v6.02.119 SSNL119 - Réponse statique d’une poutre en béton armé (section rectangulaire) à comportement non linéaire#

Résumé:

Le problème consiste à analyser la réponse d’une poutre en béton armé en flexion 3 points jusqu’à la ruine par l’intermédiaire d’une modélisation poutre multifibres [R3.08.08] ou d’une modélisation de plaque utilisant une loi de béton armé homogénéisée. Ce test correspond à une analyse statique d’une poutre ayant un comportement non-linéaire. Les modélisations du test sont:

  • modélisation A: le béton est modélisé avec la loi endommageable adoucissante de comportement de Mazars dans sa version \(\mathrm{1D}\) [R7.01.08] et l’acier est élasto-plastique, le type d’éléments utilisé est POU_D_EM;

  • modélisation B: la poutre en béton armé est modélisée avec la loi homogénéisée GLRC_DM et une grille d’acier suivant une loi élasto-plastique représentant les aciers inférieurs;

  • modélisation C: la poutre en béton armé est modélisée avec la loi homogénéisée GLRC_DM avec une section d’armature moyennée;

  • modélisation D: la poutre en béton armé est modélisée avec la loi homogénéisée DHRC.

  • Modélisation E: copie de la modélisation A avec les éléments POU_D_TGM servant à valider les options EPSI_ELGA et EPSP_ELGA pour ce type d’éléments.

Solution de référence#

Ce test valide la non-régression.

Pour les modélisations de B à D, les résultats sont également comparés aux résultats expérimentaux issus de [1] et [2].

Références bibliographiques#

[1] Pera, J. (1973). ’Reinforced concrete redundant beams. Theoretical and experimental analysis’. Thesis by a doctor-engineer, INSA Lyon.

[2] GHAVAMIAN Sh., DELAPLACE A., Modèles de fissuration de béton (Projet MECA). Revue française de génie civil, volume 7 – n°5/2003.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Le béton est modélisé avec la loi d’endommagement de Mazars en version \(1D\) (mazars_GC) [R7.01.08]. Les paramètres matériaux utilisés sont les suivants:

\(\mathit{AC}=1.71202987\) \(\mathit{BC}=2.01163780E+03\) \(\mathit{BT}=1.21892353E+04\) \(\mathit{BETA}=1.10E+00\)

\(\mathit{AT}=1.0E+00\) \(\mathit{EPSD}0=8.20396008E-05\)

Grandeurs testées et résultats#

La flèche est celle du centre de la poutre, les résultats locaux (contraintes, déformations) sont ceux du deuxième point de Gauss du 9èmeélément (le plus proche du milieu de la poutre).

Réaction d’appui au point \(A\) :

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Tolérance

1.00E-03

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

3.0E-04

1.40E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

3.0E-04

2.68E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

3.0E-04

Contrainte dans les aciers tendus:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Tolérance

1.00E-03

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:41

NON_REGRESSION

3.0E-04

1.40E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:41

NON_REGRESSION

3.0E-04

2.68E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:41

NON_REGRESSION

0.0E+00

Contrainte dans les aciers comprimés:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Tolérance

1.00E-03

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:44

NON_REGRESSION

3.0E-04

1.40E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:44

NON_REGRESSION

3.0E-04

2.68E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:44

NON_REGRESSION

3.0E-04

Déformation dans les aciers tendus:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Tolérance

1.00E-03

EPXX

maille:M9, point:2 sous_point:41

NON_REGRESSION

3.0E-04

1.40E-02

EPXX

maille:M9, point:2 sous_point:41

NON_REGRESSION

3.0E-04

2.68E-02

EPXX

maille:M9, point:2 sous_point:41

NON_REGRESSION

3.0E-04

Contrainte dans le béton comprimé:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Tolérance

1.00E-03

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:1

NON_REGRESSION

3.0E-04

1.40E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:1

NON_REGRESSION

3.0E-04

2.68E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:1

NON_REGRESSION

3.0E-04

Contrainte dans le béton tendu:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Tolérance

1.00E-03

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:40

NON_REGRESSION

3.0E-04

1.40E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:40

NON_REGRESSION

3.0E-04

2.68E-02

SIXX

maille:M9, point:2 sous_point:40

NON_REGRESSION

3.0E-04
../../../../_images/10000200000003CA0000025C4C547A14839DAE3A.png

Figure 3.2-a: r éaction sur un appui, en fonction de la flèche au centre.

../../../../_images/10000200000003CA0000025CC58BD5EFAB7C25A6.png

Figure 3.2-b: d éformation des aciers tendus, en fonction de la flèche au centre.

