v6.04.124 SSNV124 - Analyse limite régularisée. Loi de Norton‑Hoff#
Résumé
Ce test permet de valider les opérateurs utilisés en analyse limite régularisée. On calcule la charge limite par une approche cinématique régularisée par la méthode de Norton-Hoff-Friaâ.
On considère une plaque rectangulaire (modélisation A) ou un cube (modélisation B) ou un cylindre axisymétrique (modélisation C). Le matériau constitutif vérifie le critère de résistance de vonMises et la structure est soumise à des chargements sur les bords. Le calcul permet d’obtenir le paramètre de la charge limite dans la direction du chargement.
La structure est modélisée par des éléments incompressibles et le chargement dont on cherche le paramètre de charge limite est normalisé (puissance unitaire).
La résolution par la méthode régularisée de Norton-Hoff-Friaâ est réalisée par pilotage dans la commande STAT_NON_LINE. Un post-traitement dans la commande POST_ELEM permet d’obtenir la valeur d’une borne supérieure de la charge limite, ainsi qu’une estimation par valeur inférieure, lorsqu’il n’y a pas de chargement constant appliqué.
La solution de référence est analytique et les résultats sont en parfait accord avec les valeurs de référence.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le matériau constitutif vérifie le critère de vonMises, avec pour seuil
. La structure est soumise à des pressions sur les bords horizontal
et vertical
avec
(
en 2D,
en 3D). En 2D plan, on envisage deux façons de faire: d’une part en amplifiant les deux pressions ensemble, d’autre part en amplifiant seulement la pression horizontale, et en laissant la pression verticale constante. En axisymétrique, le solide est soumis à la pression interne seule
. On obtient la charge limite exacte et celle par la méthode de régularisation [R7.07.01] dans cette direction de chargement, pour le critère de vonMises, avec le seuil
.
Cas plan#
La structure est soumise à des pressions sur les bords horizontal:
et vertical:
, avec:
, et on exerce un blocage en
. On considère deux façons de contrôler le chargement:
cas1: les deux pressions horizontale et verticale sont paramétrées par
,
cas2: la pression horizontale est paramétrée par
, tandis que la pression verticale est constante
, avec
.
Solution en analyse limite#
La solution est homogène (contraintes biaxées
:
,
, déformations planes
). On obtient [bib2] la charge limite dans ces directions de chargement, pour le critère de vonMises, en déformations planes, avec le seuil
:
cas1:
éq 2.2.1-1
cas2:
éq 2.2.1-2
On vérifie que si l’on prend
dans le cas2, on retrouve alors le cas1.
Solution en analyse limite régularisée#
La solution est homogène. Les déformations planes sont nécessairement de la forme:
éq 2.2.2-1
Par la loi de Norton-Hoff, le coefficient
étant donné, on obtient les contraintes déviatoriques:
éq 2.2.2-2
La normalisation (puissance unitaire) du chargement dont on cherche le paramètre de charge limite, cf. [R7.07.01] [§1.2], conduit à:
cas1:
éq 2.2.2-3
cas2:
éq 2.2.2-4
Les termes de la suite
d’approximations par excès de la charge limite dans ces deux paramétrages du chargement sont alors:
cas1:
éq 2.2.2-5
cas2:
éq 2.2.2-6
L’invariance en fonction de
observée ici (ce qui est un cas particulier) résulte du fait qu’on se trouve dans une situation isostatique. Dans le cas1, on peut aussi exploiter la suite des approximations par défaut de la charge limite
:
cas1:
éq 2.2.2-7
On obtient donc la charge limite
exacte quand
.
Dans le cas2, où la pression verticale est constante, la puissance de ce chargement «permanent» dans le déplacement solution est:
cas2:
éq 2.2.2-8
Cas axisymétrique#
En 2D axisymétrique on considère la même géométrie, mais le solide, auquel on impose un blocage axial complet, est uniquement soumis à une pression sur la paroi interne:
paramétrée par
.
Solution en analyse limite#
On obtient [bib2] la charge limite dans cette direction de chargement, pour le critère de vonMises, en axisymétrique et déformations axiales nulles, avec le seuil
:
éq 2.3.1-1
Solution en analyse limite régularisée#
La solution est homogène. Le déplacement n’étant que radial, les déformations isochores sont nécessairement de la forme:
éq 2.3.2-1
Par la loi de Norton-Hoff, le coefficient
étant donné, on obtient les contraintes déviatoriques:
éq 2.3.2-2
Les équations d’équilibres axial et radial conduisent à déterminer la contrainte moyenne:
éq 2.3.2-3
où
est une constante, qui est calculée à partir de la condition aux limites de pression nulle en paroi externe. On obtient alors les composantes des contraintes:
éq 2.3.2-4
La normalisation (puissance unitaire) du chargement dont on cherche le paramètre de charge limite, cf. [R7.07.01] [§1.2], conduit à:
.
