r7.01.18 Loi de comportement de HOEK_BROWN modifiée

Résumé

Ce document décrit une loi de comportement pour les roches. Le critère de plastification est un critère parabolique de type Hoek-Brown. Il est écrit en contraintes principales. L’évolution des déformations plastiques est de type «non associé», formulée à partir d’un critère de Drucker-Pragerdont l’angle de frottement évolue avec la plastification.

Cette loi est utilisable en mécanique pure comme en modélisation couplée thermo hydro mécanique.

En modélisation thermo-hydro-mécanique, elle peut être utilisée en contraintes effectives ou en contraintes totales :

• Dans le premier cas, ce sont les contraintes effectives qui sont assujetties à respecter le critère de Hoek et Brown. Les déformation plastiques se calculent en utilisant la surface de Drucker et l’angle de frottement dans l’espace des contraintes effectives

• Dans le second cas, ce sont les contraintes totales qui sont assujetties à respecter le critère de Hoek et Brown. Les déformation plastiques se calculent en utilisant la surface de Drucker et l’angle de frottement dans l’espace des contraintes totales

Notations

Généralités

Les déformations sont contées positives en extension et les contraintes sont positives pour des états de traction.

Notation	Description
\({I}_{1}=\text{tr}(\sigma )\)	Premier invariant des contraintes
\(s=\sigma -\frac{\text{tr}(\sigma )}{3}I\)	Déviateur des contraintes
\({s}_{\text{II}}=\sqrt{s.s}\)	Deuxième invariant du tenseur des contraintes déviatoires
\(e=\varepsilon -\frac{\text{tr}(\varepsilon )}{3}I\)	Déviateur des déformations
\({\varepsilon}_{\nu}=\text{tr}(\varepsilon )\)	Trace des déformations: déformation volumique
\({\varepsilon}^{p}\)	Tenseur des déformations plastiques
\({\varepsilon}_{{}_{\nu}}^{p}=\text{tr}({\varepsilon}^{p})\)	Variation de volume plastique
\(\delta {\gamma}^{p}=\sqrt{\frac{2}{3}d{e}^{p}:d{e}^{p}}\)	Déformation plastique cumulée de cisaillement
\({\sigma}_{1}\)	Contrainte principale majeure
\({\sigma}_{3}\)	Contrainte principale mineure (\({\sigma}_{1}<{\sigma}_{2}<{\sigma}_{3}\) )
\(H\)	Matrice de Hooke
\(\mu\)	Coefficient de Lamé

Paramètres du modèle

Notation	Description
:math:`gamma `	Paramètre d’écrouissage (défini au paragraphe 3.2.3 )
\(S\)	Représente l’état d’endommagement et de fracturation de la roche
\(m\)	Paramètre de lissage du modèle
\({\sigma}_{c}\)	Résistance de la roche saine sans aucun endommagement
\({\gamma}^{\text{rup}}\)	Paramètre d’écrouissage correspondant à la rupture du matériau
\({\gamma}^{\text{res}}\)	Paramètre d’écrouissage correspondant au début de la résistance résiduelle
\(({\mathrm{S\sigma }}_{c}^{2}{)}^{\text{rup}}\)	Valeur du produit \(S{\sigma}_{c}^{2}\) à la rupture atteinte en \({\gamma}^{\text{rup}}\)
\(({\mathrm{S\sigma }}_{c}^{2}{)}^{\text{end}}\)	Valeur du produit \(S{\sigma}_{c}^{2}\) à l’initiation d’endommagement \((\gamma =0)\)
\(({\mathrm{m\sigma }}_{c}{)}^{\text{rup}}\)	Valeur du produit \(m{\sigma}_{c}\) à la rupture atteinte en \({\gamma}^{\text{rup}}\)
\(({\mathrm{m\sigma }}_{c}{)}^{\text{end}}\)	Valeur du produit \(m{\sigma}_{c}\) à l’initiation d’endommagement \((\gamma =0)\)
\(E\)	Module d’Young
\(\mathrm{\nu }\)	Coefficient de Poisson
\(\mathrm{\beta }\)	Caractérise la résistance résiduelle
\({\phi }^{\text{end}}\)	Angle de frottement à l’initiation d’endommagement \((\gamma =0)\) : paramètre optionnel pris nul par défaut
\({\phi }^{\text{rup}}\)	Angle de frottement à la rupture atteinte en \({\gamma}^{\text{rup}}\)
\({\phi }^{\text{res}}\)	Angle de frottement à la résistance résiduelle atteinte en \({\gamma}^{\text{res}}\)
:math:`alpha `	Paramètre du modèle caractérisant le comportement post-rupture du matériau

Modèle continu

Nous décrivons ici le modèle indépendamment du fait qu’il soit utilisé en mécanique seule, ou dans des calculs hydro-mécanique en contrainte totale ou effective. Ainsi la notation :math:`sigma ` utilisée dans les paragraphes suivants devra être interprétée en fonction d’utilisation.

Comportement élastique

Le comportement élastique est donné par une loi linéaire. Les deux paramètres caractérisant ce comportement sont le module d‘élasticité \(E\) et le coefficient de Poisson \(\mathrm{\nu }\) .

Comportement plastique

La formulation adoptée est issue du document [1].

Surface de charge

\(F(\sigma ,\gamma )=({\sigma}_{3}-{\sigma}_{1})-\sqrt{-{\sigma}_{3}.m{\sigma}_{c}+S(\gamma ){\sigma}_{c}^{2}}-b(\gamma ).(1-\frac{{\sigma}_{3}}{{\sigma}_{3}^{b-d}})\)

où:

• \(\gamma ` est le paramètre d’écrouissage (défini au paragraphe :ref:`3.2.3 <Ref100116782>\) )

• \(S\) caractérise l’état d’endommagement et fracturation de la roche

• \(m\) est un paramètre de lissage du modèle

• \({\sigma}_{c}\) est la résistance de la roche saine sans aucun endommagement \({\sigma}_{c}>0\)

• \(b\) est une fonction de la variable d’écrouissage à évolution parabolique qui caractérise le comportement post-rupture

• \({\sigma}_{3}^{b-d}\) est l’intersection entre la droite \({\sigma}_{1}=\alpha {\sigma}_{3}\) (\(\alpha ` étant un paramètre du modèle) et le critère au moment de la rupture (:math:\)gamma ={gamma}^{text{rup}}` ). \({\sigma}_{3}^{b-d}>0\)

• \({\sigma}_{1}\) et \({\sigma}_{3}\) sont les contraintes principales majeure et mineure: \({\sigma}_{1}<{\sigma}_{2}<{\sigma}_{3}\)

Potentiel d’écoulement plastique

Le potentiel d’écoulement plastique est donné par une fonction issue du critère de Drucker-Prager:

\(G(\sigma ,\gamma )=\eta (\gamma ){I}_{1}+\sqrt{\frac{3}{2}}{s}_{\text{II}}=\eta (\gamma ){I}_{1}+{\sigma}_{\text{eq}}\) avec \(\eta (\gamma )=\frac{2\sin\phi (\gamma )}{3+\sin\phi (\gamma )}\) , \({\sigma}_{\text{eq}}=\sqrt{\frac{3}{2}}{s}_{\text{II}}\) et \(\phi (\gamma )\) l’angle de frottement équivalent.

Paramètre d’écrouissage :math:`gamma `

Le paramètre d’écrouissage :math:`gamma ` que l’on considère prend les valeurs suivantes:

\(\gamma =0\) à l’initiation d’endommagement

\(\gamma ={\gamma}^{\text{rup}}\) à la rupture

\(\gamma ={\gamma}^{\text{res}}\) au début de la résistance résiduelle

Il est défini en se plaçant en compression triaxiale par: \(\gamma ={\varepsilon}_{1}^{p}\) , et on peut montrer alors que \({\gamma}^{p}=\mid \frac{{\varepsilon}_{\nu}^{p}}{3}-\gamma \mid\) . On a donc \(\gamma =\frac{{\varepsilon}_{\nu}^{p}}{3}\pm {\gamma}^{p}\) qui doit être positif.

