v3.03.503 SSLS503 - Plaque stratifiée en flexion empilement antisymétrique simplement appuyée#
Résumé :
Ce test représente un calcul quasi-statique d’une plaque stratifiée, en flexion empilement antisymétrique, simplement appuyée, soumise à une pression uniformément répartie.
Les 4 modélisations permettent de valider :
les modélisations éléments finis DKT (QUAD4, TRIA3) et DST (QUAD4, TRIA3) dans le cas d’un matériau composite (3 couches d’orientation différentes),
les contraintes de cisaillement transverse.
Les déplacements et les contraintes obtenues sont comparés à une solution de référence analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Déplacement : solution analytique obtenue par décomposition en série de la forme :
\(w=\underset{i}{\Sigma}\underset{j}{\Sigma}{w}_{ij}\sin(\frac{i\pi x}{a})\sin(\frac{j\pi y}{b})\)
Résultats de référence#
Les résultats de référence sont les suivants :
\(w(0,0,0)\) |
\(0.01507m\) |
Déplacement \(w\) au centre de la plaque (point \(A\) ), |
\(\mathrm{SIXX}(0,0,h/2)\) |
\(2.4216{10}^{7}\mathrm{Pa}\) |
Contrainte \({\sigma}_{xx}\) sur la peau supérieure de la couche \(3\) (\(z=h/2\) ) au centre de la plaque (point A), |
\(\mathrm{SIYY}(0,0,h/6)\) couche à \(90°\) |
\(5.7810{10}^{6}\mathrm{Pa}\) |
Contrainte \({\sigma}_{yy}\) sur la peau supérieure de la couche \(2\) (\(z=h/6\) ) au centre de la plaque (point \(A\) ), |
\(\mathrm{SIXY}(a/2,a/2,h/2)\) |
\(1.2825{10}^{6}\mathrm{Pa}\) |
Contrainte \({\sigma}_{xy}\) au point \(C\) sur la peau supérieure de la couche \(3\) , |
\(\mathrm{SIXZ}(a/2,0,0)\) |
\(2.3526{10}^{5}\mathrm{Pa}\) |
Contrainte \({\sigma}_{xz}\) au point \(D\) sur la peau moyenne de la couche \(2\) (\(z=0\) ), |
\(\mathrm{SIYZ}(0,a/2,0)\) |
\(8.8950{10}^{4}\mathrm{Pa}\) |
Contrainte \({\sigma}_{yz}\) au point \(B\) sur la peau moyenne de la couche \(2\) (\(z=0\) ), |
Incertitudes sur la solution#
La solution de référence est donnée pour un nombre de termes dans la série égal à 25.
Le facteur de correction du cisaillement transverse utilisé est de 5/6.
Avec un élancement important (\(a/h=100\) ) , le niveau de cisaillement transverse est faible et donc difficile à obtenir avec précision. Il existe alors une incertitude sur les valeurs de contrainte \({\sigma}_{ij}\) calculées lors de la validation du test \(\mathit{VPCS}\) , les différences obtenues par les logiciels sur les composantes du cisaillement sont de l’ordre de \(\text{10\%}\) .
Références bibliographiques#
VPCS : Progiciel de calcul de structures composites ; Exemples de validation. Revue des composites et des matériaux avancés, Volume 5 - numéro hors série/ 1995. Edition Hermes.
PUTCHA, N.S. and REDDY, J.N. : A mixed shear flexible finite element for the analysis of laminated plates, computer meth. in applied mech. Eng. 44 (1984).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
|
Modélisation DKT (TRIA3)
|
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 49
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeurs de référence |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(w(0,0,0)\) |
ANALYTIQUE |
0.01507 |
1.1 |
\(\mathit{SIXX}(0,0,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
2.4216 107 |
2.1 |
\(\mathit{SIYY}(0,0,h/6)\) couche à \(90°\) |
SOURCE_EXTERNE |
5.7810 106 |
2.7 |
\(\mathit{SIXY}(a/2,a/2,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
1.2825 106 |
4.6 |
\(\mathit{SIXZ}(a/2,0,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
–2.3526 105 |
37 |
\(\mathit{SIYZ}(0,a/2,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
8.8950 104 |
3.1 |
Remarques#
Les contraintes sont exprimées dans le repère d’orthotropie défini par ANGL_REP (AFFE_CARA_ELEM), et par la normale de l’élément.
Les composantes \(\mathrm{SIXX}\) , \(\mathrm{SIYY}\) et \(\mathrm{SIYZ}\) sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux points \(A\) et \(C\) .
L’écart obtenu sur \(\mathrm{SIXZ}\) est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse: dans la référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans Code_Aster , on calcule la répartition des cisaillements dans l’épaisseur, supposée parabolique dans chaque couche.
Le signe de \(\mathrm{SIXZ}\) est opposé à celui de la solution de référence.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
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Modélisation DKT(QUAD4)
|
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 49
Nombre de mailles et types : 36 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeurs de référence |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(w(0,0,0)\) |
ANALYTIQUE |
0.01507 |
1.1 |
\(\mathrm{SIXX}(0,0,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
2.4216 107 |
1.1 |
\(\mathrm{SIYY}(0,0,h/6)\) couche à \(90°\) |
SOURCE_EXTERNE |
5.7810 106 |
1.1 |
\(\mathrm{SIXY}(a/2,a/2,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
1.2825 106 |
5.1 |
\(\mathrm{SIXZ}(a/2,0,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
–2.3526 105 |
16 |
\(\mathrm{SIYZ}(0,a/2,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
8.8950 104 |
4.1 |
Remarques#
Les composantes \(\mathrm{SIXX}\) , \(\mathrm{SIYY}\) et \(\mathrm{SIYZ}\) sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux points \(A\) et \(C\) .
