v6.04.127 SSNV127 - Cylindre dans un alésage avec contact et frottement#
Résumé:
Ce problème correspond à une analyse quasi-statique d’un problème de mécanique avec contact et frottement. Un cylindre est comprimé dans un alésage cylindrique de diamètre légèrement supérieur par une force concentrée appliquée sur son axe.
Ce test, nommé « problème de Klang », est assez largement utilisé dans la littérature pour valider des modélisations de contact avec frottement et a notamment été utilisé par P. Alart et A. Curnier [bib1] pour valider leurs éléments finis de contact et de frottement.
Trois modélisations 2D sont proposées (D et H avec des éléments linéaires et F avec des éléments quadratiques):
La modélisation D teste l’algorithme de la méthode «PENALISATION» avec appariement maître-esclave, la pénalisation porte sur le contact et le frottement.
Les modélisations F et H testent l’algorithme de la méthode «CONTINUE» avec des éléments quadratiques (SEG3) et linéaires (SEG2) de contact, respectivement.
Les résultats sont comparés à une solution analytique donnée par Klang [bib2].
Au lieu de reproduire cette solution analytique relativement compliquée nous utiliserons les valeurs des pressions obtenues à partir de celle-ci [bib1].
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est analytique [bib2].
Résultats de référence#
Prédiction sur la zone de contact : 60 degrés.
Prédiction sur le début de la zone de glissement : 26,2 degrés.
Efforts de pression sur les points de la surface de contact:
Identification |
Référence |
|
SIXXpour un angle de |
0° |
–1.7813E+07 |
SIXX |
3° |
–1.7813E+07 |
SIXX |
6° |
–1.7750E+07 |
SIXX |
9° |
–1.7688E+07 |
SIXX |
12° |
–1.7594E+07 |
SIXX |
15° |
–1.7470E+07 |
SIXX |
18° |
–1.7312E+07 |
SIXX |
21° |
–1.7125E+07 |
SIXX |
24° |
–1.6906E+07 |
SIXX |
27° |
–1.6656E+07 |
SIXX |
30° |
–1.6343E+07 |
SIXX |
33° |
–1.5937E+07 |
SIXX |
36° |
–1.5406E+07 |
SIXX |
39° |
–1.4781E+07 |
SIXX |
42° |
–1.4031E+07 |
SIXX |
45° |
–1.3094E+07 |
SIXX |
48° |
–1.1169E+07 |
SIXX |
51° |
–1.0593E+07 |
Références bibliographiques#
Alart, A. Curnier « A mixed formulation for frictional contact problems » Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (1991)p. 353-375
Klang « On interior contact under friction between cylindrical elastic bodies in contact » Thesis, Linköping University, Linköping, 1979.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation est identique à la modélisation A (et notamment le maillage). Seule diffère la méthode de résolution qui est ici «PENALISATION» avec pénalisation sur le contact et le frottement.
|
|
Valeurs testées : SIGM_ELNO#
On teste les efforts de pression normale engendrés par le contact-frottement. Ces efforts définis en coordonnées polairessont exprimés en \(\mathit{Pa}\) .
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
|
SIXXpour un angle de |
0° |
–1.7813E+07 |
–1.867141E+07 |
4.819 |
SIXX |
3° |
–1.7813E+07 |
–1.972695E+07 |
10.745 |
SIXX |
6° |
–1.7750E+07 |
–1.999288E+07 |
12.636 |
SIXX |
9° |
–1.7688E+07 |
–1.988495E+07 |
12.421 |
SIXX |
12° |
–1.7594E+07 |
–1.971935E+07 |
12.080 |
SIXX |
15° |
–1.7470E+07 |
–1.954087E+07 |
11.854 |
SIXX |
18° |
–1.7312E+07 |
–1.916115E+07 |
10.681 |
SIXX |
21° |
–1.7125E+07 |
–1.880513E+07 |
9.811 |
SIXX |
24° |
–1.6906E+07 |
–1.824592E+07 |
7.926 |
SIXX |
27° |
–1.6656E+07 |
–1.782171E+07 |
6.999 |
SIXX |
30° |
–1.6343E+07 |
–1.713057E+07 |
4.819 |
SIXX |
33° |
–1.5937E+07 |
–1.640937E+07 |
2.964 |
SIXX |
36° |
–1.5406E+07 |
–1.558344E+07 |
1.152 |
SIXX |
39° |
–1.4781E+07 |
–1.467761E+07 |
–0.699 |
SIXX |
42° |
–1.4031E+07 |
–1.366763E+07 |
–2.590 |
SIXX |
45° |
–1.3094E+07 |
–1.276022E+07 |
–2.549 |
SIXX |
48° |
–1.1169E+07 |
–1.241550E+07 |
11.160 |
SIXX |
51° |
–1.0593E+07 |
–1.086923E+07 |
2.608 |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
La symétrie du problème permet de n’en modéliser que la moitié (\(X\ge 0\) ).
