v7.01.310 HPLA310 - Biblio_49 Fissure radiale externe dans un barreau circulaire soumis à un choc thermique#
Résumé:
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture.
Il s’agit d’un test statique de base en axisymétrique sous chargement thermique instationnaire. Le comportement de la structure est thermoélastique linéaire isotrope.
Il comprend une seule modélisation axisymétrique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Champ de température : |
calcul analytique exact. |
Calcul thermomécanique : |
champ de contraintes thermoélastique dans le barreau non fissuré donné par une expression analytique exacte |
déplacement des lèvres de la fissure calculé à partir de fonctions d’influence déterminées numériquement par éléments finis |
|
facteur d’intensité des contraintes calculé à partir des tensions de surface libérées le long de la fissure, en utilisant des fonctions poids du solide illimité pour une répartition de pression sur les lèvres constante par intervalle le long du rayon. |
Résultats de référence#
Nombre de Fourier: \(\mathit{Fo}=\frac{\kappa t}{{R}^{2}}\) (temps adimensionnel)
Nombre de Biot : \(\mathit{Bi}=\frac{\mathit{hR}}{\lambda}\) (coefficient d’échange sans dimension)
Expression de la température en fonction de r et de t :
les valeurs propres \({\mu}_{n}\) sont les solutions de l’équation ci-dessus dans laquelle \({J}_{0}\) et \({J}_{1}\) sont les fonctions de Bessel de première espèce d’ordre 0 et 1.
Les tableaux ci-dessous résument les valeurs des températures (\(°C\) ) pour trois rayons particuliers et pour trois nombres de Fourier :
\(\mathrm{F0}=0,001\)
Réf. (10000 termes) |
|
\(r=0\) |
3,9968E-12 |
\(r=1\) |
2,2204E-13 |
\(r=2\) |
2,79689E+1 |
\(\mathrm{F0}=0,4\)
Réf. (900 termes) |
|
\(r=0\) |
1,6230E-1 |
\(r=1\) |
6,2391E+0 |
\(r=2\) |
7,7365E+1 |
\(\mathrm{F0}=1\)
Réf. (900 termes) |
|
\(r=0\) |
9,8644E+1 |
\(r=1\) |
9,9018E+1 |
\(r=2\) |
9,9835E+1 |
Expression de la contrainte axiale dans le barreau non fissuré en fonction de \(r\) et de \(t\) :
Le tableau ci-dessous résume les valeurs des contraintes \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) pour \(r=a\) (fond de fissure) et pour trois nombres de Fourier :
Réf. (900 termes) |
|
\(\mathrm{F0}=0,001\) |
4,584029E+6 |
\(\mathrm{F0}=0,4\) |
6,397099E+7 |
\(\mathrm{F0}=1\) |
8,200300E+5 |
Facteur d’intensité des contraintes (adimensionnel) en fonction du nombre de Fourier
Incertitude sur la solution#
Inférieure à \(\text{5 %}\) .
Références bibliographiques#
[bib1] J.M. ZHOU, T. TAKASE et Y. IMAI: Opening and closing behavior of an external circular crack due to axisymmetrical heating. Engng.Fract.Mechs., 47, n°4, 559-568, 1994.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le calcul thermique instationnaire précède le calcul mécanique. Les deux calculs se font à l’aide du même maillage pour éviter les phénomènes de lissage.
Maillage complet |
Zoom sur la pointe de fissure |
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 8651 nœuds et 2772 éléments, dont 2732 éléments QUA8 et 40 éléments TRI6.
La densité radiale du maillage est déterminée par essais successifs de façon à réduire à \(\text{1%}\) l’écart entre la solution théorique et la solution numérique, tant du point de vue thermique que thermomécanique, dans le cas du barreau non fissuré.
La hauteur du demi-modèle est fixée arbitrairement à 5 fois le rayon \(R\) . On suppose a priori que l’effet de la limitation de taille du maillage dans la direction \(Z\) sur le facteur d’intensité des contraintes est inférieur à \(\text{1%}\) .
Un bloc indéformable, situé sous la lèvre, a été maillé afin de gérer le contact sans frottement induit par la fermeture de la lèvre.
Valeurs testées et résultats de la modélisation A#
Identification |
Référence |
Aster |
\(\text{%}\) différence |
\(G(\mathrm{Fo}=0,001)({\mathrm{J.m}}^{2})\) |
2,3E+2 |
2,9449E+2 |
30 |
\({K}_{I}(\mathrm{Fo}=0,001)({\mathrm{Pa.m}}^{0,5})\) |
7,0E+6 |
8,0438E6* |
14 |
\(G(\mathrm{Fo}=0,04)({\mathrm{J.m}}^{2})\) |
1,0E+4 |
1,25016E+4 |
19 |
\({K}_{I}(\mathrm{Fo}=0,04)({\mathrm{Pa.m}}^{0,5})\) |
4,8E+7 |
5,24175E7* |
9 |
\(G(\mathrm{Fo}=1)({\mathrm{J.m}}^{2})\) |
1,0 |
1,2104864 |
15 |
\({K}_{I}(\mathrm{Fo}=1)({\mathrm{Pa.m}}^{0,5})\) |
4,8E+5 |
5,1579E+5* |
7 |
* Valeurs obtenues avec la formule d’IRWIN en déformations planes, en supposant que \({K}_{\mathrm{II}}=0\) , et en prenant le \(G\) calculé par ASTER, qui ne permet pas le calcul automatique de \({K}_{I}\) en axisymétrique.
Remarques#
Pour calculer \({G}_{\mathrm{ref}}\) , on utilise les formules d’IRWIN en déformations planes :
\({G}_{\mathrm{ref}}=\frac{1-{\nu}^{2}}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\) , \({K}_{\mathrm{II}}=0\)
L’écart maximum relevé est de \(\text{30%}\) sur \(G\) (\(\mathrm{Fo}=1\) ), de \(\text{14%}\) sur \({K}_{I}\) (\(\mathrm{Fo}=1\) ).
L’écart relatif maximum sur la température en fond de fissure, par rapport à la solution analytique (sommée sur 900 termes), est inférieur a \(\text{1%}\) .
L’écart relatif maximum sur \({\sigma}_{zz}\) dans le barreau avant fissuration, par rapport à la solution analytique sommée sur 900 termes, à l’emplacement du fond de fissure ultérieur, est inférieur à \(\text{0,5%}\) .
Avec ASTER, en mode axisymétrique, le champ de contrainte obtenu est de la forme suivante :
SIXX |
SIYY |
SIZZ |
SIXY |
et les contraintes associées sont :
SIRR |
SIZZ |
SITT |
SIRZ |
Pour calculer les valeurs de référence, nous utilisons la courbe en \(\log/\log\) (page 5). La précision à la lecture des valeurs n’étant pas très bonne, nous pouvons estimer que les résultats sur le taux de restitution d’énergie \(G\) ne sont pas trop éloignés de la référence.
Il est à noter que le taux de restitution d’énergie \(G\) est invariable sur les couronnes de calcul.
Synthèse des résultats#
En ce qui concerne le barreau non fissuré, les résultats Aster en température et en contrainte sont très proches de la référence (moins de \(\text{1 %}\) maximum pour la température et moins de \(\text{0,5 %}\) maximum pour les contraintes). En revanche, pour le taux de restitution d’énergie, les résultats Aster sont éloignés de la référence puisque nous relevons un écart maximum de \(\text{30 %}\) pour \(\mathrm{Fo}=0,001\) , avec une précision annoncée de \(\text{5 %}\) sur la solution de référence.