v3.05.100 SSLX100 - Mélange 3D - Coque - Poutre en flexion#

Résumé:

Ce test permet de valider pour un calcul élastique linéaire:

  • un mélange de différents modèles mécaniques: modèle 3D (élément HEXA20), modèles de coque (éléments DKT, ou éléments COQUE_3D) et modèle de poutre (éléments POU_D_E),

  • des relations linéaires entre degrés de liberté, construites notamment avec les raccords [R3.03.03] et [R3.03.06].

Le test s’appuie sur la solution analytique élastique d’une poutre en flexion. Le nombre réduit d’éléments pour les différents modèles conduit à une solution médiocre, qui est cependant améliorée nettement avec l’emploi de conditions aux limites appropriées à la théorie des poutres.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Solution analytique, structure isostatique .

La flèche élastique, les contraintes et déformations axiales élastiques et le moment fléchissant en tout point d’abscisse \(x\) sont donnés par:

  • Charge n°1: force \({F}_{y}=–1\)

\({M}_{y}(x)={F}_{y}.L(1-x/L)\)

(= \(E.{I}_{z}.{u}_{y}''(x)\) en élasticité)

\({u}_{y}(x)={F}_{y}L.{x}^{2}.(3-x/L)/(6.{\mathrm{E.I}}_{z})\)

(en élasticité)

\({\varepsilon}_{xx}(x,y)=–{F}_{y}.L(1-x/L).y/({\mathrm{E.I}}_{z})\)

(en élasticité)

\({\sigma}_{xx}(x,y)=-{F}_{y}.L(1-x/L).y/{I}_{z}\)

(en élasticité)

  • Charge n°2: couple \({C}_{z}=1\) ou rotation \({\mathrm{dr}}_{z}={C}_{\mathrm{z.L}}/({\mathrm{E.I}}_{z})\)

\({M}_{y}(x)={C}_{z}\)

(= \(E.{I}_{z}.{u}_{y}''(x)\) en élasticité)

\({u}_{y}(x)={C}_{\mathrm{z.}}{x}^{2}/(2.E.{I}_{z})\)

(en élasticité)

\({\sigma}_{xx}(x,y)=–{C}_{z}.y/{I}_{z}\)

(en élasticité)

\({\varepsilon}_{xx}(x,y)=-{C}_{z}.y/(E.{I}_{z})\)

(en élasticité)

avec :

\(L=\mathrm{L1}+\mathrm{L2}+\mathrm{L3}=30\mathrm{mm}\)

\({I}_{z}=a.{h}^{3}/12=0.25{\mathrm{mm}}^{4}\)

\({\mathrm{dr}}_{z}=0.0006\)

Résultats de référence#

Flèches, contraintes et déformations axiales et moments fléchissants en 4 points de l’axe de la poutre.

Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation mixtes : 3D, DKT et POU_D_E

../../../../_images/100002010000031E0000017C3F58E1B6A3AA2804.png

Charge n°1: force \({F}_{y}\)

Encastrement total sur la section en \(O\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 28

Nombre de mailles et types: 1 HEXA20 , 4 TRIA3 / DKT , 2 SEG2/ POU_D_E

Grandeurs testées et résultats#

  • Charge n°1: force \({F}_{y}\)

Identification

Type de Référence

Référence

Tolérance ( \(\text{\%}\) )

\(\mathrm{uN}\) (nœud \(\mathrm{N1}\) )

ANALYTIQUE

1.00E-006

\(\mathrm{uM}\) (nœud \(\mathrm{N26}\) )

ANALYTIQUE

–0.0267

14.0

\(\mathrm{uA}\) (nœud \(\mathrm{N4}\) )

ANALYTIQUE

–0.0267

14.0

\(\mathrm{uC1}\) (nœud \(\mathrm{N22}\) )

ANALYTIQUE

–0.0933

8.40

\(\mathrm{uC}\) (nœud \(\mathrm{N23}\) )

ANALYTIQUE

–0.0933

8.30

\(\mathrm{uD}\) (nœud \(N28\) )

ANALYTIQUE

–0.18

6.40

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation mixte : 3D, DKT, POU_D_E et DIS_TR

../../../../_images/10000D120000298C0000136E5BF3981D11D4819E.svg

Charge n°1: force \({F}_{y}\)

Encastrement sur la section en \(O\) réalisé par une liaison 3D_POUTRE entre la face \(\mathrm{N1}\mathrm{N13}\mathrm{N19}\mathrm{N7}\) et un élément discret situé sur l’origine.