Autres paramètres

Les paramètres \(S{\sigma}_{c}^{2},m{\sigma}_{c},\phi ,b\) varient de la façon suivante en fonction du paramètre d’écrouissage \(\gamma\) :

1. \((m{\sigma}_{c})(\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}\gamma \frac{(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{rup}}-(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{end}}}{{\gamma}^{\text{rup}}}+(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{end}}={p}_{m\sigma }\gamma +(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{end}}& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma \le {\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\\ (m{\sigma}_{c}{)}^{\text{rup}}& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma \ge {\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\end{array}\)

2. \((S{\sigma}_{c}^{2})(\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}\gamma \frac{(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{rup}}-(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{end}}}{{\gamma}^{\text{rup}}}+(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{end}}={p}_{S{\sigma}^{2}}\gamma +(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{end}}& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma \le {\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\\ (S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{rup}}& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma \ge {\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\end{array}\)

3. \(\phi (\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{\phi }^{\text{rup}}-{\varphi}^{\text{end}}}{{\gamma}^{\text{rup}}}\gamma +{\phi }^{\text{end}}& \text{si}\gamma \le {\gamma}^{\text{rup}}\\ \frac{{\phi }^{\text{res}}-{\phi }^{\text{rup}}}{{\gamma}^{\text{res}}-{\gamma}^{\text{rup}}}\gamma +\frac{{\phi }^{\text{rup}}{\gamma}^{\text{res}}-{\phi }^{\text{res}}{\gamma}^{\text{rup}}}{{\gamma}^{\text{res}}-{\gamma}^{\text{rup}}}& \text{si}{\gamma}^{\text{rup}}\le \gamma \le {\gamma}^{\text{res}}\\ {\phi }^{\text{res}}& \text{sinon}\end{array}\)

1. \(b(\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}0& \text{si}\gamma \le {\gamma}^{\text{rup}}\\ a{\gamma}^{2}+d\gamma +c& \text{si}{\gamma}^{\text{rup}}\le \gamma \le {\gamma}^{\text{res}}\\ {b}^{\text{res}}& \text{si}\gamma \ge {\gamma}^{\text{res}}\end{array}\) où \(a=-\frac{{b}^{\text{res}}}{({\gamma}^{\text{rup}}-{\gamma}^{\text{res}}{)}^{2}}\) , \(d=\frac{{\mathrm{2b}}^{\text{res}}{\gamma}^{\text{res}}}{({\gamma}^{\text{rup}}-{\gamma}^{\text{res}}{)}^{2}}\) , \(c=\frac{{b}^{\text{res}}{\gamma}^{\text{rup}}({\gamma}^{\text{rup}}-2{\gamma}^{\text{res}})}{({\gamma}^{\text{rup}}-{\gamma}^{\text{res}}{)}^{2}}\) et \({b}^{\text{res}}=\beta -\sqrt{(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{rup}}}\)

1. \({\sigma}_{3}^{b-d}=\frac{-(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{rup}}-\sqrt{((m{\sigma}_{c}{)}^{\text{rup}}{)}^{2}+4(1-\alpha {)}^{2}(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{rup}}}}{2(1-\alpha {)}^{2}}\)

1. les coefficients \(\alpha ,\beta ,(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{rup}},(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{end}},(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{rup}},(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{end}},{\phi }^{\text{end}},{\phi }^{\text{rup}},{\phi }^{\text{res}}\) sont donnés.

Forme incrémentale

On se place ici dans le cadre d’accroissements finis. L’indice – désigne une composante en début de pas de chargement et l’absence d’indice une composante en fin de pas de chargement. L’opérateur \(\Delta\) désigne l’accroissement d’une composante.

En mécanique pure ou quand la loi est utilisée en modélisation THM en contraintes effectives , les équations traduisant le comportement élastique s’écrivent:

\(\begin{array}{}s={s}^{-}+2\mu (\Delta e-\Delta {e}^{p})={s}^{e}-2\mu \Delta {e}^{p}\text{}\begin{array}{cc}\text{où}& {s}^{e}={s}^{-}+2\mu \Delta e\end{array}\\ {I}_{1}={I}_{{1}^{-}}+\mathrm{3K}(\Delta {\varepsilon}_{\nu}-\Delta {\varepsilon}_{\nu}^{p})={I}_{1}^{e}-\mathrm{3K}\Delta {\varepsilon}_{\nu}^{p}\text{}\begin{array}{cc}\text{où}& {I}_{1}^{e}={I}_{1}^{-}+\mathrm{3K}\Delta {\varepsilon}_{\nu}\end{array}\end{array}\)

Quand la loi est utilisée en modélisation THM en contraintes totales, le tenseur des contraintes et les équations traduisant le comportement élastique s’écrivent comme suit:

\(\begin{array}{}\sigma =H(\varepsilon -{\varepsilon}^{p})+{\sigma}_{p}I\\ {\sigma}^{e}={\sigma}^{-}+H\Delta \varepsilon +\Delta {\sigma}_{p}I=\sigma {'}^{-}+H\Delta \varepsilon +{\sigma}_{p}I\\ s={s}^{e}-2\mu \Delta {e}^{p}\text{où}{s}^{e}={s}^{-}+2\mu \Delta e\\ {I}_{1}={I}_{1}^{e}-\mathrm{3K}\Delta {\varepsilon}_{v}^{p}\text{où}{I}_{1}^{e}={I}_{1}^{-}+\mathrm{3K}\Delta {\varepsilon}_{v}+3\Delta {\sigma}_{p}\end{array}\)

\(\Delta {\sigma}_{p}=-b(S\Delta {p}_{\text{lq}}+(1-S)\Delta {p}_{\text{gz}})=b(S\Delta {p}_{c}-\Delta {p}_{\text{gz}})\)

Par ailleurs, la règle d’écoulement s’écrit:

\(d{\varepsilon}_{ij}^{p}=d\lambda .\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{ij}}(\sigma ,\gamma )=d\lambda (\eta (\gamma ){\delta}_{ij}+\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{{s}_{ij}}{{s}_{\text{II}}})\)

Comme \({e}^{p}={\varepsilon}^{p}-\frac{\text{tr}({\varepsilon}^{p})}{3}I\) , \(\Delta {\varepsilon}^{p}=\Delta {e}^{p}+\frac{\Delta {\varepsilon}_{\nu}^{p}}{3}I\) . On en déduit que \(\lbrace \begin{array}{c}\Delta {e}^{p}=\frac{3}{2}\frac{s}{{\sigma}_{\text{eq}}}\Delta \lambda \\ \Delta {\varepsilon}_{\nu}^{p}=3\eta (\gamma )\Delta \lambda \end{array}\) , et par suite, comme \({\sigma}_{\text{eq}}^{e}s={\sigma}_{\text{eq}}{s}^{e}\) , les relations suivantes sont identiques pour les deux aspects de la loi:

\(\lbrace \begin{array}{c}s={s}^{e}-3\mu \frac{s}{{\sigma}_{\text{eq}}}\Delta \lambda ={s}^{e}(1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})\\ \begin{array}{}{I}_{1}={I}_{1}^{e}-\mathrm{9K}\eta (\gamma )\Delta \lambda \text{}\\ {\sigma}_{\text{eq}}={\sigma}_{\text{eq}}^{e}-3\mu \Delta \lambda \text{}\end{array}\end{array}\)

Enfin, \(\Delta {\gamma}^{p}=\sqrt{\frac{2}{3}\Delta {e}^{p}:\Delta {e}^{p}}=\sqrt{\frac{2}{3}\Delta {\lambda}^{2}(\frac{3}{2}\frac{s}{{\sigma}_{\text{eq}}}):(\frac{3}{2}\frac{s}{{\sigma}_{\text{eq}}})}=\Delta \lambda\) . Ainsi, en reprenant le résultat obtenu dans le paragraphe 3.2.3 , on voit que \(\Delta \gamma =\Delta \lambda [:ref:\)eta (gamma )pm 1 <eta (gamma )pm 1>`]` et comme \(\mathrm{\Delta \gamma },\mathrm{\Delta \lambda }\ge 0\) , on a nécessairement \(\Delta \gamma =\Delta \lambda [:ref:\)eta (gamma )+1 <eta (gamma )+1>`]ge 0.`

Remarque : Le calcul de \(\mathrm{\Delta \lambda }\) est le même dans toutes les formulations.

