r4.10.05 Indicateur d’erreur en résidu pour les modélisations HM

Résumé

Dans ce document, on présente les indicateurs d’erreur a posteriori développés pour les modélisations HM. L’estimation a posteriori concernée est de type résidu explicite. On donne d’abord un cadre de travail pour l’étude a posteriori de ces problèmes. On présente ensuite les familles d’indicateurs d’erreur pour les deux types de problème et on énonce les résultats théoriques de fiabilité et d’optimalité qui garantissent la validité des indicateurs. Les preuves des résultats annoncés ne seront pas données, le lecteur intéressé pourra pour cela consulter [1].

Table des matières

Étude du problème transitoire

On rappelle l’expression du problème continu auquel on s’intéresse. Trouver \(({u}^{\text{*}},{p}^{\text{*}})\) tel que

\(\lbrace \begin{array}{c}-{\nabla}^{\text{*}}\cdot {\sigma}^{\text{'*}}({u}^{\text{*}})+b{\nabla}^{\text{*}}{p}^{\text{*}}={f}^{\text{*}}\text{dans}[0,{T}^{\text{*}}]\times {\Omega}^{\text{*}}\\ {\partial}_{t}^{\text{*}}(\frac{E}{M}{p}^{\text{*}}+b{\nabla}^{\text{*}}\cdot {u}^{\text{*}})-\frac{E}{M}{\Delta}^{\text{*}}{p}^{\text{*}}={g}^{\text{*}}\text{dans}[0,{T}^{\text{*}}]\times {\Omega}^{\text{*}}\end{array}\) éq 3.1-1

Dans la thèse [1], 2 familles d’indicateurs d’erreur pour ce problème ont été proposées. Seule une a été restituée dans Code_Aster, permettant d’évaluer efficacement l’erreur sur la pression.

On définit les estimateurs d’erreur en espace :

• Estimateur pour l’équation hydraulique: pour tout \(m\in \left[1,N\right]\) ,

\(\begin{array}{c}{\tau}_{m}{E}_{p,0}^{m}=\sum_{K\in {T}_{h}}{\tau}_{m}{E}_{p,0,K}^{m}\\ =\sum_{K\in {T}_{h}}({\tau}_{m}{h}_{K}^{2}\frac{{E}^{2}}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}\mathrm{\kappa M}}{\parallel \frac{1}{M}{\delta}_{t}{p}_{h}^{m}+b\nabla \cdot ({\delta}_{t}{u}_{h}^{m})\parallel }_{0,K}^{2}+{\tau}_{m}{h}_{K}\frac{{E}^{2}}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}{\text{κρ}}^{2}M}\sum_{F\in {F}_{K}^{i}}{\parallel \left[{M}_{\text{lq},h}^{m}\cdot n\right]\parallel }_{0,F}^{2}\\ +{\tau}_{m}{h}_{K}\frac{{E}^{2}}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}{\text{κρ}}^{2}M}\sum_{F\in {F}_{K}^{\partial}\cap {\Gamma}_{N}^{H}}{\parallel {M}_{\text{lq},\text{nor}}^{m}-{M}_{\text{lq},h}^{m}\cdot n\parallel }_{0,F}^{2})\end{array}\)

• Estimateurs pour l’équation mécanique: pour tout \(m\in \left[1,N\right]\) ,

\(\begin{array}{c}{E}_{u}^{m}=\sum_{K\in {T}_{h}}{E}_{u,K}^{m}\\ =\sum_{K\in {T}_{h}}({h}_{K}^{2}\frac{1}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}}{\parallel {f}^{m}+\nabla \cdot {\sigma}^{'}({u}_{h}^{m})\parallel }_{0,K}^{2}+{h}_{K}\frac{1}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}}\sum_{F\in {F}_{K}^{i}}{\parallel \left[{\sigma}^{'}({u}_{h}^{m})\cdot n\right]\parallel }_{0,F}^{2}\\ +{h}_{K}\frac{1}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}}\sum_{F\in {F}_{K}^{\partial}\cap {\Gamma}_{N}^{M}}{\parallel {\sigma}_{\text{nor}}^{m}-({\sigma}^{'}({u}_{h}^{m})\cdot n-{\text{bp}}_{h}^{m}n)\parallel }_{0,F}^{2})\end{array}\)