L’écart obtenu sur \(\mathrm{SIXZ}\) est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse: dans la référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans Code_Aster , on calcule la répartition des cisaillements dans l’épaisseur, supposée parabolique dans chaque couche.
Le signe de \(\mathrm{SIXZ}\) est opposé à celui de la solution de référence.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
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Modélisation DST(TRIA3)
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Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 49
Nombre de mailles et types : 72 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeurs de référence |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(w(0,0,0)\) |
ANALYTIQUE |
0.01507 |
2.1 |
\(\mathrm{SIXX}(0,0,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
2.4216 107 |
7.1 |
\(\mathrm{SIYY}(0,0,h/6)\) couche à \(90°\) |
SOURCE_EXTERNE |
5.7810 106 |
|
\(\mathrm{SIXY}(a/2,a/2,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
1.2825 106 |
4.1 |
\(\mathrm{SIXZ}(a/2,0,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
–2.3526 105 |
37 |
\(\mathrm{SIYZ}(0,a/2,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
8.8950 104 |
26 |
Remarques#
Les composantes \(\mathrm{SIXX}\) , \(\mathrm{SIYY}\) et \(\mathrm{SIYZ}\) sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux points \(A\) et \(C\) .
L’écart obtenu sur \(\mathrm{SIXZ}\) est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse: dans la référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans Code_Aster , on calcule la répartition des cisaillements dans l’épaisseur, supposée parabolique dans chaque couche.
Le signe de \(\mathrm{SIXZ}\) est opposé à celui de la solution de référence.
Les autres écarts sont probablement dus à l’anisotropie du maillage triangulaire.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
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Modélisation DST(QUAD4)
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Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 49
Nombre de mailles et types : 36 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeurs de référence |
Tolérance \((\text{\%})\) |
\(w(0,0,0)\) |
ANALYTIQUE |
0.01507 |
1.1 |
\(\mathrm{SIXX}(0,0,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
2.4216 107 |
1.1 |
\(\mathrm{SIYY}(0,0,h/6)\) couche à \(90°\) |
SOURCE_EXTERNE |
5.7810 106 |
1.1 |
\(\mathrm{SIXY}(a/2,a/2,h/2)\) |
SOURCE_EXTERNE |
1.2825 106 |
7.1 |
\(\mathrm{SIXZ}(a/2,0,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
–2.3526 105 |
|
\(\mathrm{SIYZ}(0,a/2,0)\) |
SOURCE_EXTERNE |
8.8950 104 |
2.1 |
Remarques#
Les composantes \(\mathrm{SIXX}\) , \(\mathrm{SIYY}\) et \(\mathrm{SIYZ}\) sont les valeurs moyennes des deux mailles concourantes aux points \(A\) et \(C\) .
L’écart obtenu sur \(\mathrm{SIXZ}\) est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse : dans la référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans Code_Aster , on calcule la répartition des cisaillements dans l’épaisseur, supposée parabolique dans chaque couche.
Le signe de \(\mathrm{SIXZ}\) est opposé à celui de la solution de référence.
Synthèse des résultats#
Dé **placements* : quelque soit la modélisation utilisée (DKT ou DST) les résultats sont satisfaisants, l’erreur maximum est inférieure à \(\text{0.7\%}\) .
Contraintes planes : les résultats sont plus précis avec la modélisation DKT, l’erreur est inférieure à \(\text{1\%}\) sauf pour \(\mathrm{SIXY}\) (QUAD4) où l’erreur est de \(\text{5\%}\) . Pour la modélisation DST l’erreur est plus élevée (\(\text{<8\%}\) ) avec un écart important sur \(\mathrm{SIXX}\) (\(\text{28\%}\) ) pour la maille TRIA3.
Cisaillement transverse : quelque soit la modélisation utilisée (DKT ou DST) les résultats obtenus avec les maillages quadrangulaires sont plus proches de la solution de référence que ceux obtenus avec des maillages triangulaires. Dans le premier cas l’erreur sur la composante \(\mathrm{SIXZ}\) est inférieure à \(\text{15\%}\) , et l’erreur sur \(\mathrm{SIYZ}\) est inférieure à \(\text{3\%}\) , tandis que dans le deuxième cas, l’erreur sur \(\mathrm{SIXZ}\) est de \(\text{35\%}\) et celle sur \(\mathrm{SIYZ}\) est comprise entre \(\text{2\%}\) et \(\text{24\%}\) . Hormis la moins bonne précision des maillages triangulaires à cause de leur anisotropie, l’écart qui subsiste avec des maillages quadrangulaires est dû à la différence de modélisation du cisaillement transverse: dans la référence, on utilise un coefficient de correction de cisaillement transverse de 5/6. Dans Code_Aster, on calcule la répartition des cisaillements dans l’épaisseur, supposée parabolique dans chaque couche.