60 éléments finis SEG3 sont disposés régulièrement sur la surface de contact initiale (3 degrés d’angle pour chacun).
Le cylindre et le volume circulaire entourant l’alésage sont maillés avec des éléments QUA8 et TRIA6.
|
|
Condition aux limites:
|
\(\mathrm{CC4}\) : |
\(\mathrm{DX}=0\) , \(\mathrm{DY}=0\) . |
|
\(\mathrm{AD1}\) , \(\mathrm{AD2}\) , \(\mathrm{AD3}\) , \(\mathrm{AD4}\) , \(\mathrm{BD3}\) , et \(\mathrm{BD4}\) : |
\(\mathrm{DX}=0\) . |
Chargements:
La symétrie du problème par rapport au plan \(x=\mathrm{0 }\) permet de modéliser la force concentrée par une force nodale \(\mathrm{Fy}=–937.5{10}^{3}N\) , équivalente à \(Q/2\) pour un cylindre de longueur unité, appliquée sur le groupe de nœuds \({O}_{2}\) , centre du cylindre.
Cette force est appliquée en 1 incrément.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
1603 |
Nombre de mailles et types : |
88 SEG3 58 TRIA6 456 QUAD8 |
Valeurs testées : SIGM_ELNO#
On teste les efforts de pression normale engendrés par le contact-frottement. Ces efforts définis en coordonnées polairessont exprimés en \(\mathit{Pa}\) .
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
|
SIXXpour un angle de |
0° |
–1.7813E+07 |
–1.88235E+07 |
5.673 |
SIXX |
3° |
–1.7813E+07 |
–1.87386E+07 |
5.196 |
SIXX |
6° |
–1.7750E+07 |
–1.85220E+07 |
4.349 |
SIXX |
9° |
–1.7688E+07 |
–1.84104E+07 |
4.084 |
SIXX |
12° |
–1.7594E+07 |
–1.81071E+07 |
2.917 |
SIXX |
15° |
–1.7470E+07 |
–1.78019E+07 |
1.900 |
SIXX |
18° |
–1.7312E+07 |
–1.73913E+07 |
0.458 |
SIXX |
21° |
–1.7125E+07 |
–1.68233E+07 |
1.762 |
SIXX |
24° |
–1.6906E+07 |
–1.65322E+07 |
–2.211 |
SIXX |
27° |
–1.6656E+07 |
–1.63678E+07 |
–1.730 |
SIXX |
30° |
–1.6343E+07 |
–1.60549E+07 |
–1.763 |
SIXX |
33° |
–1.5937E+07 |
–1.56070E+07 |
–2.071 |
SIXX |
36° |
–1.5406E+07 |
–1.48829E+07 |
–3.395 |
SIXX |
39° |
–1.4781E+07 |
–1.41776E+07 |
–4.082 |
SIXX |
42° |
–1.4031E+07 |
–1.29292E+07 |
–7.852 |
SIXX |
45° |
–1.3094E+07 |
–1.19737E+07 |
–8.555 |
SIXX |
48° |
–1.1169E+07 |
–1.06929E+07 |
–4.263 |
SIXX |
51° |
–1.0593E+07 |
–0.96396E+07 |
–8.999 |
Modélisation H#
Caractéristiques de la modélisation#
La symétrie du problème permet de n’en modéliser que la moitié (\(X\ge 0\) ).