Relation supplémentaire, par rapport à la modélisation \(A\) , entre \({C}_{1}\) \({C}_{2}\) et \(C\) , introduite par LIAISON_ELEM: “COQ_POU”.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 29

Nombre de mailles et types: 1 HEXA20 , 4 TRIA3 / DKT , 2 SEG2/ POU_D_E , 1 POI1/DIS_TR , 1QUAD8 , 2 SEG2/BORD_DKT

Grandeurs testées et résultats#

  • Charge n°1: force \({F}_{y}\)

Identification

Type de Référence

Référence

Tolérance ( \(\text{\%}\) )

\(\mathit{uN}\) (nœud \(\mathit{N1}\) )

ANALYTIQUE

\(\mathit{uM}\) (nœud \(\mathit{N26}\) )

ANALYTIQUE

–0.0267

3.0

\(\mathit{uA}\) (nœud \(\mathit{N4}\) )

ANALYTIQUE

–0.0267

3.0

\(\mathit{uC1}\) (nœud \(\mathit{N22}\) )

ANALYTIQUE

–0.0933

1.0

\(\mathit{uC}\) (nœud \(\mathit{N23}\) )

ANALYTIQUE

–0.0933

1.0

\(\mathit{uD}\) (nœud \(\mathit{N29}\) )

ANALYTIQUE

–0.18

1.0

\({M}_{z}\) (nœud \(\mathit{N27}\) )

ANALYTIQUE

–10.

1.0

\({M}_{z}\) (nœud \(\mathit{N29}\) )

ANALYTIQUE

1.0

Modélisation C#

Modélisation mixte: 3D, COQUE_3D, DIS_TR, POU_D_E.

../../../../_images/10000000000004660000011DF69BDFBA90B681B5.png

  • Force \({F}_{y}\)

  • Encastrement sur la section en \(O\) réalisé par une liaison 3D_POUTRE entre la face et un élément «Face_orig» discret situé sur l’origine \(O\) .

  • Relation supplémentaire entre le COQUE_3D et la poutre par LIAISON_ELEM=”COQ_POU”.

  • Cette modélisation valide aussi la non-régression de CALC_FERAILLAGE (densité de ferraillage dans les plaques et coque) sur les COQUE_3D.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 33 .

Nombre de mailles et types: 3D / 1 HEXA20 , 1 QUAD8, COQUE_3D / 1 QUAD9, 1 SEG3 / DIS_TR / 1 POI1/ POU_D_E2 SEG2

Grandeurs testées et résultats#

Identification

Type de Référence

Référence

Tolérance ( \(\text{\%}\) )

\(\mathit{DY}\) (nœud \(\mathit{N26}\) )

ANALYTIQUE

–0.0267

3.0

\(\mathit{DY}\) (nœud \(\mathit{N4}\) )

ANALYTIQUE

–0.0267

3.0

\(\mathit{DY}\) (nœud \(\mathit{N22}\) )

ANALYTIQUE

–0.0933

1.0

\(\mathit{DY}\) (nœud \(\mathit{N23}\) )

ANALYTIQUE

–0.0933

1.0

\(\mathit{DY}\) (nœud \(\mathit{N29}\) )

ANALYTIQUE

–0.18

1.0

Moment

\({M}_{\mathit{FZ}}\) (nœud \(\mathit{N27}\) )

ANALYTIQUE

–10.

1.0

\({M}_{\mathit{FZ}}\) (nœud \(\mathit{N29}\) )

ANALYTIQUE

1.0

Ferraillage

\(\mathit{DNSXS}\) (maille \(\mathit{C1}\) )

NON-RÉGRESSION

2.30587085238E-06

1.0E-6

\(\mathit{DNSYI}\) (maille \(\mathit{C1}\) )

NON-RÉGRESSION

2.29077876872E-06

1.0E-6

\(\mathit{SIGMBE}\) (maille \(\mathit{C1}\) )

NON-RÉGRESSION

130714.081463

1.0E-6

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation mixte: C_PLAN, 2D_DIS_TR

../../../../_images/schema-mod-D.png

En \(H\) : charge n°1: force \({F}_{x}\) , charge n°2: \({F}_{y}\)

Déplacements \({u}_{x}\) et \({u}_{y}\) nuls sur le bord gauche de la partie 2D.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 179

Nombre de mailles et types: 8 SEG3, 1 SEG2, 48 QUAD8 (=12 x 4)

../../../../_images/100000000000043D000001B705C551580BE478B7.jpg

Grandeurs testées et résultats#

Identification

Type de Référence

Référence

Tolérance ( \(\text{\%}\) )

Charge 1 : force \({F}_{x}\)