Calcul de \(\Delta \lambda\)

On note \(P\) la matrice de passage telle que:

\(\tilde{P}.{s}^{e}.P={\stackrel{ˉ}{s}}^{e}\text{avec}{\stackrel{ˉ}{s}}^{e}=\text{diag}({s}_{1}^{e},{s}_{2}^{e},{s}_{3}^{e})\) , ou encore

\(\tilde{P}.{\sigma}^{e}.P={\stackrel{ˉ}{\sigma}}^{e}\text{avec}{\stackrel{ˉ}{\sigma}}^{e}=\text{diag}({\sigma}_{1}^{e},{\sigma}_{2}^{e},{\sigma}_{3}^{e})\text{et}{\sigma}_{i}^{e}={s}_{i}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}\)

Alors:

\(\begin{array}{}\tilde{P}.\sigma .P=\tilde{P}.(s+\frac{{I}_{1}}{3}I).P=\tilde{P}.({s}^{e}(1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})+\frac{1}{3}({I}_{1}^{e}-\mathrm{9K}\eta (\gamma )\Delta \lambda )I).P\\ \text{}=(1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}){\stackrel{ˉ}{s}}^{e}+\frac{1}{3}({I}_{1}^{e}-\mathrm{9K}\eta (\gamma )\Delta \lambda )I\\ \text{}=\text{diag}({\sigma}_{1},{\sigma}_{2},{\sigma}_{3})\\ \text{avec}{\sigma}_{i}=(1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}){s}_{i}^{e}+\frac{1}{3}({I}_{1}^{e}-\mathrm{9K}\eta (\gamma )\Delta \lambda )={\sigma}_{i}^{e}-3\Delta \lambda (\frac{\mu {s}_{i}^{e}}{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}+K\eta (\gamma ))\end{array}\)

Ainsi, si \((1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})>0\) , c’est-à-dire \({s}_{\text{II}}>0\) , les \({\sigma}_{i}\) sont ordonnés comme les \({s}_{i}^{e}\) . Si \((1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})=0\) , c’est-à-dire \({s}_{\text{II}}=0\) , les \({\sigma}_{i}\) sont tous égaux à \(\frac{1}{3}({I}_{1}^{e}-\mathrm{9K}\eta \Delta \lambda )=\frac{1}{3}({I}_{1}^{e}-\mathrm{3K}\eta \frac{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{\mu})\) . On peut ainsi écrire le critère \(F\) en fonction de \(\Delta \lambda \text{ou}\Delta \gamma\) seulement, les \({s}_{i}^{e}\) étant donnés et ordonnés, en prenant:

\(\begin{array}{}{\sigma}_{3}-{\sigma}_{1}=(1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})\\ {\sigma}_{3}={s}_{3}^{e}(1-3\mu \frac{\Delta \lambda }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})+\frac{1}{3}({I}_{1}^{e}-\mathrm{9K}\eta (\gamma )\Delta \lambda )\end{array}\)

On obtient alors une fonction non linéaire \(F(\Delta \lambda )\) résolue par un algorithme de Newton, donnée par:

\(\begin{array}{}F(\Delta \gamma )=0=({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})\left[1-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}h(\Delta \gamma )\Delta \gamma \right]-b(\Delta \gamma )\left[1-\frac{1}{{\sigma}_{3}^{b-d}}({s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-g(\Delta \gamma )\Delta \gamma )\right]\\ -{(S(\Delta \gamma ){\sigma}_{c}^{2}(\Delta \gamma )-m(\Delta \gamma ){\sigma}_{c}(\Delta \gamma )\left[{s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-g(\Delta \gamma )\Delta \gamma \right])}^{\frac{1}{2}}\end{array}\) Eq 3.1

oùon a noté :

\(\begin{array}{}\\ \begin{array}{cc}h(\Delta \gamma )=\frac{1}{\eta +1}=\frac{3+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}{3(1+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma ))}& \text{et}g(\Delta \gamma )=\frac{3+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}{3(1+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma ))}(\frac{\mathrm{6K}\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}{3+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}+\frac{3\mu {s}_{3}^{e}}{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})\end{array}\end{array}\) .

En pratique, on appliquera l’algorithme de Newton à la fonction

\(\begin{array}{}\stackrel{ˉ}{F}(\Delta \gamma )={\left[({\sigma}_{3}-{\sigma}_{1})-b(1-\frac{{\sigma}_{3}}{{\sigma}_{3}^{b-d}})\right]}^{2}-(S{\sigma}_{c}^{2}-m{\sigma}_{c}{\sigma}_{3})\\ ={\left[({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})\left[1-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}h(\Delta \gamma )\Delta \gamma \right]-b(\Delta \gamma )\left[1-\frac{1}{{\sigma}_{3}^{b-d}}({s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-g(\Delta \gamma )\Delta \gamma )\right]\right]}^{2}\\ -S(\Delta \gamma ){\sigma}_{c}^{2}(\Delta \gamma )+m(\Delta \gamma ){\sigma}_{c}(\Delta \gamma )\left[{s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-g(\Delta \gamma )\Delta \gamma \right]\end{array}\)

afin de s’affranchir des difficultés liées au signe de l’élément sous la racine lors des itérations. La dérivée de \(\stackrel{ˉ}{F}\) par rapport à \(\Delta \gamma\) est donnée dans l’Annexe 2.

Existence de la solution

Le principe de la résolution analytique consiste à déterminer le point \(({I}_{1},s)\) comme la projection du point \(({I}_{1}^{e},{s}^{e})\) sur la surface de charge par rapport au potentiel d’écoulement plastique:

\({s}_{\text{II}}\ge 0\)

\(\mathrm{\Delta \lambda }\le \frac{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{\mathrm{3\mu }}\) \(\mathrm{\Delta \lambda }>\frac{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{\mathrm{3\mu }}\) \(\frac{\partial F}{\partial \sigma }=\frac{\partial F}{\partial \stackrel{ˉ}{\sigma}}\frac{\partial \stackrel{ˉ}{\sigma}}{\partial \sigma }\)

\(\stackrel{ˉ}{\sigma}\)

Pas de solution

\(\stackrel{ˉ}{\sigma}\)

Or, la solution doit respecter la condition \({s}_{\text{II}}>0\) , c’est-à-dire \(F(\stackrel{ˉ}{\sigma},\gamma )=({\stackrel{ˉ}{\sigma}}_{3}-{\stackrel{ˉ}{\sigma}}_{1})-\sqrt{-{\stackrel{ˉ}{\sigma}}_{3}.m{\sigma}_{c}+S{\sigma}_{c}^{2}}-b.(1-\frac{{\stackrel{ˉ}{\sigma}}_{3}}{{\sigma}_{3}^{b-d}})\) : on voit donc qu’il existe une zone dans laquelle le problème n’admet pas de solution, qui correspond à \(\frac{\partial F}{\partial {\stackrel{ˉ}{\sigma}}_{i}}={\delta}_{\mathrm{i3}}-{\delta}_{\mathrm{i1}}+\frac{1}{2}{\delta}_{\mathrm{i3}}{\sigma}_{c}m{\left[-{\stackrel{ˉ}{\sigma}}_{3}.{\mathrm{m\sigma }}_{c}+{\mathrm{S\sigma }}_{c}^{2}\right]}^{-\frac{1}{2}}+b\frac{{\delta}_{\mathrm{i3}}}{{\sigma}_{3}^{b-d}}\) .

Calcul des dérivées

Dérivée du critère par rapport aux contraintes

On a: \(\frac{\partial F}{\partial \sigma }=\frac{\partial F}{\partial \stackrel{ˉ}{\sigma}}\frac{\partial \stackrel{ˉ}{\sigma}}{\partial \sigma }\) où \(\stackrel{ˉ}{\sigma}\) est le tenseur des contraintes exprimé dans la base des vecteurs propres. Si les valeurs propres sont ordonnées dans \(\stackrel{ˉ}{\sigma}\) , le critère \(F\) va s’écrire:

\(P(\sigma )=(\begin{array}{ccc}{X}_{1}(\sigma )& {X}_{2}(\sigma )& {X}_{3}(\sigma )\end{array})\) \(F(\stackrel{ˉ}{\sigma},\gamma )=(\stackrel{ˉ}{{\sigma}_{3}}-\stackrel{ˉ}{{\sigma}_{1}})-\sqrt{-\stackrel{ˉ}{{\sigma}_{3}}.m{\sigma}_{c}+S{\sigma}_{c}^{2}}-b.(1-\frac{\stackrel{ˉ}{{\sigma}_{3}}}{\stackrel{ˉ}{{\sigma}_{3}^{b-d}}})\)

et \({X}_{2}(\sigma )\ne {X}_{3}(\sigma )\) \(\frac{\partial F}{\partial \stackrel{ˉ}{{\sigma}_{i}}}={\delta}_{\mathrm{i3}}-{\delta}_{\mathrm{i1}}+\frac{1}{2}{\delta}_{\mathrm{i3}}{\sigma}_{c}m{[-\stackrel{ˉ}{{\sigma}_{3}}.m{\sigma}_{c}+S{\sigma}_{c}^{2}]}^{\frac{1}{2}}+b\frac{{\delta}_{\mathrm{i3}}}{{\sigma}_{3}^{b-d}}\) .

