v6.04.142 SSNV142 - Essai de fluage propre : modèle Granger#
Résumé:
Ce cas test de mécanique quasi-statique non linéaire simule un essai de fluage uniaxial. Il a pour objectif de valider la relation de comportement de «Granger» BETON_GRANGER, permettant de modéliser le fluage propre des bétons. Ce modèle viscoélastique linéaire (groupement de modèles rhéologiques de Kelvin en série) permet de prendre en compte les effets de la contrainte, de la température et de l’hygrométrie.
Dans ce test, la contrainte appliquée, la température et l’état hygrométrique sont constants.
Dans les modélisations:
A: le cylindre est modélisé en axi-symétrique par quatre éléments quadrangles à 8 nœuds.
D: traite le même problème sur un cube \(\mathrm{3D}\) .
Les résultats obtenus par Code_Aster sont comparés avec la solution analytique de référence.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Étant donnée la nature des sollicitations, la solution (contraintes \(\sigma\) , déformations \(\varepsilon\) ) est homogène.
Soit le chargement: \((\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\sigma}_{d}(t)& 0\\ 0& 0& 0\end{array})\)
Le modèle de fluage propre de Granger est tel que la déformation viscoélastique correspondant au cas d’un chargement constant \({\sigma}_{0}\) appliqué à l’instant \({t}_{0}\) vaut: (cf. [R7.01.01])
\({\varepsilon}^{\mathrm{fl}}(t)={\sigma}_{0}\sum_{k=1}^{8}{J}_{k}.(1-\exp\left[-\frac{t-{t}_{0}}{{\tau}_{s}}\right])\)
Le modèle dépend également de la température et de l’hygrométrie de la manière suivante:
\({\varepsilon}^{\mathrm{fl}}(t)={\sigma}_{0}h\cdot \frac{T-248}{45}\cdot \sum_{k=1}^{8}{J}_{k}.(1-\exp\left[-\frac{t-{t}_{0}}{{\tau}_{s}}\right])\)
mais dans ce test les champs de température et d’hygrométrie sont choisis constants et tels que \(h\) et \(\frac{T-248}{45}\) valent respectivement 1.
Lorsque la contrainte évolue avec le temps alors:
\({\varepsilon}^{\text{fl}}(t)=\sum_{k=1}^{8}\underset{\tau =0}{\overset{t}{\int}}{J}_{k}.(1-\exp\left[-\frac{t-\tau }{{\tau}_{s}}\right]).\frac{\partial \sigma }{\partial \tau }.d\tau\)
on a donc pour le cas présent:
\({\varepsilon}_{yy}^{\text{fl}}=\sum_{k=1}^{2}\underset{\tau =0}{\overset{t={t}_{1}}{\int}}{J}_{k}.(1-\exp\left[-\frac{t-\tau }{{\tau}_{s}}\right]).\frac{{\sigma}_{1}}{{t}_{1}}.d\tau\)
le chargement restant constant au-delà de t1. Soit:
\({\varepsilon}_{yy}^{\text{fl}}={\sigma}_{1}\sum_{k=1}^{k=2}{J}_{k}.(1-\exp(-\frac{t-{t}_{1}}{{\tau}_{s}}))\underset{\text{}\approx 1}{\underset{\underbrace{}}{\frac{{\tau}_{k}}{{t}_{1}}(1-\exp(\frac{-{t}_{1}}{{\tau}_{s}}))}}\)
Une déformation longitudinale de fluage s’accompagne d’une déformation transversale telle que:
\({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}=-\nu {\varepsilon}_{yy}^{\mathrm{fl}}\)
La déformation totale uniaxiale vaut: \({\varepsilon}_{yy}={\varepsilon}_{yy}^{\mathrm{fl}}+\frac{{\sigma}_{yy}}{E}\)
Résultats de référence#
On s’intéressera aux valeurs des déformations de fluage à 45 jours, 245 jours et 365 jours.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation AXIS
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
Sur la face \(\mathrm{D1}\) , déplacement en \(Y\) nul
Sur la face \(\mathrm{D3}\) , traction imposée
On impose de plus une température uniforme et constante de \(20°C\) et un champ de séchage uniforme et constant de 1 sur la structure. La courbe de sorption‑désorption (donnée utilisateur) permet de passer de la variable séchage à l’hygrométrie.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
21 |
Nombre de mailles et types |
4 QUAD4 |
Tableau 3.2-1
Grandeurs testées et résultats#
On teste les valeurs de \({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) et \({\varepsilon}_{yy}^{\mathrm{fl}}\) au nœud \(\mathrm{N5}\) , pour les instants 45, 245 et 365 jours.
