v3.03.505 SSLS505 – Plaque composite soumise à des déformations mécaniques d’origine purement thermique#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider analytiquement la déformation mécanique d’origine thermique des plaques composites sur un maillage composé d’un élément quadrangle à 4 nœuds.
MODÉLISATION A: plaque homogène DKT avec un comportement thermo-élastique orthotrope via DEFI_COMPOSITE.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Pour déterminer la solution analytique, on se base sur l’équation de la déformation totale d’une plaque avec prise en compte de la dilatation thermique:
\(\epsilon \left(u\right)=\left(\begin{array}{c}{E}_{11}\\ {E}_{22}\\ {E}_{12}\end{array}\right)+{x}_{3}\left(\begin{array}{c}{K}_{11}\\ {K}_{22}\\ {K}_{12}\end{array}\right)+{\epsilon}^{\text{th}}\text{et}{\epsilon}^{\text{th}}=\left(\begin{array}{c}{d}_{11}\\ {d}_{22}\\ {d}_{12}\end{array}\right).\left(T\left({x}_{3}\right)-{T}^{\text{réf}}\right)\)
Avec:
\({E}_{ij}=\frac{\partial {U}_{i}}{\partial {X}_{j}};{K}_{ij}=\frac{\partial {\beta}_{i}}{\partial {X}_{j}};i,j=1,2\) \({U}_{i}\) étant le déplacement dans la direction i et \({X}_{i}\) la coordonnée suivant i. \({E}_{ij}\) est la déformation membranaire pure tandis que \({K}_{ij}\) représente la courbure. Les conditions aux limites sont telles que \({E}_{ij}={K}_{ij}=0\) .
et
\({d}^{\left(m\right)}=\left(\begin{array}{c}{d}_{11}\\ {d}_{22}\\ {d}_{12}\end{array}\right)={P}^{{m}^{-1}}{\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{\text{LL}}\\ {\alpha}_{\text{TT}}\\ 0\end{array}\right)}_{\left(L,T\right)}=\left(\begin{array}{cc}{C}^{2}& {S}^{2}\\ {S}^{2}& {C}^{2}\\ 2\text{CS}& -2\text{CS}\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{LL}\\ {\alpha}_{\mathit{TT}}\end{array}\right)}_{\left(L,T\right)}\)
\({P}^{(m)}=\left[\begin{array}{ccc}{C}^{2}& {S}^{2}& 2\text{CS}\\ {S}^{2}& {C}^{2}& -2\text{CS}\\ -\text{CS}& \text{CS}& {C}^{2}-{S}^{2}\end{array}\right]\) avec \(\begin{array}{c}C=1\\ S=0\end{array}\)
Au final, on détermine analytiquement l’expression de la déformation :
\(\epsilon \left(u\right)={\epsilon}^{\text{th}}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_{\text{LL}}\\ {\alpha}_{\text{TT}}\\ {0}_{\rbrace \end{array}\right).1\)
Grandeurs et résultats de référence#
On teste la grandeur EPSI_ELGA qui représente la valeur de la déformation en un point de gauss intérieur à la plaque. Elle testée sur la maille M1, point 1 et au sous-point 1.
Incertitudes sur la solution#
Aucune incertitude sur la solution de référence car elle analytique.
Références bibliographiques#
Documentation théorique R4.01.01, Pré et Post-traitement pour les coques minces en matériaux composites .
DHATT, G. TOUZOT, « Modélisation des structure éléments finis », volume 2: poutres et plaques page 238-240, Hermès Paris, 1990.
V
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 éléments de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
Sous-Point \(1\) M1- \(\mathit{EPXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
1.E-5 |
1,E-6 |
Sous-Point \(1\) M1- \(\mathit{EPYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
1.E-6 |
1,E-6 |
Remarques#
La figure ci-dessous montre que les déformations suivant X et Y sont bien homogènes sur tous les points de Gauss de la plaque et que le cisaillement plan est quasi-nul. De plus, la déformation de flexion est nulle. C’est bien le résultat attendu qui valide la dilatation thermique des DKT composites.
Synthèse des résultats#
Ce test permet de vérifier que la dilatation thermique d’une plaque orthotrope modélisée avec les DKT est correctement calculé (à déformation élastique nulle) via DEFI_COMPOSITE.
On retrouve exactement le résultat analytique espéré.