Dérivée du tenseur des contraintes par rapport aux contraintes principales

On peut montrer (voir Annexe 1) que:

\(\mid \begin{array}{c}\text{Si}\tilde{P}(\sigma ).\sigma .P(\sigma )=\stackrel{ˉ}{\sigma}\text{}\\ \text{où}P(\sigma )=\text{matrice de passage}(\text{matrice des vecteurs propres})\\ \text{et}\stackrel{ˉ}{\sigma}=\text{matrice diagonale des valeurs propres de}\sigma \text{}\\ \text{alors}\frac{\partial {\stackrel{ˉ}{\sigma}}_{k}}{\partial {\sigma}_{ij}}={P}_{\text{ik}}{P}_{\text{jk}}(\text{sans sommation sur les indices})\end{array}\)

Cas particulier de valeurs propres multiples

Dans le cas particulier où plusieurs des contraintes principales sont égales, par exemple \({\sigma}_{2}={\sigma}_{3}\) , le résultat précédent va s’appliquer sur les domaines \({\sigma}_{2}<{\sigma}_{3}\) et \({\sigma}_{2}>{\sigma}_{3}\) . On aura donc, dans le premier domaine, \(P(\sigma )=(\begin{array}{ccc}{X}_{1}(\sigma )& {X}_{2}(\sigma )& {X}_{3}(\sigma )\end{array})\) où \({X}_{2}\ne {X}_{3}\) et, dans le deuxième domaine, \(P(\sigma )=(\begin{array}{ccc}{\stackrel{ˉ}{X}}_{1}(\sigma )& {\stackrel{ˉ}{X}}_{2}(\sigma )& {\stackrel{ˉ}{X}}_{3}(\sigma )\end{array})\) . Ainsi, quand \({\sigma}_{2}-{\sigma}_{3}\to {0}^{-}\) (resp. \({\sigma}_{2}-{\sigma}_{3}\to {0}^{+}\) ), la matrice de passage va tendre vers \({P}^{-}=(\begin{array}{ccc}{X}_{1}& {X}_{2}& {X}_{3}\end{array})\) (resp. vers \({P}^{+}=(\begin{array}{ccc}{X}_{1}& {X}_{3}& {X}_{2}\end{array})\) ) avec \({X}_{2}\ne {X}_{3}\) , les vecteurs \(({X}_{2},{X}_{3})\) définissant le sous-espace propre associé à \({\sigma}_{2}={\sigma}_{3}\) . On voit donc que le tenseur \(\frac{\partial \stackrel{ˉ}{\sigma}}{\partial \sigma }\) n’est pas défini de manière unique en ce point.

De plus, le vecteur \(\frac{\partial {\sigma}_{3}}{\partial {\sigma}_{ij}}=\frac{\partial {\sigma}_{2}}{\partial {\sigma}_{ij}}\) n’est défini qu’à partir de l’un des deux vecteurs \({X}_{2}\) ou \({X}_{3}\) (il est égal à \({P}_{\mathrm{i3}}{P}_{\mathrm{j3}}\) ou \({P}_{\mathrm{i2}}{P}_{\mathrm{j2}}\) ), et ne correspond donc en fait qu’à une seule des deux dérivées directionnelles. Cette remarque s’applique de la même façon à \(\frac{\partial {s}_{3}^{e}}{\partial {\sigma}_{ij}}\) pour le calcul de \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) \(\frac{\partial \lambda }{\partial {\varepsilon}_{ij}}\) dans la matrice tangente cohérente (voir paragraphe 6 ).

Dérivée du critère par rapport à la variable d’écrouissage

\(\begin{array}{}\frac{\partial F}{\partial \gamma }=-\frac{1}{2}(-\frac{\partial (m{\sigma}_{c})}{\partial \gamma }{\sigma}_{3}+\frac{\partial (S{\sigma}_{c}^{2})}{\partial \gamma }){\left[-{\sigma}_{3}.m{\sigma}_{c}+S{\sigma}_{c}^{2}\right]}^{-\frac{1}{2}}-\frac{\partial b}{\partial \gamma }.(1-\frac{{\sigma}_{3}}{{\sigma}_{3}^{b-d}})\\ =\lbrace \begin{array}{cc}-\frac{1}{2}(-{p}_{m\sigma }{\sigma}_{3}+{p}_{S{\sigma}^{2}}){\left[-{\sigma}_{3}.m{\sigma}_{c}+S{\sigma}_{c}^{2}\right]}^{-\frac{1}{2}}& \text{si}\gamma <{\gamma}^{\text{rup}}\\ -(\mathrm{2a}\gamma +d).(1-\frac{{\sigma}_{3}}{{\sigma}_{3}^{b-d}})& \text{si}{\gamma}^{\text{rup}}<\gamma <={\gamma}^{\text{res}}\\ 0& \text{si}\gamma >={\gamma}^{\text{res}}\end{array}\end{array}\) \(\frac{\partial {\sigma}^{'}}{\partial \varepsilon }\)

Dérivée des paramètres par rapport à la variable d’écrouissage

1. \(\frac{\partial (m{\sigma}_{c})}{\partial \gamma }(\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{rup}}-(m{\sigma}_{c}{)}^{\text{end}}}{{\gamma}^{\text{rup}}}={p}_{m\sigma }& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma <{\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\\ 0& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma >{\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\end{array}\)

2. \(\frac{\partial (S{\sigma}_{c}^{2})}{\partial \gamma }(\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{rup}}-(S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{\text{end}}}{{\gamma}^{\text{rup}}}={p}_{S{\sigma}^{2}}& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma <{\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\\ 0& \begin{array}{cc}\text{si}& \gamma >{\gamma}^{\text{rup}}\end{array}\end{array}\)

3. \(\frac{\partial \varphi }{\partial \gamma }(\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{\phi }^{\text{rup}}-{\phi }^{\text{end}}}{{\gamma}^{\text{rup}}}& \text{si}\gamma \le {\gamma}^{\text{rup}}\\ \frac{{\phi }^{\text{res}}-{\phi }^{\text{rup}}}{{\gamma}^{\text{res}}-{\gamma}^{\text{rup}}}& \text{si}{\gamma}^{\text{rup}}\le \gamma \le {\gamma}^{\text{res}}\\ 0& \text{sinon}\end{array}\) \(\frac{\partial \sigma }{\partial {p}_{g}}\)

4. \(\frac{\partial b}{\partial \gamma }(\gamma )=\lbrace \begin{array}{cc}0& \text{si}\gamma <{\gamma}^{\text{rup}}\\ \mathrm{2a}\gamma +d& \text{si}{\gamma}^{\text{rup}}<\gamma \le {\gamma}^{\text{res}}\\ 0& \text{si}\gamma \ge {\gamma}^{\text{res}}\end{array}\) \(\frac{\partial \sigma }{\partial {p}_{c}}\)

Calcul de l’opérateur tangent cohérent

En mécanique pure ou en modélisation THM avec la loi Hoek-Brown utilisée selon son premier aspect, le tenseur des contraintes représente le tenseur des contraintes effectives qui dépend uniquement du tenseur des déformations. La loi de comportement mécanique fournit ainsi seulement la dérivée \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) en mécanique pure noté \(\frac{\partial \sigma '}{\partial \varepsilon }\) en modélisation thermo-hydro-mécanique.

Le calcul de la quantité \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) \(\frac{\partial \sigma }{\partial {p}_{c}}=\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}\) de la matrice tangente cohérente est le même pour les deux aspects de la loi. Le détail de cette dérivée est présenté dans le sous paragraphe 6.1 .

En modélisation THM avec la loi Hoek-Brown utilisée selon son deuxième aspect, le tenseur des contraintes représentant le tenseur des contraintes totales, la variation du tenseur des contraintes dépend de la variation du tenseur des déformations \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) , de la variation de la pression de gaz \(\frac{\partial \sigma }{\partial {p}_{g}}\) ainsi que de la variation de la pression capillaire \(\frac{\partial \sigma }{\partial {p}_{c}}\) .

