v4.03.102 TPLS102 – Poutre épaisse en contraintes planes – variation de température linéaire suivant la largeur#
Résumé :
L’objectif de ce test est de valider le calcul des contraintes dans une poutre épaisse en contraintes planes soumise a une variation de la température suivant la largeur.
Modélisations :
Modélisation \(A\) : DKT avec des mailles TRIA3
Modélisation \(B\) : DKT avec des mailles QUAD4
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution de référence pour le calcul des contraintes dans la poutre est donnée dans [bib1], [bib2].
Grandeurs et résultats de référence#
Contraintes \({\sigma}_{xx}\) , \({\sigma}_{yy}\) et \({\sigma}_{xy}\) suivant l’axe \(Y\) .
\({\sigma}_{xx}(Y)=-\mathrm{10Y}+10\)
\({\sigma}_{yy}(Y)=0.\)
\({\sigma}_{xy}(Y)=0.\)
\(Y(m)\) |
\({\sigma}_{xx}\) |
\({\sigma}_{yy}\) |
\({\sigma}_{xy}\) |
\(0.0\) |
\(10.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(0.5\) |
\(5.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(1.0\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(1.5\) |
\(-5.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(2.0\) |
\(-10.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
\(0.0\mathit{Pa}\) |
Incertitudes sur la solution#
Solution Analytique
Références bibliographiques#
M.H. SADR-LAHIDJANI : »Modélisation et analyse des plaques et coques minces élastiques soumises a des champs de température », Thèse de Doctorat UTC, 1984.
PITER, HARTEL H. « Improved stress evaluation under thermal load for simple finite element », I.J.N.M.E, Vol. 15, 1507-1515 ,1980.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT avec 3 couches dans l’épaisseur.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 2048 éléments de type TRIA3.
Grandeurs testées et résultats#
On teste les contraintes sur la peau inférieure, moyenne et supérieure dans deux couches.
Couche n°1 : \(-\mathrm{0.05m}<Z<-0.0167m\)
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
||
\(\mathit{INF}\) |
\(X=\mathrm{0.0m}\) \(Y=\mathrm{0.0m}\) \(Z=-\mathrm{0.05m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(10.\) |
\(2.0\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.6\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.05\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(X=\mathrm{0.0m}\) \(Y=\mathrm{1.0m}\) \(Z=-\mathrm{0.0333m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.05\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.2\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.0035\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(X=\mathrm{0.0m}\) \(Y=\mathrm{2.0m}\) \(Z=-\mathrm{0.0167m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(-10.\) |
\(1.5\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.5\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
Couche n°3 : \(\mathrm{0.0167m}<Z<\mathrm{0.05m}\)
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
||
\(\mathit{INF}\) |
\(X=\mathrm{4.0m}\) \(Y=\mathrm{0.0m}\) \(Z=\mathrm{0.0167m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(10.\) |
\(1.5\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.5\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-4}\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(X=\mathrm{4.0m}\) \(Y=\mathrm{1.0m}\) \(Z=\mathrm{0.0333m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-4}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-4}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-3}\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(X=\mathrm{4.0m}\) \(Y=\mathrm{2.0m}\) \(Z=\mathrm{0.05m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(-10.\) |
\(1.5\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.5\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-4}\) |
||
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT avec 5 couches dans l’épaisseur
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1024 éléments de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
On teste les contraintes sur la peau inférieure, moyenne et supérieure dans deux couches.
Couche n°2 : \(-\mathrm{0.03m}<Z<-\mathrm{0.01m}\)
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
||
\(\mathit{INF}\) |
\(X=\mathrm{0.0m}\) \(Y=\mathrm{0.0m}\) \(Z=-\mathrm{0.03m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(10.\) |
\(1.5\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.5\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(X=\mathrm{0.0m}\) \(Y=\mathrm{1.0m}\) \(Z=-\mathrm{0.04m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(X=\mathrm{0.0m}\) \(Y=\mathrm{2.0m}\) \(Z=-\mathrm{0.01m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(-10.\) |
\(1.5\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.5\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
Couche n°5 : \(\mathrm{0.03m}<Z<\mathrm{0.05m}\)
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
||
\(\mathit{INF}\) |
\(X=\mathrm{4.0m}\) \(Y=\mathrm{0.0m}\) \(Z=\mathrm{0.03m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(10.\) |
\(1.5\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.5\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(X=\mathrm{4.0m}\) \(Y=\mathrm{1.0m}\) \(Z=\mathrm{0.04m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(X=\mathrm{4.0m}\) \(Y=\mathrm{2.0m}\) \(Z=\mathrm{0.05m}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(-10.\) |
\(1.5\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\(0.5\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“ANALYTIQUE” |
\(0.\) |
\({10}^{-6}\) |
||
Synthèse des résultats#
On constate pour la contrainte \({\sigma}_{xx}\) un écart maximum de :
2.0% avec des mailles TRIA3
1.5% avec des mailles QUAD4.
Un maillage plus fin dans le sens de la variation de la température permettrait d’obtenir de meilleurs résultats.