\({u}_{x}(A)\) (nœud \(\mathrm{N13}\) )

ANALYTIQUE

2.50

1.0e-5

\({u}_{x}(B)\) (nœud \(\mathrm{N75}\) )

ANALYTIQUE

7.50

1.0e-5

\({u}_{x}(C)\) (nœud \(\mathrm{N131}\) )

ANALYTIQUE

12.50

1.0e-5

\({u}_{x}(D)\) (nœud \(\mathrm{N141}\) )

ANALYTIQUE

15.00

1.0e-5

\({u}_{x}(E)\) (nœud \(\mathrm{N133}\) )

ANALYTIQUE

15.00

1.0e-5

\({u}_{x}(F)\) (nœud \(\mathrm{N178}\) )

ANALYTIQUE

15.00

1.0e-5

\({u}_{x}(G)\) (nœud \(\mathrm{N125}\) )

ANALYTIQUE

15.00

1.0e-5

\({u}_{x}(H)\) (nœud \(\mathrm{N179}\) )

ANALYTIQUE

15.25

1.0e-5

Charge 2 : force \({F}_{y}\)

\({u}_{y}(A)\) (nœud \(\mathrm{N13}\) )

ANALYTIQUE

2.125e-2

1.0e-2

\({u}_{y}(B)\) (nœud \(\mathrm{N75}\) )

ANALYTIQUE

-1.6875e-1

1.0e-2

\({u}_{y}(C)\) (nœud \(\mathrm{N131}\) )

ANALYTIQUE

-4.0625

1.0e-2

\({u}_{y}(D)\) (nœud \(\mathrm{N141}\) )

ANALYTIQUE

-0.54

1.0e-2

\({u}_{y}(E)\) (nœud \(\mathrm{N133}\) )

ANALYTIQUE

-0.54

1.0e-2

\({u}_{y}(F)\) (nœud \(\mathrm{N178}\) )

ANALYTIQUE

-0.54

1.0e-2

\({u}_{y}(G)\) (nœud \(\mathrm{N125}\) )

ANALYTIQUE

-0.54

1.0e-2

\({u}_{y}(H)\) (nœud \(\mathrm{N179}\) )

ANALYTIQUE

-0.54

1.0e-2

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation G = Modélisation F (C_PLAN, 2D_DIS_TR)+ rotation de 30° à l’origine.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 179

Nombre de mailles et types: 8 SEG3, 1 SEG2, 48 QUAD8 (=12 x 4)

../../../../_images/10000000000003F8000002599FE30A3DADD507D4.jpg

Grandeurs testées et résultats#

Identification

Type de Référence

Référence

Tolérance ( \(\text{\%}\) )

Charge 1 : force \({F}_{x}\)

\({u}_{x}(A)\) (nœud \(\mathrm{N13}\) )

ANALYTIQUE

2.165064

1.0e-6

\({u}_{x}(B)\) (nœud \(\mathrm{N75}\) )

ANALYTIQUE

6.495191

1.0e-6

\({u}_{x}(C)\) (nœud \(\mathrm{N131}\) )

ANALYTIQUE

10.825318

1.0e-6

\({u}_{x}(D)\) (nœud \(\mathrm{N141}\) )

ANALYTIQUE

12.990381

1.0e-6

\({u}_{x}(E)\) (nœud \(\mathrm{N133}\) )

ANALYTIQUE

12.990381

1.0e-6

\({u}_{x}(F)\) (nœud \(\mathrm{N178}\) )

ANALYTIQUE

12.990381

1.0e-6

\({u}_{x}(G)\) (nœud \(\mathrm{N125}\) )

ANALYTIQUE

12.990381

1.0e-6

\({u}_{x}(H)\) (nœud \(\mathrm{N179}\) )

ANALYTIQUE

13.208874

1.0e-6

Charge 2 : force \({F}_{y}\)

\({u}_{y}(A)\) (nœud \(\mathrm{N13}\) )

ANALYTIQUE

-1.8403e-2

1.0e-2

\({u}_{y}(B)\) (nœud \(\mathrm{N75}\) )

ANALYTIQUE

-0.146142

1.0e-2

\({u}_{y}(C)\) (nœud \(\mathrm{N131}\) )

ANALYTIQUE

-0.351823

1.0e-2

\({u}_{y}(D)\) (nœud \(\mathrm{N141}\) )

ANALYTIQUE

-0.467654

1.5

\({u}_{y}(E)\) (nœud \(\mathrm{N133}\) )

ANALYTIQUE

-0.467654

1.0e-2

\({u}_{y}(F)\) (nœud \(\mathrm{N178}\) )

ANALYTIQUE

-0.467654

1.0e-2

\({u}_{y}(G)\) (nœud \(\mathrm{N125}\) )

ANALYTIQUE

-0.467654

1.5

\({u}_{y}(H)\) (nœud \(\mathrm{N179}\) )

ANALYTIQUE

-0.467654

1.0e-2

Remarques#

Les valeurs analytiques de déplacement sont celles de la modélisation G multipliées par le cosinus de \(30\) degrés.