La pression de gaz et la pression capillaire n’interviennent pas toujours dans le calcul mais selon le cas de la simulation. Dans le code, on calculera donc plutôt \(\frac{\partial \sigma }{\partial {p}_{p}}\) puis \(\frac{\partial \sigma }{\partial {p}_{g}}=\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{g}}\) et .

\(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}\) et \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{g}}\) dépendent de la simulation hydraulique, et sont indépendantes de la loi mécanique ( 11 ).

Calcul de \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\)

On cherche à calculer la matrice cohérente: \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }=\frac{\partial s}{\partial \varepsilon }+\frac{1}{3}\frac{\partial {I}_{1}}{\partial \varepsilon }I\) \(\frac{\partial {s}_{i}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}\) . Or: \(\begin{array}{}\frac{\partial s}{\partial \varepsilon }=\frac{\partial {s}^{e}}{\partial \varepsilon }(1-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}\Delta \lambda )+\frac{3\mu \Delta \lambda }{({\sigma}_{\text{eq}}^{e}{)}^{2}}{s}^{e}\frac{\partial {\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{\partial \varepsilon }-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{s}^{e}\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial \varepsilon }\\ \frac{\partial {I}_{1}}{\partial \varepsilon }=\frac{\partial {I}_{1}^{e}}{\partial \varepsilon }-\mathrm{9K}(\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial \varepsilon }\Delta \lambda +\eta \frac{\partial \Delta \lambda }{\partial \varepsilon })\end{array}\)

\(\tilde{P}.{s}^{e}.P=\stackrel{ˉ}{{s}^{e}}\)

avec: \(\begin{array}{}\frac{\partial {s}_{ij}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=2\mu ({\delta}_{\text{ip}}{\delta}_{\text{jq}}-\frac{1}{3}{\delta}_{ij}{\delta}_{\text{pq}})\\ \frac{\partial {I}_{1}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=\mathrm{3K}{\delta}_{\text{pq}}\\ \frac{\partial {\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\partial {s}_{\text{II}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=\frac{3}{2{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}\sum_{i,j}{s}_{ij}^{e}\frac{\partial {s}_{ij}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=\frac{3}{2{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}2\mu \sum_{i,j}{s}_{ij}^{e}({\delta}_{\text{ip}}{\delta}_{\text{jq}}-\frac{1}{3}{\delta}_{ij}{\delta}_{\text{pq}})=\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{s}_{\text{pq}}^{e}\\ \frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }=\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \gamma }\frac{\partial \Delta \gamma }{\partial \Delta \lambda }=(\eta +1)\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \gamma }\end{array}\)

\({\stackrel{ˉ}{s}}^{e}=\text{diag}({s}_{1}^{e},{s}_{2}^{e},{s}_{3}^{e})\)

d’où: \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }=\frac{\partial {s}^{e}}{\partial \varepsilon }(1-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}\Delta \lambda )+\frac{9{\mu}^{2}\Delta \lambda }{({\sigma}_{\text{eq}}^{e}{)}^{3}}{s}^{e}.{s}^{e}-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{s}^{e}.\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial \varepsilon }+\frac{1}{3}\frac{\partial {I}_{1}^{e}}{\partial \varepsilon }-\mathrm{3K}(\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial \varepsilon }\Delta \lambda +\eta \frac{\partial \Delta \lambda }{\partial \varepsilon })\)

\(P\)

Pour calculer \(\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}\) , on utilise l’équation \(\dot{F}(\Delta \lambda )=0\) \(\frac{\partial {s}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=P.\frac{\partial {\stackrel{ˉ}{s}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}.\tilde{P}\) . On obtient:

\(\begin{array}{c}\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}\left[\begin{array}{c}-({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}-\frac{\partial b}{\Delta \lambda }\left[1+\frac{1}{{\sigma}_{3}^{b-d}}\left[{s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-(3K\eta +{s}_{3}^{e}\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}})\Delta \lambda \right]\right]\\ +\frac{b}{{\sigma}_{3}^{b-d}}(\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \gamma }3K(\eta +1)\Delta \lambda +(3K\eta +{s}_{3}^{e}\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}))\\ -\frac{1}{2}(\begin{array}{c}\frac{\partial (S{\sigma}_{c}^{2})}{\partial \Delta \lambda }-\frac{\partial (m{\sigma}_{c})}{\partial \Delta \lambda }({s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-(3K\eta +{s}_{3}^{e}\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}})\Delta \lambda )\\ +{\sigma}_{c}m(\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \gamma }3K(\eta +1)\Delta \lambda +(3K\eta +{s}_{3}^{e}\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}))\end{array})\times \\ (S{\sigma}_{c}^{2}-m{\sigma}_{c}{({s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-(3K\eta ={s}_{3}^{e}\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}\Delta \lambda ))}^{-\frac{1}{2}})\\ =-(\frac{\partial {s}_{3}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}-\frac{\partial {s}_{1}^{e}}{{s}_{3}^{e}})\left[1-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}\Delta \lambda \right]-({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})\frac{3\mu }{{({\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e})}^{2}}\frac{\partial {\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}\Delta \lambda \\ +(\frac{\partial {s}_{3}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}+\frac{1}{3}\frac{\partial {I}_{1}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}-(-\frac{1}{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}\frac{\partial {\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}{s}_{3}^{e}+\frac{\partial {s}_{3}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}})\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}})\times \\ (\frac{b}{{\sigma}_{3}^{b-d}}-\frac{1}{2}{\sigma}_{c}m{(S{\sigma}_{c}^{2}-m{\sigma}_{c}({s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-(3K\eta +{s}_{3}^{e}\frac{3\mu }{{\sigma}_{\mathrm{eq}}^{e}})\Delta \lambda ))}^{-\frac{1}{2}})\end{array}\right]\end{array}\)

Il nous reste donc à calculer \(\frac{\partial {s}_{i}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}\) . En reprenant les notations du paragraphe 4.1 , on a: \(\tilde{P}.{s}^{e}.P={\stackrel{ˉ}{s}}^{e}\) où \({\stackrel{ˉ}{s}}^{e}=\mathrm{diag}({s}_{1}^{e},{s}_{2}^{e},{s}_{3}^{e})\) et \(P\) est la matrice des vecteurs propres associés. Par suite, \(\frac{\partial {s}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=\tilde{P}.\frac{\partial {\stackrel{ˉ}{s}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}.P+\frac{\partial \tilde{P}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}.{\stackrel{ˉ}{s}}^{e}.P+\tilde{P}.{\stackrel{ˉ}{s}}^{e}.\frac{\partial P}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}\) .

En reprenant le même raisonnement que dans l’Annexe 1, on peut montrer que \(\frac{\partial {s}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}=P.\frac{\partial {\stackrel{ˉ}{s}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\mathrm{pq}}}.\tilde{P}\) et finalement: . \(\tilde{P}.\frac{\partial {s}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}.P=\frac{\partial {\stackrel{ˉ}{s}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}\)

Cas particulier de valeurs propres multiples pour:math:{s}^{e}

Dans le cas où la matrice \({s}^{e}\) possède des valeurs propres multiples, les remarques faites dans le paragraphe 5.2.1 s’appliquent. Dans le cas \({s}_{3}^{e}={s}_{2}^{e}\) par exemple, le vecteur \(\frac{\partial {s}_{3}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}\) ne prend donc en compte qu’une seule des deux dérivées directionnelles de \({s}_{3}^{e}={s}_{2}^{e}\) . D’où l’idée d’écrire \({s}_{2}^{e}={s}_{3}^{e}=\frac{1}{2}({s}_{2}^{e}+{s}_{3}^{e})\) et donc \(\frac{\partial {s}_{2}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{ij}}=\frac{\partial {s}_{3}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{ij}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial {s}_{2}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{ij}}+\frac{\partial {s}_{3}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{ij}})\) .

Calcul de \(\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}\)

1. Élasticité:

On a: \(\sigma ={\sigma}^{e}=H\varepsilon +{\sigma}_{p}I\) et par suite \(\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}=I\) .

