v6.04.508 SSNV508 – Bloc en contraintes planes avec interface, en traction et compression latérale, pour éléments X-FEM quadratiques#
Résumé:
Ce test a pour but de valider la déformée d’une interface introduite dans une plaque très mince parallélépipédique rectangulaire dans un cadre X-FEM. La structure est sollicitée en traction et soumise à une pression latérale linéaire. L’interface est représentée par une level set plane et horizontale coupant des éléments ou coïncidant avec leurs bords. Il fait intervenir les éléments X-FEM [R7.02.12] \(\text{P2}\) (déplacement) qui disposent de degrés de liberté de déplacement en chaque nœud. Le problème est traité en 2D et 3D.
Solution de référence : analytique en contraintes planes#
Solution 2D#
En se plaçant dans le repère cartésien \((x,y)\) , le déplacement de tout point \(M(x,y)\) de la plaque supérieure s’écrit :
\(u(x,y)={u}_{x}(x,y)\overrightarrow{{e}_{x}}+{u}_{y}(x,y)\overrightarrow{{e}_{y}}\) éq 2-1
Remarques :
La plaque supérieure et la plaque inférieure sont dissociées du fait que l’interface sépare totalement la plaque en deux. La plaque inférieure étant encastrée à sa base, il en résulte qu’elle est totalement immobile et que l’on ne fait porter l’étude analytique que sur la plaque supérieure.
On décompose les composantes du déplacement dans la base :math:`lbrace 1,x,y,{x}^{2},{y}^{2},xy,{x}^{2}y,{xy}^{2}rbrace ` :
\({u}_{x}(x,y)={I}_{1}+{I}_{2}x+{I}_{3}y+{I}_{4}{x}^{2}+{I}_{5}{y}^{2}+{I}_{6}xy+{I}_{7}{x}^{2}y+{I}_{8}x{y}^{2}\) éq 2-2
\({u}_{y}(x,y)={J}_{1}+{J}_{2}x+{J}_{3}y+{J}_{4}{x}^{2}+{J}_{5}{y}^{2}+{J}_{6}xy+{J}_{7}{x}^{2}y+{J}_{8}x{y}^{2}\) éq 2-3
Le problème présente une symétrie géométrique et de chargement par rapport à l’axe des ordonnées. Cela implique :
\({I}_{1}={I}_{3}={I}_{4}={I}_{5}={I}_{7}={J}_{2}={J}_{6}={J}_{8}=0\) éq 2-4
Les équations d’équilibre local exprimées dans le repère cartésien donne :
\({I}_{8}={J}_{7}=0\) éq 2-5
\({I}_{6}=-\frac{2(1-\nu )}{1+\nu }{J}_{4}-\frac{4}{1+\nu }{J}_{5}\) éq 2-6
En appliquant les conditions limites de Dirichlet de la face supérieure \(d={d}_{2}{x}^{2}+{d}_{0}\) , on en déduit :
\({J}_{4}={d}_{2}=-2,5{.10}^{-6}\) éq 2-7
\({J}_{1}+{J}_{3}{L}_{y}+{J}_{5}{L}_{y}^{2}={d}_{0}\) éq 2-8
En appliquant les conditions limites de Neumann des bords latéraux \(P={p}_{1}y+{p}_{0}\) sur les contraintes issues de la loi de Hooke généralisée :
\({J}_{5}=-\frac{{d}_{2}}{2+\nu }+\frac{{p}_{1}{(1+\nu )}^{2}}{2E(2+\nu )}=-0,5{.10}^{-6}\) éq 2-9
\({I}_{6}=-\frac{{\mathrm{2d}}_{2}(1-\nu )}{1+\nu }{p}_{0}-\frac{{\mathrm{4J}}_{5}}{1+\nu }=-\frac{5}{3}{.10}^{-6}\) éq 2-10
\({I}_{2}=-\frac{1-{\nu}^{2}}{E}{p}_{0}-\nu {J}_{3}\) éq 2-11
L’interface est un bord libre, c’est– à- dire que le vecteur contrainte en tout point de cette surface dans la direction normale extérieure à la structure est nul :
\({J}_{3}=\frac{\nu {p}_{0}}{E}={2.10}^{-6}\) éq 2-12
\({I}_{2}=\frac{-{p}_{0}}{E}=-{1.10}^{-6}\) éq 2-13
Par suite, en combinant les résultats et expressions obtenues, on tire \({J}_{1}\) :
\({J}_{1}={d}_{0}-{J}_{3}{L}_{y}-{J}_{5}{L}_{y}^{2}=8,02{.10}^{-6}\) éq 2-14
La solution obtenue est la suivante :
\({u}_{x}(x,y)=-{1.10}^{-6}(\mathrm{10x}+\frac{5}{3}xy)\) éq 2-15
\({u}_{y}(x,y)={1.10}^{-6}(8,02+\mathrm{2y}-2,5{x}^{2}-0,5{y}^{2})\) éq 2-16
Soit sur l’interface le résultat suivant :
\({u}_{x}(x,y=0)=-{1.10}^{-5}x\) éq 2-17
\({u}_{y}(x,y=0)={1.10}^{-6}(8,02-2,5{x}^{2})\) éq 2-18
Solution 3D#
Selon l’hypothèse des contraintes planes le champ de contrainte 3D ne varie pas dans la direction \(z\) , ce qui implique que les déformations en sont aussi indépendantes. Le problème peut alors être ramené au problème en 2D (plan \(\mathit{ABCD}\) ) pour la résolution des contraintes et déformations.