60 éléments finis SEG2 sont disposés régulièrement sur la surface de contact initiale (3 degrés d’angle pour chacun).
Le cylindre et le volume circulaire entourant l’alésage sont maillés avec des éléments QUA4 et TRIA3.
|
|
Condition aux limites:
|
\(\mathrm{CC4}\) : |
\(\mathrm{DX}=0\) , \(\mathrm{DY}=0\) . |
|
\(\mathrm{AD1}\) , \(\mathrm{AD2}\) , \(\mathrm{AD3}\) , \(\mathrm{AD4}\) , \(\mathrm{BD3}\) , et \(\mathrm{BD4}\) : |
\(\mathrm{DX}=0\) . |
Chargements:
La symétrie du problème par rapport au plan \(x=\mathrm{0 }\) permet de modéliser la force concentrée par une force nodale \(\mathrm{Fy}=–937.5{10}^{3}N\) , équivalente à \(Q/2\) pour un cylindre de longueur unité, appliquée sur le groupe de nœuds \({O}_{2}\) , centre du cylindre.
Cette force est appliquée en 1 incrément.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: |
1282 |
Nombre de mailles et types : |
128 SEG2 162 TRIA3 1106 QUAD4 |
Valeurs testées : SIGM_ELNO#
On teste les efforts de pression normale engendrés par le contact-frottement. Ces efforts définis en coordonnées polairessont exprimés en \(\mathit{Pa}\) .
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
|
SIXXpour un angle de |
0° |
–1.7813E+07 |
–1.79054E+07 |
0.519 |
SIXX |
3° |
–1.7813E+07 |
–1.88551E+07 |
5.850 |
SIXX |
6° |
–1.7750E+07 |
–1.89952E+07 |
7.015 |
SIXX |
9° |
–1.7688E+07 |
–1.88212E+07 |
6.407 |
SIXX |
12° |
–1.7594E+07 |
–1.85900E+07 |
5.661 |
SIXX |
15° |
–1.7470E+07 |
–1.83361E+07 |
4.958 |
SIXX |
18° |
–1.7312E+07 |
–1.78879E+07 |
3.327 |
SIXX |
21° |
–1.7125E+07 |
–1.74676E+07 |
2.001 |
SIXX |
24° |
–1.6906E+07 |
–1.67457E+07 |
–0.948 |
SIXX |
27° |
–1.6656E+07 |
–1.60969E+07 |
–3.357 |
SIXX |
30° |
–1.6343E+07 |
–1.56549E+07 |
–4.211 |
SIXX |
33° |
–1.5937E+07 |
–1.57323E+07 |
–1.284 |
SIXX |
36° |
–1.5406E+07 |
–1.55859E+07 |
1.168 |
SIXX |
39° |
–1.4781E+07 |
–1.51202E+07 |
2.295 |
SIXX |
42° |
–1.4031E+07 |
–1.42668E+07 |
1.680 |
SIXX |
45° |
–1.3094E+07 |
–1.33861E+07 |
2.230 |
SIXX |
48° |
–1.1169E+07 |
–1.24518E+07 |
11.485 |
SIXX |
51° |
–1.0593E+07 |
–1.11524E+07 |
5.280 |
Synthèse des résultats#
Les résultats sont de bonne qualité si l’on considère qu’ils sont comparés à une solution analytique et que les maillages utilisés ne sont pas particulièrement fins.
La meilleure solution est donnée par la modélisation F (algorithme continu) qui utilise des éléments quadratiques avec projection quadratique (sans utiliser cette projection, les résultats sont faux). Vient ensuite la modélisation H qui, comme la précédente, utilise l’algorithme continu mais avec des éléments linéaires et avec appariement maître-esclave. Enfin la modélisation D qui utilise l’algorithme de pénalisation donne des résultats acceptables. Notons que la convergence avec cet algorithme est beaucoup plus lente et difficile.
Si l’on examine l’étendue de la surface de contact à l’aide de l’impression de la structure de données CONT_NOEU (voir fichier de résultats), on constate qu’elle est donnée très précisément (60°). En ce qui concerne la surface adhérente, les algorithmes renvoient une valeur acceptable de l’ordre de 30° au lieu de 26.2° analytiquement.