1. Plasticité:

On a : \(\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}=\frac{\partial s}{\partial {\sigma}_{p}}+\frac{1}{3}\frac{\partial {I}_{1}}{\partial {\sigma}_{p}}I\) avec:

\(\begin{array}{}\frac{\partial s}{\partial {\sigma}_{p}}=\frac{\partial {s}^{e}}{\partial {\sigma}_{p}}(1-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}\Delta \lambda )+\frac{3\mu \Delta \lambda }{({\sigma}_{\text{eq}}^{e}{)}^{2}}{s}^{e}\frac{\partial {\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{\partial {\sigma}_{p}}-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{s}^{e}\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\sigma}_{p}}\\ \frac{\partial {I}_{1}}{\partial {\sigma}_{p}}=\frac{\partial {I}_{1}^{e}}{\partial {\sigma}_{p}}-\mathrm{9K}(\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\sigma}_{p}}\Delta \lambda +\eta \frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\sigma}_{p}})\end{array}\)

Or:

\(\begin{array}{}\frac{\partial {s}^{e}}{\partial {\sigma}_{p}}=2\mu \frac{\partial \Delta e}{\partial {\sigma}_{p}}=0\\ \frac{\partial {I}_{1}^{e}}{\partial {\sigma}_{p}}=\mathrm{3K}\frac{\partial \Delta {\varepsilon}_{v}}{\partial {\sigma}_{p}}+3=3\\ \frac{\partial {\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{\partial {s}_{\text{II}}^{e}}{\partial {\varepsilon}_{\text{pq}}}=0\\ \frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }=\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \gamma }\frac{\partial \Delta \gamma }{\partial \Delta \lambda }=(\eta +1)\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \gamma }\end{array}\)

d’où: \(\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}=-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{s}^{e}.\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\sigma}_{p}}+I-\mathrm{3K}(\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\sigma}_{p}}\Delta \lambda +\eta \frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\sigma}_{p}})I\)

Pour calculer \(\frac{\partial \mathrm{\Delta \lambda }}{\partial {\sigma}_{p}}\) , on utilise l’équation \(\dot{F}(\mathrm{\Delta \lambda })=0\) . On obtient: \(\begin{array}{c}\frac{\partial \Delta \lambda }{\partial {\sigma}_{p}}\left[\begin{array}{c}\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})+\frac{\partial B}{\partial \Delta \lambda }(1-\frac{{\sigma}_{3}}{{\sigma}_{3}^{b-d}})+3\frac{B}{{\sigma}_{3}^{b-d}}(\frac{\mu {s}_{3}^{e}}{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}+K\eta +K\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }\Delta \lambda )\\ +(\frac{\partial S{\sigma}_{c}^{2}}{\partial \Delta \lambda }-\frac{\partial m{\sigma}_{c}}{\partial \Delta \lambda }{\sigma}_{3}+\mathrm{3m}{\sigma}_{c}\left[\frac{\mu {s}_{3}^{e}}{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}+K\eta +K\frac{\partial \eta }{\partial \Delta \lambda }\Delta \lambda \right])\times {(S{\sigma}_{c}^{2}-{\sigma}_{3}.m{\sigma}_{c})}^{-1/2}\end{array}\right]\\ =\frac{B}{{\sigma}_{3}^{b-d}}+\frac{m{\sigma}_{c}}{2\sqrt{S{\sigma}_{c}^{2}-{\sigma}_{3}.m{\sigma}_{c}}}\end{array}\)

1. Dans l’opérateur tangent c’est la dérivée \(\frac{\partial \sigma '}{\partial {\sigma}_{p}}=\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}-I\) qui doit être renvoyée.

Calcul de l’opérateur tangent en vitesse

L’opérateur tangent en vitesse est donné à titre indicatif. Dans la programmation, on calcule l’opérateur correspondant à RIGI_MECA par les mêmes formules que celles fournissant FULL_MECA dans lesquelles on pose: \(\mathrm{\Delta \lambda }=0\) , \(H\) et \({\gamma}^{+}={\gamma}^{-}\) .

Si le tenseur de contraintes représente la contrainte effective :

La condition \(\dot{F}=0\) s’écrit: \(\dot{F}=\frac{\partial F}{\partial \sigma }\dot{\sigma}+\frac{\partial F}{\partial \gamma }\dot{\gamma}=0\) . Ceci nous donne donc :

\(\dot{\gamma}=-\frac{\sum_{ij}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{\dot{\sigma}}_{ij}}{\frac{\partial F}{\partial \gamma }}\)

Or, on a \(\dot{\sigma}=H(\dot{\varepsilon}-{\dot{\varepsilon}}^{p})\) où \(H\) est la matrice de Hooke. De plus, \({\dot{\varepsilon}}^{p}=\dot{\lambda}\frac{\partial G}{\partial \sigma }=\frac{\dot{\gamma}}{(\eta (\gamma )+1)}\frac{\partial G}{\partial \sigma }\) , d’où

\(\dot{\gamma}=-\frac{\sum_{ijkl}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}{\dot{\varepsilon}}_{kl}}{\frac{\partial F}{\partial \gamma }-\frac{1}{\eta (\gamma )+1}\sum_{ijkl}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}}\text{avec}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{ij}}=\eta (\gamma ){\delta}_{ij}+\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{{s}_{ij}}{{s}_{\text{II}}},\)

et finalement

\(\begin{array}{}{\dot{\sigma}}_{\text{ab}}={H}_{\text{abcd}}({\dot{\varepsilon}}_{\text{cd}}-\dot{\lambda}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{\text{cd}}})=\sum_{\text{cd}}{D}_{\text{abcd}}{\dot{\varepsilon}}_{\text{cd}}\\ \text{où}{D}_{\text{abcd}}\text{}={H}_{\text{abcd}}+\frac{(\sum_{kl}{H}_{\text{abkl}}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}})(\sum_{ij}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{\text{ijcd}})}{(\eta (\gamma )+1)\frac{\partial F}{\partial \gamma }-\sum_{\text{pqmn}}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{\text{pq}}}{H}_{\text{pqmn}}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{\text{mn}}}}\end{array}\) .

Si le tenseur de contraintes représente la contrainte totale :

On a \(\dot{\sigma}=H(\dot{\varepsilon}-{\dot{\varepsilon}}^{p})+{\dot{\sigma}}_{p}I\) où \(H\) est la matrice de Hooke. En notation indicée, on peut écrire:

\({\dot{\sigma}}_{ij}={H}_{ijkl}({\dot{\varepsilon}}_{kl}-{\dot{\varepsilon}}_{kl}^{p})+{\dot{\sigma}}_{p}{\delta}_{ij}\)

De plus, \({\dot{\varepsilon}}^{p}=\dot{\lambda}\frac{\partial G}{\partial \sigma }=\frac{\dot{\gamma}}{(\eta (\gamma )+1)}\frac{\partial G}{\partial \sigma }\) ,

La condition \(\dot{F}=0\) s’écrit: \(\dot{F}=\frac{\partial F}{\partial \sigma }\dot{\sigma}+\frac{\partial F}{\partial \gamma }\dot{\gamma}=0\) . Ceci nous donne donc :

\(\dot{\gamma}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{\dot{\sigma}}_{ij}}{\frac{\partial F}{\partial \gamma }}\)

en remplaçant \({\dot{\sigma}}_{ij}\) et \({\dot{\varepsilon}}_{kl}^{p}\) par leurs expressions on peut déduire:

\(\dot{\gamma}\frac{\partial F}{\partial \gamma }=-\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}({\dot{\varepsilon}}_{kl}-\frac{\dot{\gamma}}{(\eta (\gamma )+1)}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}})-\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{\dot{\sigma}}_{p}{\delta}_{ij}\)

et ensuitel’expression de \(\dot{\gamma}\) :

