v6.04.267 SSNV267 – Sollicitation multiaxiale de la loi KICHENIN_NL : partie viscoélastique#
Résumé:
Ce test a pour but de valider l’algorithme d’intégration de la loi de comportement KICHENIN_NLpour sa partie viscoélastique non linéaire. Le problème étudié correspond à un point matériel; le mode de sollicitation est tel qu’il existe une solution analytique y compris dans le cas non linéaire.
Le problème n’est mis en œuvre qu’en 3D (modélisation A) dans la mesure où la programmation de la relation de comportement ne dépend pas de la dimension d’espace et qu’il n’existe de formulation spécifique ni pour les contraintes planes, ni pour le 1D.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On s’appuie sur la méthodologie décrite dans [1] dont on ne présente ici que les résultats nécessaires pour le test. On impose la contrainte suivante:
\(\sigma (t)=s(\frac{t}{{t}_{c}}){\sigma}^{0}+{e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\mathrm{ℂ}}^{p}:{\epsilon}^{0}+s(\frac{t}{{t}_{c}}){\mathrm{ℂ}}^{p}:{{\mathrm{ℂ}}^{v}}^{-1}:{\sigma}^{0}\)
où:
\({\sigma}^{0}\) sollicitation appliquée à l’amortisseur (paramètre d’entrée du test)
\({t}_{c}\) temps caractéristique du chargement (paramètre d’entrée du test)
\({\mathrm{ℂ}}^{p}\) et \({\mathrm{ℂ}}^{v}\) opérateurs d’élasticité des branches plastique et viscoélastique
et
\(s(\overline{t})=\min(\overline{t},1)\)
\({e}^{v}(\overline{t})=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{\overline{t}}^{\gamma +1}}{\gamma +1}& \text{si}\overline{t}\le 1\\ \frac{1}{\gamma +1}+\overline{t}-1& \text{si}\overline{t}\ge 1\end{array}\)
\({\epsilon}^{0}=\frac{{t}_{c}}{{\eta}^{\gamma}}{\left[{\sigma}^{0}:V:{\sigma}^{0}\right]}^{\frac{\gamma -1}{2}}V:{\sigma}^{0}\)
\(V:{\sigma}^{0}=(1+{\nu}^{d}){\sigma}^{0}-{\nu}^{d}\text{tr}({\sigma}^{0})I\)
La déformation en réponse à cette sollicitation est alors la suivante:
\(\epsilon (t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\epsilon}^{0}+s(\frac{t}{{t}_{c}}){{\mathrm{ℂ}}^{v}}^{-1}:{\sigma}^{0}\)
La déformation visqueuse et la déformation visqueuse équivalente valent:
\({\epsilon}^{v}(t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\epsilon}^{0}\) ; \({\epsilon}_{\mathit{eq}}^{v}(t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}})\sqrt{\frac{2}{3}{\epsilon}^{0}:{\epsilon}^{0}}\)
Résultats de référence#
On s’assurera que la déformation, la déformation visqueuse et la déformation visqueuse cumulée à l’instant \(t=2{t}_{c}\) correspondent bien aux valeurs analytiques à 1% près en découpant le chargement en 100 pas (\(\Delta t=2{t}_{c}/100\) ).
Incertitudes sur la solution#
Néant.
Références bibliographiques#
[1] E. Lorentz (2022) TUYAUTERIE 3- Relation de comportement robuste dédiée aux calculs de structure en polyéthylène. Note interne EDF 6125-1723-2022-00150.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Il s’agit d’une modélisation 3D.
Caractéristiques du maillage#
Il s’agit d’un point matériel: il n’y a aucun maillage
Grandeurs testées et résultats de la modélisation A#
On teste la déformation, la déformation visqueuse (V9 - V14) et la déformation visqueuse cumulée(V8) à l’issue du chargement.
Identification |
Référence |
Type |
Tolérance |
EPXX |
0.012 364 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
EPYY |
|
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
EPZZ |
0.000 944 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
EPXY |
0.001 903 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
EPXZ |
0.005 710 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
EPYZ |
0.009 517 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
V8 |
0.006 446 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
V9 |
0.004 936 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
V10 |
|
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
V11 |
0.000 581 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
V12 |
0.000 726 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
V13 |
0.002 177 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
V14 |
0.005 710 |
ANALYTIQUE |
RELATIF \({10}^{-2}\) |
Synthèse des résultats#
On note un très bon accord entre la modélisation et la solution de référence. Tous les écarts sont inférieurs à 1%. En outre, un essai complémentaire, réalisé en marge du test, permet de s’assurer que les écarts se réduisent lorsque le pas de temps diminue, conformément au schéma d’ordre 1 utilisé pour la discrétisation temporelle.