v2.02.311 SDLL311 - Réponse dynamique transitoire d’une poutre en traction sous déplacement imposé#
Résumé :
Ce problème-test correspond à une analyse transitoire linéaire d’une barre sollicitée en traction par application d’un déplacement imposé à une extrémité, l’autre extrémité étant encastrée. Le déplacement fonction du temps est de type «Heaviside» imposé à partir de l’instant initial.
Les résultats obtenus au milieu de la poutre pour une modélisation à quatre éléments sont comparés à la solution analytique du problème discrétisé par quatre éléments en ne prenant pas en compte les pics instantanés de vitesse et d’accélération à l’instant initial au niveau de l’extrémité où le déplacement est imposé.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le problème discrétisé vérifie :
,
avec indice \(l\) : degré de liberté libre
indice \(d\) : degré de liberté imposé
\({F}_{d}(t)\) chargements extérieurs appliqués aux nœuds extrémités et conduisant aux déplacements imposés \({u}_{d}\) sont inconnus, on élimine donc ces équations et on obtient :
.
Les seuls termes non nuls du second membre de ce système sont liés aux variables cinématiques relatives au nœud extrémité où le déplacement est imposé. Or, à \(t=0\) , \(\ddot{{u}_{\mathit{dC}}}\) et \(\dot{{u}_{\mathit{dC}}}\) ne sont pas définies mais à \(t={0}^{-}\) et \(t={0}^{+}\) , \(\ddot{{u}_{\mathit{dC}}}\) et \(\dot{{u}_{\mathit{dC}}}\) sont nulles. Toute la complexité du problème vient de cela.
Pour obtenir une solution de référence, nous avons considéré \(\ddot{{u}_{\mathit{dC}}}\) et \(\dot{{u}_{\mathit{dC}}}\) uniformément nulles ce qui revient à ne considérer que les forces internes élastiques à l’extrémité \(C\) . Ceci est discutable d’un point de vue physique mais, en adoptant les mêmes hypothèses lors de la modélisation du problème, la validation de Code_Aster peut être menée à bien.
On calcule la solution de référence en traitant le problème suivant :
\([{M}_{ll}]\lbrace \ddot{{u}_{l}}\rbrace +[{C}_{ll}]\lbrace \dot{{u}_{l}}\rbrace +[{K}_{ll}]\lbrace {u}_{l}\rbrace =-[{K}_{\mathit{ld}}]\lbrace {u}_{d}(t)\rbrace ` avec :math:\)lbrace {u}_{l}(0)rbrace =0` et \(\lbrace \dot{{u}_{l}}(0)\rbrace =0\) .
Pour ce faire, on transporte le problème dans la base modale du système qui vérifie :
\([{M}_{ll}]\lbrace \ddot{{u}_{l}}\rbrace +[{K}_{ll}]\lbrace {u}_{l}\rbrace =0\) .
L’amortissement étant diagonal, on obtient le système diagonal :
,
avec \(\lbrace X(0)\rbrace =0\) et \(\lbrace \dot{X}(0)\rbrace =0\) .
Dans l’espace modal, on résout donc trois équations (3 degrés de liberté libres) différentielles du second ordre puis on revient dans l’espace physique. On obtient alors le déplacement du point milieu :
\({u}_{B}(t)=\sum_{i+1}^{3}{e}^{-\lambda it}({a}_{i}\cos(\tilde{{\omega}_{i}}t)+{b}_{i}\sin(\tilde{{\omega}_{i}}t))\) ,
avec \(\tilde{{\omega}_{i}}\) : \(i\) ème pseudo-pulsation propre du système amorti.
Résultats de référence#
Déplacement, vitesse et accélération du point milieu \(B\) de la poutre.
Incertitude sur la solution#
Solution analytique du problème discrétisé en quatre éléments de longueur égale en considérant vitesse et accélération uniformément nulles au point \(C\) où le déplacement est imposé.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation en élément de poutre 3D : POU_D_T
Découpage :
\(\mathrm{AC}\) = 4 mailles SEG2 de longueur égale
Conditions limites :
Nœud \(\mathrm{N1}(A)\) encastré
DDL_IMPO \(\mathit{DX}=\mathit{DY}=\mathit{DZ}=\mathit{DRX}=\mathit{DRY}=\mathit{DRZ}=0\)
Nœud \(\mathrm{N5}(C)\) en déplacement imposé suivant \(x\)
DDL_IMPO \(\mathrm{DY}=\mathrm{DZ}=\mathrm{DRX}=\mathrm{DRY}=\mathrm{DRZ}=0\) \(\mathrm{DX}(t)=\stackrel{ˉ}{u}\)
Résolution :
Algorithme d’intégration directe de Newmark
Pas de temps : \(\Delta t={10}^{-5}s\)
Durée d’observation : \(0,03s\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœud s : 5
Nombre de mailles et type : 4 mailles SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Déplacement au point milieu \(B\)
Temps (\(s\) ) |
Déplacement Référence (\(m\) ) |
0,0054 |
87,376 e–3 |
0,0055 |
87,360 e–3 |
0,0108 |
26,818 e–3 |
0,0109 |
26,800 e–3 |
0,0163 |
64,386 e–3 |
0,0164 |
64,366 e–3 |
0,0217 |
41,083 e–3 |
0,0218 |
41,084 e–3 |
0,0271 |
55,525 e–3 |
0,0272 |
55,530 e–3 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
idem que la modélisation A
Caractéristiques du maillage#
idem que la modélisation A
Grandeurs testées et résultats#
Déplacement au point milieu \(B\)
Temps (\(s\) ) |
Déplacement Référence (\(m\) ) |
0,0054 |
87,376 e–3 |
0,0055 |
87,360 e–3 |
0,0108 |
26,818 e–3 |
0,0109 |
26,800 e–3 |
0,0163 |
64,386 e–3 |
0,0164 |
64,366 e–3 |
0,0217 |
41,083 e–3 |
0,0218 |
41,084 e–3 |
0,0271 |
55,525 e–3 |
0,0272 |
55,530 e–3 |
Synthèse des résultats#
Les résultats donnés par Code_Aster sont en parfait accord avec les résultats du modèle analytique, que le déplacement en bout poutre soit imposé par un VECTEUR ASSEMBLE ou par une CHARGE.
Attention: les questions de Dirichlet pour le calcul transitoire sur base physique avec DYNA_VIBRA ne sont compatibles qu’avec la méthode d’intégration de NEWMARK.