Dans le cas 3D, la solution sur \({u}_{x}\) et \({u}_{y}\) possède donc la forme suivante :
\({u}_{x}(x,y,z)={1.10}^{-6}(-\mathrm{10x}-\frac{5}{3}xy+{h}_{x}(z))\) éq 2-19
\({u}_{y}(x,y,z)={1.10}^{-6}(8,02+\mathrm{2y}-2,5{x}^{2}+{h}_{y}(z))\) éq 2-20
De plus, la déformation sur \({e}_{z}\) s’écrit :
\({\epsilon}_{zz}(x,y,z)=-\frac{\nu}{1-\nu }(\frac{\partial {u}_{x}}{\partial x}+\frac{\partial {u}_{y}}{\partial y})={1.10}^{-6}(2+\frac{2}{3}y)\) éq 2-21
Avec :
\({\epsilon}_{zz}(x,y,z)=\frac{\partial {u}_{z}(x,y,z)}{\partial z}\) éq 2-22
Par suite, en combinant les résultats et expressions obtenues, on obtient :
\({u}_{z}(x,y,z)={1.10}^{-6}[(2+\frac{2}{3}y)z+g(x,y)]\) éq 2-23
Selon \({\epsilon}_{xz}=0\) et \({\epsilon}_{yz}=0\) , on obtient :
\({h}_{x}(z)={C}_{1}z+{C}_{0}\) éq 2-24
\({h}_{y}(z)=-\frac{{z}^{2}}{3}+{C}_{3}z+{C}_{5}\) éq 2-25
\(g(x,y)=-{C}_{\mathrm{1x}}-{C}_{3}y+{C}_{4}\) éq 2-26
Le plan \(\mathit{ABCD}\) est bloqué sur la direction \({e}_{z}\) , on obtient :
\({u}_{z}(x,y,z=0)=0\) éq 2-27
Cela implique : \({C}_{1}={C}_{3}={C}_{4}=0\) .
Le plan \((x=0)\) est bloqué sur la direction \({e}_{x}\) , on obtient :
\({u}_{x}(x=0,y,z)=0\) éq 2-28
Cela implique : \({C}_{0}=0\) .
De plus, le déplacement imposé sur la surface supérieure conduit à : \({C}_{5}=0\) .
Finalement, on obtient :
\({u}_{x}(x,y,z)=-(\mathrm{10x}+\frac{5}{3}xy){.10}^{-6}\) éq 2-29 \({u}_{y}(x,y,z)=(8,02+\mathrm{2y}-2,5{x}^{2}-0,5{y}^{2}-\frac{1}{3}{z}^{2}){.10}^{-6}\) éq 2-30
\({u}_{z}(x,y,z)=(2+\frac{2}{3}y){\mathit{z.10}}^{-6}\) éq 2-31
Soit sur l’interface le résultat suivant :
\({u}_{x}(x,y=0,z)=-{1.10}^{-5}x\) éq 2-32
\({u}_{y}(x,y=0,z)=(8,02-2,5{x}^{2}-\frac{1}{3}{z}^{2}){.10}^{-6}\) éq 2-33
\({u}_{z}(x,y=0,z)={2.10}^{-6}z\) éq 2-34
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: C_PLAN.
La structure est un rectangle sain, dans lequel une interface est introduite directement dans le fichier de commande à l’aide de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L’interface est présente à une distance \({L}_{Y}=1,8m\) du bord supérieur de la plaque.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 661
Nombre de mailles et types: 200 QUAD8 pour la plaque et 50 SEG3 pour les bords.
Figure 3.2‑a: Maillage 2D quadrangle et position de l’interface
Grandeurs testées et résultats#
Les déplacements issus de l’opérateur STAT_NON_LINE sont post-traités de manière à récupérer les valeurs aux nœuds de la fissure issus du nouveau maillage.
Identification |
Référence |
Aster |
tolérance |
\(\mathrm{DX}\) au point \(A\) |
1.10-5 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DX}\) au point \(B\) |
-1.10-5 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(A\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(B\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(O\) |
8,02.10-6 |
Analytique |
1.10-12 |
Commentaires#
Ce test valide :
le calcul de la matrice de rigidité et des vecteurs seconds membres (prise en compte de la pression répartie sur des éléments de bords quadratiques),
le post-traitement X-FEM des éléments \(\mathrm{P2}\) .
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: C_PLAN.