Modélisation F#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation mixte: C_PLAN, POU_D_E

../../../../_images/schema-mod-F.png

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 67

Nombre de mailles et types: 8 SEG3, 1 SEG2, 16 QUAD8 (=4 x 4)

../../../../_images/1000000000000455000001C15BE066BE0281EDD9.jpg

Grandeurs testées et résultats#

Identification

Type de Référence

Référence

Tolérance ( \(\text{\%}\) )

Charge 1 : force \({F}_{x}\)

\({u}_{x}(A)\) (nœud \(\mathrm{N12}\) )

ANALYTIQUE

1.25

1.0e-6

\({u}_{x}(B)\) (nœud \(\mathrm{N13}\) )

ANALYTIQUE

2.50

1.0e-6

\({u}_{x}(C)\) (nœud \(\mathrm{N14}\) )

ANALYTIQUE

3.75

1.0e-6

\({u}_{x}(D)\) (nœud \(\mathrm{N25}\) )

ANALYTIQUE

5.00

1.0e-6

\({u}_{x}(E)\) (nœud \(\mathrm{N15}\) )

ANALYTIQUE

5.00

1.0e-6

\({u}_{x}(F)\) (nœud \(\mathrm{N66}\) )

ANALYTIQUE

5.00

1.0e-6

\({u}_{x}(G)\) (nœud \(\mathrm{N5}\) )

ANALYTIQUE

5.00

1.0e-6

\({u}_{x}(H)\) (nœud \(\mathrm{N67}\) )

ANALYTIQUE

15.00

1.0e-6

Charge 2 : force \({F}_{y}\)

\({u}_{y}(A)\) (nœud \(\mathrm{N12}\) )

ANALYTIQUE

-5.46875e-3

1.0e-2

\({u}_{y}(B)\) (nœud \(\mathrm{N13}\) )

ANALYTIQUE

-2.125e-2

1.0e-2

\({u}_{y}(C)\) (nœud \(\mathrm{N14}\) )

ANALYTIQUE

-4.640625e-2

1.0e-2

\({u}_{y}(D)\) (nœud \(\mathrm{N25}\) )

ANALYTIQUE

-0.08

1.0e-2

\({u}_{y}(E)\) (nœud \(\mathrm{N15}\) )

ANALYTIQUE

-0.08

1.0e-2

\({u}_{y}(F)\) (nœud \(\mathrm{N66}\) )

ANALYTIQUE

-0.08

1.0e-2

\({u}_{y}(G)\) (nœud \(\mathrm{N5}\) )

ANALYTIQUE

-0.08

1.0e-2

\({u}_{y}(H)\) (nœud \(\mathrm{N67}\) )

ANALYTIQUE

-0.54

1.0e-3

Synthèse des résultats#

Les cas étudiés sont:

Modélisation

Liaisons

A: 3D, DKT et POU_D_E

LIAISON_GROUP

B: 3D, DKT, POU_D_E et DIS_TR

LIAISON_GROUP; LIAISON_ELEM: 3D_POU, COQ_POU

C: 3D, COQUE_3D, POU_D_E et DIS_TR

LIAISON_GROUP; LIAISON_ELEM: 3D_POU, COQ_POU

D: C_PLAN , 2D_DIS_TR

LIAISON_ELEM: 2D_POU

E: C_PLAN , 2D_DIS_TR

LIAISON_ELEM: 2D_POU

F: C_PLAN , POU_D_E

LIAISON_ELEM: 2D_POU

  • Le maillage est très grossier en éléments 3D et plaque. Le test mérite une modélisation plus fine, étant donné que les résultats sont influencés par la façon de décrire les conditions d’encastrement en \(O\) . La modélisation \(A\) conduit à une erreur de 14% au maximum,

  • cependant avec une bonne prise en compte de ces conditions, la solution est nettement meilleure (la modélisation \(B\) conduit à une erreur de 3% maximum).

  • Les comparaisons des contraintes et efforts donnent de bons résultats (modélisation \(B\) ). Pour l’élément de coque 1D , les résultats sont très bons.