\(\begin{array}{c}{E}_{u}^{m}({\delta}_{t})=\sum_{K\in {T}_{h}}{E}_{u,K}^{m}({\delta}_{t})\\ \sum_{K\in {T}_{h}}({h}_{K}^{2}\frac{1}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}}{\parallel {f}^{m}-{f}^{m-1}+\nabla \cdot {\sigma}^{'}({u}_{h}^{m}-{u}_{h}^{m-1})-b\nabla ({p}_{h}^{m}-{p}_{h}^{m-1})\parallel }_{0,K}^{2}\\ +{h}_{K}\frac{1}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}}\sum_{F\in {F}_{K}^{i}}{\parallel \left[{\sigma}^{'}({u}_{h}^{m}-{u}_{h}^{m-1})\cdot n\right]\parallel }_{0,F}^{2}\\ +{h}_{K}\frac{1}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}}\sum_{F\in {F}_{K}^{\partial}\cap {\Gamma}_{N}^{M}}{\parallel {\sigma}_{\text{nor}}^{m}-{\sigma}_{\text{nor}}^{m-1}-({\sigma}^{'}({u}_{h}^{m}-{u}_{h}^{m-1})\cdot n-b({p}_{h}^{m}-{p}_{h}^{m-1})n)\parallel }_{0,F}^{2}\end{array}\)

On définit l’estimateur en temps

\({E}_{\text{tim}}^{m}={\tau}_{m}\frac{E}{{P}^{2}{L}^{\text{dim}}{\rho}^{2}\kappa }{\parallel {M}_{\text{lq},h}^{m}-{M}_{\text{lq},h}^{m-1}\parallel }_{0,\Omega }^{2}\)

On dispose des propriétés suivantes:

Théorème 1 (Fiabilité) Pour tout \(n\in \left[1,N\right]\) ,

\({\int}_{0}^{{t}_{n}}{\parallel (p-{p}_{\mathrm{h\tau }})(s)\parallel }_{d}^{2}+{\int}_{0}^{{t}_{n}}{\parallel (p-{\pi}^{0}{p}_{\mathrm{h\tau }})(s)\parallel }_{d}^{2}<\sum_{m=1}^{N}{\tau}_{m}{E}_{p,0}^{m}+\underset{0\le m\le N}{\sup}{E}_{u}^{m}+{(\sum_{m=1}^{N}{({E}_{u}^{m}({\delta}_{t}))}^{1/2})}^{2}+\sum_{m=1}^{N}{E}_{\text{tim}}^{m}\)

L’opérateur \({\pi}^{0}\) désigne l’opérateur de projection sur les fonctions constantes par morceaux en temps, à savoir \({\pi}^{0}{p}_{\mathrm{h\tau }}\) égales à \({p}_{h}^{n}\) sur \({I}_{n}\) pour tout \(n\in \left\lbrace 1,\cdots ,N\right\rbrace\) .

Théorème 2 (Optimalité de l’indicateur en temps)

On a l’estimation suivante

\({E}_{\text{tim}}=\sum_{m=1}^{N}{E}_{\text{tim}}^{m}<{\int}_{0}^{T}{\parallel (p-{p}_{\mathrm{h\tau }})(s)\parallel }_{d}^{2}\text{ds}+{\int}_{0}^{T}{\parallel (p-{\pi}^{0}{p}_{\mathrm{h\tau }})(s)\parallel }_{d}^{2}\text{ds}\)

Théorème 3 (Optimalité des indicateurs en espace) Pour tout \(K\in {T}_{h}\) , on a

\(\begin{array}{c}{E}_{u,K}^{m}<\sum_{{K}^{'}\in {\Delta}_{K}}\left[{h}_{K}^{2}{\parallel {f}^{m}-{f}_{h}^{m}\parallel }_{0,{K}^{'}}+{\parallel {u}^{m}-{u}_{h}^{m}\parallel }_{a,{K}^{'}}^{2}+{\parallel {p}^{m}-{p}_{h}^{m}\parallel }_{0,{T}^{'}}^{2}\right]\\ {E}_{u,K}^{m}({\delta}_{t})<\sum_{{K}^{'}\in {\Delta}_{K}}{\tau}_{m}^{2}\left[{h}_{K}^{2}{\parallel {\delta}_{t}{f}^{m}-{\delta}_{t}{f}_{h}^{m}\parallel }_{0,{K}^{'}}+{\parallel {\delta}_{t}{u}^{m}-{\delta}_{t}{u}_{h}^{m}\parallel }_{a,{K}^{'}}^{2}+{\parallel {\delta}_{t}{p}^{m}-{\delta}_{t}{p}_{h}^{m}\parallel }_{0,{T}^{'}}^{2}\right]\\ {\tau}_{m}{E}_{p,0,K}^{m}<\sum_{{K}^{'}\in {\Delta}_{K}}{h}_{K}^{2}{\int}_{{I}_{m}}[{\parallel (g-{\pi}^{0}{g}_{\mathrm{h\tau }})(s)\parallel }_{0,{K}^{'}}^{2}\text{ds}+{\tau}_{m}^{2}{\parallel {\delta}_{t}{u}^{m}-{\delta}_{t}{u}_{h}^{m}\parallel }_{a,{K}^{'}}\\ +{\tau}_{m}^{2}{\parallel {\delta}_{t}{p}^{m}-{\delta}_{t}{p}_{h}^{m}\parallel }_{0,{K}^{'}}^{2}+{h}_{T}^{-2}{\parallel (p-{\pi}^{0}{p}_{\mathrm{h\tau }})(s)\parallel }_{d,{K}^{'}}^{2}]\text{ds}\end{array}\)