\(\begin{array}{}\dot{\gamma}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}{\dot{\varepsilon}}_{kl}}{\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}-\frac{1}{(\eta (\gamma )+1)}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}}-\frac{\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{\dot{\sigma}}_{p}{\delta}_{ij}}{\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}-\frac{1}{(\eta (\gamma )+1)}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}}\text{}\\ \\ \text{avec}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{ij}}=\eta (\gamma ){\delta}_{ij}+\sqrt{\frac{3}{2}}\frac{{s}_{ij}}{{s}_{\text{II}}},\end{array}\)

et finalement

\(\begin{array}{}{\dot{\sigma}}_{\text{ab}}={H}_{\text{abcd}}({\dot{\varepsilon}}_{\text{cd}}-\dot{\lambda}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{\text{cd}}})+{\dot{\sigma}}_{p}{\delta}_{\text{ab}}={D}_{\text{abcd}}{\dot{\varepsilon}}_{\text{cd}}+{E}_{\text{ab}}{\dot{\sigma}}_{p}\\ {\dot{\sigma}}_{\text{ab}}={H}_{\text{abcd}}({\dot{\varepsilon}}_{\text{cd}}+\frac{\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}{\dot{\varepsilon}}_{kl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{\text{cd}}}}{(\eta (\gamma )+1)\frac{\partial F}{\partial \gamma }-\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}}+\frac{\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{\delta}_{ij}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{\text{cd}}}{\dot{\sigma}}_{p}}{(\eta (\gamma )+1)\frac{\partial F}{\partial \gamma }-\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}})+{\dot{\sigma}}_{p}{\delta}_{\text{ab}}\\ \text{où}\\ {D}_{\text{abcd}}\text{}={H}_{\text{abcd}}+\frac{{H}_{\text{abkl}}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{\text{ijcd}}}{(\eta (\gamma )+1)\frac{\partial F}{\partial \gamma }-\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}}\\ \text{et}\\ {E}_{\text{ab}}\text{}=\frac{{H}_{\text{abcd}}\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{\delta}_{ij}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{\text{cd}}}}{(\eta (\gamma )+1)\frac{\partial F}{\partial \gamma }-\frac{\partial F}{\partial {\sigma}_{ij}}{H}_{ijkl}\frac{\partial G}{\partial {\sigma}_{kl}}}+{\delta}_{\text{ab}}\end{array}\)

Algorithme

Variables internes

La loi de comportement de Hoek-Brown modifiée est régie par les trois variables internes suivantes:

1. le paramètre d’écrouissage :math:`gamma ` correspondant à la déformation irréversible majeure.

2. la déformation volumique plastique cumulée \({\varepsilon}_{\mathrm{\nu }}^{p}\) dont la loi d’évolution est donnée par \(d{\varepsilon}_{\nu}^{p}=3\eta d\lambda =\frac{3\eta }{\eta +1}d\gamma\) .

3. l’état de plastification ; il vaut 0 si le point de Gauss est en charge élastique ou en décharge, et 1 si le point de Gauss est en charge plastique.

Algorithme

On retient une formulation implicite par rapport au critère et à la direction d’écoulement. On se place en un point matériel et on suppose connusà \({t}^{-}\) :

• Le tenseur d’accroissement des déformations \(\Delta \varepsilon\) d’où l’on déduit \(\Delta e\) , \(\Delta {\varepsilon}_{\nu}\)

• Les contraintes au début du pas de temps \({\sigma}^{-}\) dont on déduit \({s}^{-},{I}_{1}^{-}\)

• La valeur des variables internes \({\gamma}^{-}\) et \({\varepsilon}_{\nu}^{p-}\) au début du pas de temps qui nous donnent

\((S{\sigma}_{c}^{2}{)}^{-},(m{\sigma}_{c}{)}^{-},{b}^{-},{\phi }^{-}\)

Le but de l’algorithme est alors de calculer:

• Les contraintes en fin de pas de temps \(\sigma\)

• Les variables internes en fin de pas de temps

• Le comportement tangent en fin de pas de temps: \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) si la loi est en contraintes effectives

• Le comportement tangent en fin de pas de temps: \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) et \(\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}\) si la loi est en contraintes totales.

Algorithme:

Calcul de la solution élastique :

Si la loi est en contraintes effectives:

\(\lbrace \begin{array}{c}{s}^{e}={s}^{-}+2\mu \Delta e\\ {I}_{1}^{e}={I}_{1}^{-}+\mathrm{3K}\Delta {\varepsilon}_{\nu}\end{array}\)

Si la loi est en contraintes totales:

\(\lbrace \begin{array}{c}{s}^{e}={s}^{-}+2\mu \Delta e\\ {I}_{1}^{e}={I}_{1}^{-}+\mathrm{3K}\Delta {\varepsilon}_{\nu}+3\Delta {\sigma}_{p}\end{array}\)

Calcul du critère élastique \(F({\sigma}^{e},{\gamma}^{-})\) . Si \(S{\sigma}_{c}^{2}-{\sigma}_{3}^{e}.m{\sigma}_{c}<0\) , la fonction \(F\) n’est pas définie au point \(({\sigma}^{e},{\gamma}^{-})\) . On considère alors que l’on est dans le cas plastique.

Résolution : calcul de \(\sigma ,\gamma\)

Si \(F({\sigma}^{e},{\gamma}^{-})\le 0\) , alors \(\Delta \varepsilon =\Delta {\varepsilon}^{e},{\gamma}^{p}={\gamma}^{{p}^{-}},\Delta \sigma =H\Delta \varepsilon\) .

Sinon, on cherche \(\sigma ,\gamma\) tels que \(F(\sigma ,\gamma )\le 0\) , ce qui revient à chercher \(\Delta \gamma\) tel que \(F(\Delta \gamma )=\stackrel{ˉ}{F}(\Delta \gamma )=0\) . Ce problème est résolu en utilisant une méthode de Newton sur \(\stackrel{ˉ}{F}\) .

Algorithme de Newton:

Initialisation: \({\mathrm{\Delta \gamma }}^{0}=0\)

Après chaque itération:

• si \(\Delta {\gamma}^{n+1}\le 0\) , il n’y a pas eu convergence: on subdivise le pas de temps

• si \(\Delta {\gamma}^{n+1}\le \frac{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}{3\mu [:ref:\)eta (Delta {gamma}^{n+1})+1 <eta (Delta {gamma}^{n+1})+1>`]}` , il n’y a pas de solution (voir paragraphe 4.2 ): on subdivise le pas de temps

Mise à jour des variables : contraintes, variables internes

Calcul de la matrice tangente cohérente \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) si la loi est en contraintes effectives et \(\frac{\partial \sigma }{\partial \varepsilon }\) et \(\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{p}}\) si la loi est en contraintes totales pour l’option RIGI_MECA_TANG ou FULL_MECA.

Bibliographie

• Souley M., K. Su, M. Ghoreychi & G. Armand - 2003 - Constitutive models for rock mass :numerical implementation, verification and validation in FLAC and Numerical Modeling in Geomechanics, Brummer et al. (eds), 2003 Swets & Zeitlinger B.V., Lisse, ISBN 90 5809 5819, pp. 71-80.

• François Laigle Modèle conceptuel pour le développement de lois de comportement adaptées à la conception des ouvrages souterrains. Thèse École Centrale de Lyon

Fonctionnalités et vérification

La loi de comportement peut être définie par le mot-clé HOEK_BROWN (commande STAT_NON_LINE, mot clé facteur COMPORTEMENT). Elle est associée au matériau HOEK_BROWN (commande DEFI_MATERIAU).

La loi HOEK_BROWN est vérifiée par les cas tests suivants:

SSNA116	[V6.01.116]	Essai triaxial avec le modèle de Hoek-Brown modifié en axisymétrique
SSNV184	[V6.04.184]	Essai triaxial avec le modèle de Hoek-Brown modifié
WTNV128	[V7.31.128]	Essai triaxial non drainé avec le modèle de Hoek-Brown modifié en contraintes effectives
WTNV129	[V7.31.129]	Essai triaxial non drainé avec le modèle de Hoek-Brown modifié en contraintes totales

Description des versions du document

Version Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
8.5	C.Chavant, J.El-Gharib EDF-R&D/AMA V.Gervais, CS	Texte initial

Dérivation des contraintes principales

Soit \(\sigma\) un tenseur symétrique et \({\sigma}_{d}\) ce tenseur dans la base qui le diagonalise. Désignons par \(P(\sigma )\) la matrice de passage qui diagonalise le tenseur \(\sigma ` : :math:\)sigma :sigma =P(sigma ).{sigma}_{d}.tilde{P}(sigma )` . En écriture indicielle, nous adoptons la convention suivante pour les écritures matricielles:

si bien que le produit matriciel s’écrit: \({(A.B)}_{j}^{i}={A}_{m}^{i}{B}_{j}^{m}\) avec la règle de sommation des indices répétés.

Alors on a la relation:

\(\frac{\partial {\sigma}_{d}}{\partial {\sigma}_{j}^{i}}=\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial \sigma }{\partial {\sigma}_{j}^{i}}.P(\sigma )\)

\(\frac{\partial {\sigma}_{{d}_{k}}}{\partial {\sigma}_{j}^{i}}={P}_{k}^{i}{P}_{k}^{j}\) ou sous forme indicielle sans sommation sur l’indice \(k\)

Démonstration :

Dans ce qui suit, nous noterons \(\sigma ` une composante quelconque du tenseur :math:\)sigma` sans en préciser les indices lorsqu’ils ne jouent aucun rôle.