La structure est un rectangle sain, dans lequel une interface est introduite directement dans le fichier de commande à l’aide de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L’interface est présente à une distance \({L}_{Y}=1,8m\) du bord supérieur de la plaque.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 597
Nombre de mailles et types: 180 QUAD8 pour la plaque et 46 SEG3 pour les bords.
Figure 4.2‑a: Maillage 2D quadrangle et position de l’interface
Grandeurs testées et résultats#
Les déplacements issus de l’opérateur STAT_NON_LINE sont post-taités afin de manière à récupérer les valeurs aux nœuds de la fissure issus du nouveau maillage.
Identification |
Référence |
Aster |
tolérance |
\(\mathrm{DX}\) au point \(A\) |
1.10-5 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DX}\) au point \(B\) |
-1.10-5 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(A\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(B\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-12 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(O\) |
8,02.10-6 |
Analytique |
1.10-12 |
Commentaires#
Ce test valide :
le calcul de la matrice de rigidité et des vecteurs seconds membres (prise en compte de la pression répartie sur des éléments de bords quadratiques),
le sous découpage (configuration en interface droite et éléments à bords droits),
le post- traitement X-FEM des éléments \(\mathrm{P2}\) .
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: 3D .
La structure est un parallélépipédique rectangulaire sain, dans lequel une interface est introduite directement dans le fichier de commande à l’aide de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L’interface est présente à une distance \({L}_{Y}=1,8m\) du bord supérieur de la plaque.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8644
Nombre de mailles et types: 6989
dont TRIA6 : 2600
dontTETRA10 :4389
Grandeurs testées et résultats#
Les déplacements issus de l’opérateur STAT_NON_LINE sont post-traités de manière à récupérer les valeurs aux nœuds de la fissure issus du nouveau maillage.
Identification |
Référence |
Aster |
tolérance |
\(\mathrm{DX}\) sur la ligne \(\mathrm{AA}'\) |
1.10-5 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DX}\) sur la ligne \(\mathrm{BB}'\) |
-1.10-5 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(A'\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(B'\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(O\) |
8,02.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DZ}\) sur la ligne \(A'B'\) |
-2,0.10-8 |
Analytique |
1.10-10 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: 3D .
La structure est un parallélépipédique rectangulaire sain, dans lequel une interface est introduite directement dans le fichier de commande à l’aide de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L’interface est présente à une distance \({L}_{Y}=1,8m\) du bord supérieur de la plaque.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 5653
Nombre de mailles: 3800
dontSEG3 : 100
dontTRIA6 : 2400
dontQUAD8 : 100
dontPENTA15 :1200
Grandeurs testées et résultats#
Les déplacements issus de l’opérateur STAT_NON_LINE sont post-traités de manière à récupérer les valeurs aux nœuds de la fissure issus du nouveau maillage.
Identification |
Référence |
Aster |
tolérance |
\(\mathrm{DX}\) sur la ligne \(\mathrm{AA}'\) |
1.10-5 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DX}\) sur la ligne \(\mathrm{BB}'\) |
-1.10-5 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(A'\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(B'\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(O\) |
8,02.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DZ}\) sur la ligne \(A'B'\) |
-2,0.10-8 |
Analytique |
1.10-10 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation: 3D.
La structure est un parallélépipédique rectangulaire sain, dans lequel une interface est introduite directement dans le fichier de commande à l’aide de l’opérateur DEFI_FISS_XFEM [U4.82.08]. L’interface est présente à une distance \({L}_{Y}=1,8m\) du bord supérieur de la plaque.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4453
Nombre de mailles: 2000
dontSEG3 : 100
dontQUAD : 1300
dontHEXA20 :600
Grandeurs testées et résultats#
Les déplacements issus de l’opérateur STAT_NON_LINE sont post-traités de manière à récupérer les valeurs aux nœuds de la fissure issus du nouveau maillage.
Identification |
Référence |
Aster |
tolérance |
\(\mathrm{DX}\) sur la ligne \(\mathrm{AA}'\) |
1.10-5 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DX}\) sur la ligne \(\mathrm{BB}'\) |
-1.10-5 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(A'\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(B'\) |
5,52.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DY}\) au point \(O\) |
8,02.10-6 |
Analytique |
1.10-10 |
\(\mathrm{DZ}\) sur la ligne \(A'B'\) |
-2,0.10-8 |
Analytique |
1.10-10 |
Synthèse des résultats de modélisation#
Les objectifs de ce test sont atteints.
Il s’agissait de montrer la faisabilité de la prise en compte de l’enrichissement par la fonction Heaviside des fonctions de forme classiques sur des éléments quadratiques. Seul le cas d’une fissure traversant complètement la structure a été envisagé (interface).
La méthode est validée en \(\mathrm{2D}\) , \(\mathrm{P2}\) sur un maillage quadrangle.
La méthode est validée en \(\mathrm{3D}\) , \(\mathrm{P2}\) sur un maillage parallélépipédique rectangulaire.
On obtient une meilleure solution avec la modélisation C_PLAN que la modélisation 3D.