v2.01.032 SDLD32 - Validation élémentaire du schéma en temps HHT#
Résumé:
Ce cas-test permet de valider la programmation du schéma d’intégration en temps HHT (Hilber-Hughes-Taylor)
dans DYNA_NON_LINE (SCHEMA='HHT' avec MODI_EQUI='OUI'). Il met en jeu un problème simple,
à savoir un système à un degré de liberté.
Deux schémas sont testés, à savoir le schéma HHT classique initialement introduit dans [bib1]
(SCHEMA='HHT' avec MODI_EQUI='OUI'), et la version sans overshooting du schéma HHT proposée
dans [bib2] (SCHEMA='NOHHT').
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution numérique du problème est calculée via les schémas HHT et NOHHT de DYNA_NON_LINE,
en considérant un pas de temps \(\Delta t = 5\cdot 10^{-3} \ \text{s}\). On considère également un
coefficient \(\alpha=-0.3\) en ce qui concerne ces schémas. Les deux formulations disponibles pour ces schémas,
à savoir les formulations en déplacement et en accélération, sont testées.
Solution de référence#
La problème présente une solution analytique. En effet, le déplacement de la masse ponctuelle soumise à des conditions initiales en déplacement et en vitesse \(u_0, v_0 \in \mathbb{R}\) peut s’écrire comme suit:
pour tout \(t \ge 0\), avec \(\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\xi^2}\).
Les solutions obtenues avec Code_Aster sont également comparées aux résultats obtenus avec une implantation Python des schémas HHT et NOHHT.
Grandeurs et résultats de référence#
Les comparaisons porteront sur le déplacement, la vitesse et l’accélération de la masse ponctuelle \(m\) à plusieurs instants.
Modélisation A#
On considère ici le cas sans amortissement, i.e., \(\xi = 0\).
Grandeurs testées et résultats#
Les grandeurs testées sont les déplacements, vitesses et accélérations de la masse ponctuelle \(m\).
Modélisation B#
On considère ici le cas avec un amortissement réduit \(\xi = 0.5\).
Grandeurs testées et résultats#
Les grandeurs testées sont les déplacements, vitesses et accélérations de la masse ponctuelle \(m\).
Synthèse des résultats#
Ce cas test permet de valider, en linéaire, le schéma HHT (complet) de l’opérateur DYNA_NON_LINE,
dans le cas de conditions initiales en déplacement et en vitesse non nulles, pour des résolutions en
déplacement et en accélération.