 TRIA3 |
1.4% |
On voit que pour ce problème, le maillage en quadrangles est préférable.
Valeurs testées#
Matériau isotrope
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A2})\) |
–5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A3})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A4})\) |
–2.4429E–05 |
\(\mathrm{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathrm{SIZZ}(\mathrm{PM})\) |
2.1375E+06 |
Matériau orthotrope
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A2})\) |
–5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A3})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A4})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{SigmaTT}(z=0)\) |
\(\mathrm{SIZZ}(\mathrm{PM})\) |
2.1375E+06 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan \(y=0\) ) 10 mailles HEXA20 dans la hauteur, 40 sur la demi-circonférence et 2 dans l’épaisseur.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 4725
Nombre de mailles et types : 800 HEXA20
Valeurs testées#
Matériau orthotrope par MECA_STATIQUE
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A3})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A4})\) |
–6.10714E–06 |
Matériau orthotrope par STAT_NON_LINE
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A3})\) |
–6.10714E–06 |
\(\mathrm{Uz}(z=L)\) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A4})\) |
–6.10714E–06 |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation D_PLAN. On maille seulement la moitié du cylindre (symétrie par rapport au plan \(y=0\) ) 40 QUAD8 sur la demi-circonférence et 2 dans l’épaisseur. Cette modélisation permet de valider la prise en compte d’un matériau orthotrope sur géométrie cylindrique en 2D via le mot-clé ORIG_AXE de AFFE_CARA_ELEM/MASSIF.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 165
Nombre de mailles et types : 40 QUAD8
Valeurs testées#
Matériau orthotrope par MECA_STATIQUE
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
Matériau orthotrope par STAT_NON_LINE
Valeur |
Identification |
Référence |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DY}(\mathrm{PM})\) |
5.8018E–05 |
\(\mathrm{Ur}(z=0)\) |
\(\mathrm{DX}(\mathrm{A1})\) |
5.8018E–05 |
Synthèse des résultats#
Les résultats des cinq modélisations sont très proches de la solution analytique : au maximum 0.4 % écart pour les modélisations COQUE_3D et DKT, et moins de 2 % d’écart pour la modélisation axisymétrique et 3D, ce qui s’explique par le fait que la solution analytique est une solution coque mince.
Ce test valide donc d’une part les efforts de pression variant linéairement avec la géométrie, pour des coques minces, et d’autre part la prise en compte de l’élasticité orthotrope.