v5.01.103 SDND103 - Poteau soumis à une sollicitation dynamique axiale#
Résumé
Il s’agit de calculer la réponse d’un poteau soumis à un chargement sismique quelconque. Le poteau est modélisé par un système masse-ressort non amorti, sa liaison avec le sol par une non-linéarité de type effort‑déplacement.
On teste l’élément discret en traction-compression, le calcul des modes propres et le calcul de la réponse transitoire par recombinaison modale avec prise en compte d’une non-linéarité de type effort-déplacement. La vitesse initiale est prise non nulle et le chargement est de type accélération imposée au sol.
Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les résultats de référence qui sont des résultats analytiques.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Ce test est développé en détail dans la référence [bib1].
L’équation fondamentale de la dynamique, en mouvement relatif du système masse-ressort par rapport au sol s’écrit: \(\ddot{x}+\frac{k(x)}{m}x=\gamma (t)\) .
Pour un déplacement de la forme \(x=\mathrm{a.sin}(\omega t)\) et \(\ddot{x}=-a{\omega}^{2}\sin(\omega t)\) , on obtient à partir de l’équation du mouvement la forme de l’accélérogramme:
\(\gamma (t)=a\sin(\omega t)\left[-{\omega}^{2}+\frac{{k}_{0}}{m}(1-\frac{\mid a\sin(\omega t)\mid }{{x}_{0}})\right]\)
La fréquence fondamentale \({f}_{0}\) de l’oscillateur non amorti vaut \({f}_{0}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{k}_{0}}{m}}\) .
Résultats de référence#
Fréquence fondamentale \({f}_{0}\) de l’oscillateur non amorti.
Déplacements relatifs aux instants 2, 6, 10, 14 et 18 secondes.
Incertitude sur la solution#
Aucune si l’on calcule l’intégrale de Duhamel analytiquement [bib2].
Références bibliographiques#
LALUQUE, P. LABBE, S. PETETIN et A. TIXIER : Réponse sismique d’un bâtiment réacteur PWR1300 en tenant compte du décollement entre la fondation et le sol. Note SEPTEN TA83.06 (mai 1984).
J.S. PRZEMIENIECKI : Theorie of matrix structural analysis. New York, MacGraw-Hill, 1968, p. 351-357.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le système masse-ressort est modélisé par un élément discret DIS_T.
Données numériques:
pour le système masse-ressort : |
\(m=\mathrm{450 }\mathrm{kg}\) |
pour le sol: |
\({k}_{\mathrm{0 }}={10}^{\mathrm{5 }}N/m\) |
pour la non-linéarité: |
\({x}_{\mathrm{0 }}=\mathrm{0,1 }m\) ; \(a=0,01\) et \(\omega =\pi /4\) . |
L’intégration temporelle est réalisée avec l’algorithme d’Euler ou l’algorithme de Devogelaere et un pas de temps de 0,02 seconde. Les calculs sont archivés tous les pas de temps.
On considère un amortissement réduit \({\xi}_{i}\) nul pour l’ensemble des modes calculés.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué d’un nœud et d’une maille de type POI1.
Grandeurs testées et résultats#
On vérifie la fréquence propre de l’oscillateur ainsi que les déplacements relatifs du nœud \(\mathrm{NO1}\) à différents instants (pour l’algorithme d’intégration EULER).
Fréquence (Hz) |
Référence |
2,37254 |
Déplacement relatif du nœud \(\mathrm{NO1}\) avec l’algorithme d’intégration numérique d’Euler:
Temps (s) |
Référence |
2 |
0,01 |
6 |
–0,01 |
10 |
0,01 |
14 |
–0,01 |
18 |
0,01 |
Déplacement relatif du nœud \(\mathrm{NO1}\) avec l’algorithme d’intégration numérique de Devogelaere:
Temps (s) |
Référence |
2 |
0,01 |
6 |
–0,01 |
10 |
0,01 |
14 |
–0,01 |
18 |
0,01 |
Synthèse des résultats#
On constate un très bon accord avec la solution analytique (erreur inférieure à \(\text{0,01\%}\) ).