On a \(\sigma =P(\sigma ).{\sigma}_{d}.\tilde{P}(\sigma )\) , et par suite:

1. \(\frac{\partial {\sigma}_{d}}{\partial \sigma }=\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial \sigma }{\partial \sigma }.P(\sigma )+\frac{\partial \tilde{P}(\sigma )}{\partial \sigma }.\sigma .P(\sigma )+\tilde{P}(\sigma ).\sigma .\frac{P(\sigma )}{\partial \sigma }\)

2. .

En reportant dans les deux derniers termes l’égalité \(\sigma =P(\sigma ).{\sigma}_{d}.\tilde{P}(\sigma )\) , on obtient:

1. \(\frac{\partial {\sigma}_{d}}{\partial \sigma }=\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial \sigma }{\partial \sigma }.P(\sigma )+\frac{\partial P(\sigma )}{\partial \sigma }.\tilde{P}(\sigma ).{\sigma}_{d}.P(\sigma ).\tilde{P}(\sigma )+\tilde{P}(\sigma ).P(\sigma ).{\sigma}_{d}.\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial P(\sigma )}{\partial \sigma }\)

c’est à dire:

1. \(\frac{\partial {\sigma}_{d}}{\partial \sigma }=\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial \sigma }{\partial \sigma }.P(\sigma )+\frac{\partial \tilde{P}(\sigma )}{\partial \sigma }.P(\sigma ).{\sigma}_{d}+{\sigma}_{d}.\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial P(\sigma )}{\partial \sigma }\)

En écriture matricielle, ceci s’écrit:

\(\frac{\partial {\sigma}_{{}_{d}}^{i}}{\partial \sigma }={(\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial \sigma }{\partial \sigma }.P(\sigma )+\frac{\partial \tilde{P}(\sigma )}{\partial \sigma }.P(\sigma ).{\sigma}_{d}+{\sigma}_{d}.\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial P(\sigma )}{\partial \sigma })}_{i}^{i}\)

Montrons que la somme des deux derniers termes de cette expression est nulle:

• \({(\frac{\partial \tilde{P}(\sigma )}{\partial \sigma }.P(\sigma ).{\sigma}_{d}+{\sigma}_{d}.\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial P(\sigma )}{\partial \sigma })}_{j}^{i}=\partial {\tilde{P}}_{m}^{i}.{P}_{l}^{m}.{\sigma}_{{d}_{j}^{l}}+{\sigma}_{{d}_{m}^{i}}.{\tilde{P}}_{l}^{m}.\partial {P}_{j}^{l}\)

où \(\partial a\) désigne \(\frac{\partial a}{\partial \sigma }\) afin d‘alléger l’écriture.

Nous écrivons alors que \(i=j\) et que seuls les termes \({\sigma}_{{d}_{p}}^{p}\) sont non nuls.

On obtient:

\(\begin{array}{}{(\frac{\partial \tilde{P}(\sigma )}{\partial \sigma }.P(\sigma ).{\sigma}_{d}+{\sigma}_{d}.\tilde{P}(\sigma ).\frac{\partial P(\sigma )}{\partial \sigma })}_{i}^{i}=\partial {\tilde{P}}_{m}^{i}.{P}_{i}^{m}.{\sigma}_{{d}_{i}^{i}}+{\sigma}_{{d}_{i}^{i}}.{\tilde{P}}_{l}^{i}.\partial {P}_{i}^{l}\\ =(\partial {\tilde{P}}_{m}^{i}.{P}_{i}^{m}+{\tilde{P}}_{m}^{i}.\partial {P}_{i}^{m}){\sigma}_{{d}_{i}^{i}}\underline{\text{sans}\text{sommation}\text{sur}\text{l'indice}i}\end{array}\)

qui est clairement nul puisque \(\tilde{P}.P=I\) . D’où finalement \(\frac{\partial {\sigma}_{{d}_{k}}}{\partial {\sigma}_{j}^{i}}=\frac{\partial {\sigma}_{{d}_{k}^{k}}}{\partial {\sigma}_{j}^{i}}={P}_{k}^{i}{P}_{k}^{j}\) .

Dérivée de la fonction \(\stackrel{ˉ}{F}(\mathrm{\Delta \lambda })\)

\(\begin{array}{}\frac{\partial h}{\partial \Delta \gamma }=\frac{\partial}{\partial \Delta \gamma }(\frac{3+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}{3(1+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma ))})=\lbrace \begin{array}{cc}-\frac{2\frac{\partial \phi }{\partial \gamma }\cos\phi (\gamma )}{3(1+\sin\phi (\gamma ){)}^{2}}& \text{si}\gamma <{\gamma}^{\text{res}}\\ 0& \text{sinon}\end{array}\text{}\\ \frac{\partial g}{\partial \Delta \gamma }=\frac{\partial}{\partial \Delta \gamma }\left[\frac{3+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}{3(1+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma ))}(\frac{\mathrm{6K}\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}{3+\sin\phi ({\gamma}^{-}+\Delta \gamma )}+\frac{3{m}_{3}^{e}}{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})\right]\\ \text{}=\frac{\mathrm{6K}\frac{\partial \phi }{\partial \gamma }\cos\phi (\gamma )}{(3+\sin\phi (\gamma ))(1+\sin\phi (\gamma ))}-\frac{2\frac{\partial \phi }{\partial \gamma }\cos\phi (\gamma )}{3(1+\sin\phi (\gamma ){)}^{2}}(\frac{\mathrm{6K}\sin\phi (\gamma )}{3+\sin\phi (\gamma )}+\frac{3{m}_{3}^{e}}{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}})\end{array}\)

\(\begin{array}{}\frac{\partial \stackrel{ˉ}{F}}{\partial \Delta \gamma }=2\left[-({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}(\frac{\partial h}{\partial \Delta \gamma }\Delta \gamma +h)-\frac{\partial b}{\partial \Delta \gamma }(1-\frac{1}{{\sigma}_{3}^{b-d}}\left[{s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-g\Delta \gamma \right])-\frac{b}{{\sigma}_{3}^{b-d}}(\frac{\partial g}{\partial \Delta \gamma }\Delta \gamma +g)\right]\\ \times \left[({s}_{3}^{e}-{s}_{1}^{e})\left[1-\frac{3\mu }{{\sigma}_{\text{eq}}^{e}}h\Delta \gamma \right]-b\left[1-\frac{1}{{\sigma}_{3}^{b-d}}({s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-g\Delta \gamma )\right]\right]\\ -(\frac{\partial (S{\sigma}_{c}^{2})}{\partial \Delta \gamma }-\frac{\partial (m{\sigma}_{c})}{\partial \Delta \gamma }({s}_{3}^{e}+\frac{{I}_{1}^{e}}{3}-g\Delta \gamma )+{\sigma}_{c}m(\frac{\partial g}{\partial \Delta \gamma }\Delta \gamma +g))\end{array}\)

Calcul des dérivées \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{g}}\) et \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}\)

• LIQU_SATU (PRE1= \({p}_{\mathrm{lq}}\) ): \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}=-\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{\text{lq}}}=\mathrm{bS}\)

• LIQU_GAZ_ATM(PRE1=- \({p}_{\mathrm{lq}}\) ): \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}=-\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{\text{lq}}}=\mathrm{bS}\)

• GAZ(PRE1= \({p}_{g}\) ): \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{g}}=-b(1-S)\)

• LIQU_VAPE_GAZ (PRE1= \({p}_{c}\) , PRE2= \({p}_{g}\) ): \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{g}}=-b\) , \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}=\mathrm{bS}\)

• LIQU_GAZ (PRE1= \({p}_{c}\) , PRE2= \({p}_{g}\) ): \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{g}}=-b\) , \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}=\mathrm{bS}\)

• LIQU_VAPE (PRE1= \({p}_{\mathrm{lq}}\) ): \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}=-\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{\text{lq}}}=\mathrm{bS}\)

• LIQU_AD_GAZ_VAPE (PRE1=

  

, PRE2=

): \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{g}}=-b\) , \(\frac{\partial {\sigma}_{p}}{\partial {p}_{c}}=\mathrm{bS}\)