Les termes de la suite
d’approximations par excès de la charge limite pour ce chargement sont alors:
éq 2.3.2-5
Les termes de la suite
des approximations par défaut de la charge limite pour ce chargement sont:
éq 2.3.2-6
En
, on trouve:
, c’est-à-dire la même valeur que
et
.
Cas tridimensionnel#
En 3D on considère la même géométrie, mais le solide, d’épaisseur unitaire, est libre dans la direction antiplane
. Le solide est soumis à des pressions sur les parois horizontale:
et verticale:
, avec:
. Les deux pressions horizontale et verticale sont paramétrées par
.
Solution en analyse limite#
La solution est homogène (contraintes biaxées
:
,
,
, déformations
). On obtient la charge limite dans cette direction de chargement [bib2], pour le critère de vonMises, avec le seuil
:
éq 2.4.1-1
Solution en analyse limite régularisée#
La solution est homogène. Les déformations isochores sont nécessairement de la forme:
éq 2.4.2-1
Par la loi de Norton-Hoff, le coefficient
étant donné, on obtient les contraintes déviatoriques:
;
éq 2.4.2-2
On déduit de
:
. D’où les contraintes:
.
L’équilibre du solide impose que
. On en déduit le paramètre
.
La normalisation (puissance unitaire) du chargement dont on cherche le paramètre de charge limite, cf. [R7.07.01] [§1.2], conduit à:
éq 2.4.2-3
Les termes de la suite
de bornes supérieures de la charge limite dans ce cas de chargement sont ainsi identiques à:
éq 2.4.2-4
Résultats de référence#
Modélisation |
cas |
|
|
puissance |
|
A (cas1) |
2D plan |
|
|
|
|
Abis (cas2) |
2D plan |
|
|
néant |
|
B |
3D |
|
|
|
|
C |
2D AXIS |
|
|
|
|
Modélisation |
cas |
|
|
( 
) |
( 
) |
puissance |
A |
2D plan |
11.547 |
11.547 |
9.6225 |
11.5458 |
0 |
Abis |
2D plan |
14.6837 |
14.6837 |
néant |
néant |
0.25 |
B (
|
3D |
13.8675 |
13.8675 |
11.5562 |
13.8661 |
0 |
C |
2D AXIS |
12.6857 |
12.6857 |
8.5545 |
12.6830 |
0 |
Remarque:
Code_Aster calcule la valeur opposée de la puissance du chargement «permanent» dans le déplacement solution
.
Références bibliographiques#
F.VOLDOIRE, E.LORENTZ, J.M.PROIX, E.VISSE: Calcul de charge limite par la méthode de Norton-Hoff-Friaâ. [R7.07.01].
F.VOLDOIRE, Calcul à la rupture et analyse limite des structures, note EDF HI-74/93/082.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On considère une plaque rectangulaire modélisée par un élément QUAD8 de type incompressible : miplqu8. On étudie les deux cas: le premier avec les deux charges amplifiées, le deuxième avec la pression horizontale amplifiée et la verticale constante.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 maille de type QUAD8, élément fini incompressible.
Valeurs testées#
Identification |
Cas |
Référence |
Charge limite supérieure |
|
|
Charge limite estimée (
|
|
|
Puissance chargement permanent |
|
|
NOEUD=”N3” EPSI_ELNO : EPXX |
A |
– 0.3125 |
NOEUD=”N3” EPEQ_ELNO : INVA_2 |
A |
0.360844 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On considère un cube modélisé par un élément HEXA20 de type incompressible: minc_hexa20.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20.
Nombre de mailles et types: 1 maille de type HEXA20 élément fini incompressible.
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Charge limite supérieure |
13.867505 |
Charge limite estimée (
|
11.5562 |
NOEUD=”N1” EPSI_ELNO : EPXX |
0.0407692 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On considère un cylindre modélisé par des éléments axisymétriques QUAD8 de type incompressible: miaxqu8, selon un maillage réglé.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 96
Nombre de mailles et types: 25 mailles de type QUAD8 élément fini incompressible.
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Charge limite supérieure |
12.6857 |
Charge limite estimée (
|
8.5545 |
Synthèse des résultats#
Les résultats numériques sont en parfait accord avec les valeurs de référence. Dans le cas axisymétrique, les légères différences s’expliquent par le fait que le déplacement est en
dans la solution analytique, ce qui n’est pas compris dans la base des éléments finis choisis.