../../../../_images/10000200000003CA0000025C54404E250CFB592B.png

Figure 3.2-c: c ontrainte béton tendu, en fonction de la flèche au centre.

../../../../_images/10000200000003CA0000025C1AE58C19DE70C0FC.png

Figure 3.2-d: c ontrainte béton comprimé, en fonction de la flèche au centre.

../../../../_images/10000200000003CA0000025C7F0C0EA4BDF51BAB.png

Figure 3.2-e : contrainte acier tendu, en fonction de la flèche au centre.

On valide également le calcul de l’option EPSP_ELGA (déformation plastique) pour les éléments POU_D_EM. Pour cela on profite du fait que la déformation plastique équivalente est la première variable interne de la loi VMIS_ISOT_TRAC, cela fourni donc une valeur de référence.

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Valeur de référence

Type référence

Tolérance

2.68E-02

VARI/V1

maille:M9, point:2 sous_point:44

NON_REGRESSION

2.68E-02

EPSP_EPXX

maille:M9, point:2 sous_point:44

-5.67130306951E-04

AUTRE_ASTER

3.0E-04

Remarques#

Il n’y a pas de raffinement particulier des pas de temps à réaliser. Il y a 26 pas de temps (déclenchement d’une subdivision pour non-convergence en 10 itérations), ce qui correspond à 110 itérations de Newton pour le calcul complet.

../../../../_images/10000200000003CA0000025C529C7DF614D5FADF.png

Figure 3.3-a: c ontrainte acier comprimé, en fonction de la flèche au centre.

../../../../_images/10000200000003CA0000025CDD081FC84E3DC94C.png

Figure3.3-b: comportement du béton.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

La poutre est modélisée par des éléments DKTG et GRILLE_EXCENTRE. On utilise 16 éléments dans la direction longitudinale \(X\) et un seul dans la direction transversale \(Z\) .

Le béton armé est modélisé par la loi de comportement GLRC_DM. Les paramètres de la loi de comportement GLRC_DM sont obtenus grâce à la macro-commande DEFI_GLRC. Les données matériaux utilisées sont définies en 1.2 . Pour les nappes d’armatures du modèle GLRC, on définit une section d’armature \(\mathit{OMX}=\mathit{OMY}=\mathrm{5,03E-4}\mathit{m²}/m\) et l’excentrement \(\mathit{RX}=\mathit{RY}=0,872\) .

On ajoute une grille d’armature inférieure avec une section de \(S=7,54E-4\mathit{m²}/m\) et un excentrement de \(-0,218m\) .

Grandeurs testées et résultats#

Les valeurs sont issues de résultats expérimentaux (SOURCE_EXTERNE). La flèche est celle du centre de la poutre, les résultats locaux (déformations) sont ceux du point de Gauss d’un élément de la grille d’armature (le plus proche du milieu de la poutre).

La loi GLRC_DM étant une loi de béton armé homogénéisée, les contraintes et déformations du béton ou des armatures incluses dans la loi ne sont pas accessibles.

Réaction d’appui sur centre du bord A:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Référence

Tolérance

3.00E-03

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

2.95780E+04

0, 11

0.50E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

4.02560E+04

0, 16

0.7E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

4.98640E+04

0, 19

1.1E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

6.97240E+04

0.23

1.6E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

8.95840E+04

0.22

1.9E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

9.9940E+04

0.2

5.0E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

1.1768E+05

0, 06

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Tolérance

3.00E-03

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

1.0E-6

0.50E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

1.0E-6

0.7E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

1.0E-6

1.1E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

1.0E-6

1.6E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

1.0E-6

1.9E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

1.0E-6

5.0E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

NON_REGRESSION

1.0E-6

Déformation dans les aciers tendus:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Référence

Tolérance

3.00E-03

EXX

maille:HM52, point:1

SOURCE_EXTERNE

4.3175E-04

0.18

0.50E-02

EXX

maille:HM52, point:1

SOURCE_EXTERNE

4.1754E-04

0.34

0.7E-02

EXX

maille:HM52, point:1

SOURCE_EXTERNE

8.3099E-04

0.11

1.1E-02

EXX

maille:HM52, point:1

SOURCE_EXTERNE

1.2757E-03

0.13

1.6E-02

EXX

maille:HM52, point:1

SOURCE_EXTERNE

2.0344E-03

0.24

1.9E-02

EXX

maille:HM52, point:1

SOURCE_EXTERNE

2.5815E-03

0.3

5.0E-02

EXX

maille:HM52, point:1

SOURCE_EXTERNE

2.1200E-02

0.7
../../../../_images/100000000000025D0000013FF27FADA0C787DBD4.png

Figure 4.2-a : réaction sur un appui, en fonction de la flèche au centre.