Variables |
numéro d’ordre |
Référence |
\({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) |
10 |
2.82E-004 |
\({\varepsilon}_{yy}^{\mathrm{fl}}\) |
10 |
-1.41E-003 |
\({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) |
50 |
3.85E-004 |
\({\varepsilon}_{yy}^{\mathrm{fl}}\) |
50 |
–1.925872 E-3 |
\({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) |
74 |
\(3.86922{10}^{\text{-04}}\) |
\({\varepsilon}_{yy}^{\mathrm{fl}}\) |
74 |
\(-1.9346{10}^{\text{-03}}\) |
Tableau 3.3-1
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D
Hauteur: \(h=1.00m\) Largeur: \(l=1.00m\) Epaisseur: \(e=1.00m\)
On définit les mailles suivantes:
\(\text{S\_ARR}\) \(\mathrm{NO3}\mathrm{NO7}\mathrm{NO8}\mathrm{NO4}\)
\(\text{S\_AVT}\) \(\mathrm{NO1}\mathrm{NO2}\mathrm{NO6}\mathrm{NO5}\)
\(\text{S\_DRT}\) \(\mathrm{NO1}\mathrm{NO5}\mathrm{NO8}\mathrm{NO4}\)
\(\text{S\_GCH}\) \(\mathrm{NO3}\mathrm{NO2}\mathrm{NO6}\mathrm{NO7}\)
\(\text{S\_INF}\) \(\mathrm{NO1}\mathrm{NO2}\mathrm{NO3}\mathrm{NO4}\)
\(\text{S\_SUP}\) \(\mathrm{NO5}\mathrm{NO6}\mathrm{NO7}\mathrm{NO8}\)
Les conditions aux limites en déplacement imposées sont:
Sur la face \(\text{S\_INF}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)
Sur la face \(\text{S\_ARR}\) : \(\mathrm{DY}=0\)
Sur la face \(\text{S\_GCH}\) : \(\mathrm{DX}=0\)
Le chargement est constitué du même champ de séchage et de la même FORCE_FACE appliquée au \(\text{S\_SUP}\) . On impose uniformément sur la structure une température constante de \(T=20°C\) et une hygrométrie constante \(h=1\) .
On charge en compression de \(0\) à \(20\mathrm{MPa}\) en \(10s\) . et on maintient le chargement pendant 1 an.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
21 |
Nombre de mailles et types |
1 HEXA86 QUAD4 |
Tableau 4.2-1
Grandeurs testées et résultats#
On teste les valeurs de \({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) et \({\varepsilon}_{zz}^{\mathrm{fl}}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) , pour les instants 45, 245 et 365 jours.
Variables |
Jour |
Numéro d’ordre |
Référence |
\({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) |
45 |
10 |
2.82160e-4 |
\({\varepsilon}_{zz}^{\mathrm{fl}}\) |
45 |
10 |
-1.41079e-03 |
\({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) |
245 |
50 |
3.8520e-04 |
\({\varepsilon}_{zz}^{\mathrm{fl}}\) |
245 |
50 |
-1.92587e-03 |
\({\varepsilon}_{xx}^{\mathrm{fl}}\) |
365 |
74 |
3.8692e-04 |
\({\varepsilon}_{zz}^{\mathrm{fl}}\) |
365 |
74 |
-1.934608e-03 |
Tableau 4.3-1
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus avec Code_Aster sont proches de ceux de la solution de référence (écarts \(\text{< 0.05\%}\) )