Utilisation dans Code_Aster

Le calcul des indicateurs temporels est déclenché dans STAT_NON_LINEpar le mot-clef ERRE_TEMPS_THM=’OUI’ dans le mot-clef facteur CRIT_QUALITE. Il permet de calculer les quantités ERRE_TPS_LOC, \({E}_{\text{tim}}^{m}\) , et ERRE_TPS_GLOB, \(\sum_{m=1}^{N}{E}_{\text{tim}}^{m}\) .

Le calcul des indicateurs en espace est déclenché dans CALC_ERREUR par l’option “ERME_ELEM”.

Exempled’extrait de fichier de commandes :

RESU[k]=CALC_ERREUR(reuse =RESU[k],

RESULTAT=RESU[k],

LIST_INST=LINST,

OPTION=(“ERME_ELEM”,”ERME_ELNO”,),);

dico = RESU[k].LIST_PARA()

print dico[“ERRE_MEC”]

On récupère ainsi les valeurs des indicateurs \({E}_{u}\) de la liste LINST.

Pour les indicateurs en espace en transitoire, on a accès aux paramètres suivants:

ERRE_MEC_LOC	\({E}_{u}^{m}\)
ERRE_MEC_LOC_D	\({E}_{u}^{m}({\delta}_{t})\)
ERRE_MEC_GLOB	\(\underset{0\le m\le N}{\sup}{({E}_{u}^{m})}^{1/2}\)
ERRE_MEC_GLOB_D	\(\sum_{m=1}^{N}{({E}_{u}^{m}({\delta}_{t}))}^{1/2}\)
ERRE_HYD_LOC	\({E}_{p,0}^{m}\)
ERRE_HYD_GLOB	\({(\sum_{m=1}^{N}{\tau}_{m}{E}_{p,0}^{m})}^{1/2}\)
ERRE_MEC_LOC	\({E}_{u}^{m}\)
ERRE_MEC_LOC_D	\({E}_{u}^{m}({\delta}_{t})\)
ERRE_MEC_GLOB	\(\underset{0\le m\le N}{\sup}{({E}_{u}^{m})}^{1/2}\)
ERRE_MEC_GLOB_D	\(\sum_{m=1}^{N}{({E}_{u}^{m}({\delta}_{t}))}^{1/2}\)
ERRE_HYD_LOC	\({E}_{p,0}^{m}\)
ERRE_HYD_GLOB	\({(\sum_{m=1}^{N}{\tau}_{m}{E}_{p,0}^{m})}^{1/2}\)

Conclusion - Perspective

Les estimateurs pour les modélisations HM viennent compléter la panoplie conséquente d’estimateurs en espace existant dans Code_Aster. Pour la première fois, des indicateurs en temps permettent de quantifier l’erreur sur la discrétisation temporelle. Les perspectives de ce travail sont de plusieurs ordres:

1. Étendre le périmètre d’utilisation des estimateurs HM aux modélisations non linéaires;

2. Développer des estimateurs pour les modélisations THHM en général;

3. Mettre en place une procédure de redécoupage des pas de temps à partir des estimateurs en temps. Pour l’instant, seules les valeurs numériques des estimateurs en temps sont fournies dans STAT_NON_LINE, sans être branchées sur un mécanisme d’adaptation de la discrétisation temporelle.

Bibliographie

• 19. MEUNIER. Analyse d’erreur a posteriori pour les couplages Hydro-Mécaniques et mise en oeuvre dans Code_Aster. Thèse de doctorat de l’ENPC, 2007.

• 19. MEUNIER. Modélisation Thermo-Hydro-Mécanique dans Code_Aster : Équations et discrétisation. Note HI-23/05/018/A.

• 3. CHAVANT. Modélisations THHM. Généralités et algorithmes. Document Aster R7.01.10-A

• 19. GRANET. Modèles de comportement THHM. Document Aster R7.01.11-C

• 13. AINSWORTH&J. T. ODEN. A posteriori error estimation in finite element analysis. Pure and Applied Mathematics. Wiley-Interscience, 2000.

• 19. MEUNIER. Estimation d’erreur a posteriori pour le problème Hydro-Mécanique stationnaire. Note HI-23/05/032/A, 2005.

• 19. MEUNIER. Modélisation Thermo-Hydro-Mécanique dans Code_Aster : Équations et discrétisation. Note HI-23/05/018/A.

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