../../../../_images/10000000000001E100000121E1310223B4559122.png

Figure 4.2-b : déformation des aciers tendus, en fonction de la flèche au centre.

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

La poutre est modélisée par des éléments DKTG. On utilise 16 éléments dans la direction longitudinale \(X\) et une seule dans la direction transversale \(Z\) .

Le béton armé est modélisé par la loi de comportement GLRC_DM. Les paramètres de la loi de comportement GLRC_DM sont obtenus grâce à la macro-commande DEFI_GLRC. Les données matériaux utilisées sont définies en 1.2 . Pour les nappes d’armatures du modèle GLRC, on définit une section d’armature \(\mathit{OMX}=\mathit{OMY}=\mathrm{4,27E-3}\mathit{m²}/m\) et l’excentrement \(\mathit{RX}=\mathit{RY}=0,872\) .

Grandeurs testées et résultats#

Les valeurs sont issues de résultats expérimentaux (SOURCE_EXTERNE). La flèche est celle du centre de la poutre, les résultats locaux (déformations) sont ceux du point de Gauss d’un élément de la grille d’armature (le plus proche du milieu de la poutre).

La loi GLRC_DM étant une loi de béton armé homogénéisée, les contraintes et déformations du béton ou des armatures incluses dans la loi ne sont pas accessibles.

Réaction d’appui sur centre du bord A:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Référence

Tolérance

3.00E-03

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

2.95780E+04

0.04

0.50E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

4.02560E+04

0.07

0.7E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

4.98640E+04

0.08

1.1E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

6.97240E+04

0.11

1.6E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

8.95840E+04

0.08

1.9E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

9.9940E+04

0.05

5.0E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

1.1768E+05

0.91
../../../../_images/10000000000001E100000121402AF8B89953E90A.png

Figure 5.2-a : Réaction d’appui en fonction de la flèche au centre

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

La poutre est modélisée par des éléments DKTG. On utilise 16 éléments dans la direction longitudinale \(X\) et une seule dans la direction transversale \(Y\) .

Le béton armé est modélisé par la loi de comportement DHRC. Les paramètres de la loi sont obtenus grâce au plugin d’identification éponyme dans Salome-Meca. Les données matériaux utilisées sont définies en 1.2 .

Grandeurs testées et résultats#

Les valeurs sont issues de résultats expérimentaux (SOURCE_EXTERNE). La flèche est celle du centre de la poutre.

Réaction d’appui sur centre du bord A:

Flèche (m)

Grandeur

Lieu

Type référence

Référence

Tolérance

3.00E-03

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

2.95780E+04

0,7

0.50E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

4.02560E+04

0,7

0.7E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

4.98640E+04

0,7

1.1E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

6.97240E+04

0,7

1.6E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

8.95840E+04

0,7

1.9E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

9.9940E+04

0,75

5.0E-02

REAC_NODA

DY

groupe:A

SOURCE_EXTERNE

1.1768E+05

2,2
../../../../_images/10000000000001E000000120E73A51F0D4782A2D.png

Figure 6.2-a: Réaction d’appui en fonction de la flèche au centre

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

Cette modélisation est identique à la modélisation A excepté que les éléments de poutre sont de type POU_D_TGM.

Grandeurs testées et résultats#

Cette modélisation a uniquement pour but de valider les options EPSI_ELGA(déformation totale) et EPSP_ELGA(déformation plastique) pour les éléments POU_D_TGM.

Pour cela on profite du fait que la déformation plastique équivalente est la première variable interne de la loi VMIS_ISOT_TRAC, cela fourni donc une valeur de référence pour le champ EPSP_ELGA. On obtient également une valeur de référence pour la déformation totale, à partir de la valeur de la contrainte, celle du module d’Young et celle de la déformation plastique.

Synthèse des résultats#

Les tests sont réalisés en non-régression du fait qu’il n’existe pas de référence avec la loi de comportement de Mazars ou GLRC_DM. Les coefficients de la loi de Mazars sont calés de façon à coller au mieux à une courbe de comportement de béton obtenue avec la loi de La Borderie (qui n’est plus disponible dans Code_Aster ).

Pour les modélisations B, C et D, les résultats sont également comparés à des mesures expérimentales.