v3.04.100 SSLV100 - Cylindre creux en déformations planes#

Résumé:

Ce test permet de valider les éléments de déformation plane sur les fonctionnalités suivantes:

  • pression répartie,

  • matrice de rigidité,

  • déplacements imposés:

  • par degré de liberté,

  • par face d’élément.

Il comprend 4 modélisations.

Les 3 premières correspondent à des éléments de types différents (linéaires et quadratiques).

La dernière valide les déplacements imposés par face (blocage de la composante normale).

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Analytique

\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}& =& 2\nu P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\\ {\sigma}_{\mathrm{rr}}& =& P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1-\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]\\ {\sigma}_{\theta \theta }& =& P\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}\left[1+\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]\\ {\sigma}_{r\theta }& =& 0\\ {u}_{r}& =& \frac{P}{E}\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}(1+\nu )\left[(1-2\nu )+\frac{{b}^{2}}{{r}^{2}}\right]r\end{array}\)

On obtient:

Pour \(r=0.1\)

\({u}_{r}=5,72{10}^{-5}\)

Pour \(r=0.2\)

\({u}_{r}=3,64{10}^{-5}\)

\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=-60.\)

\({\sigma}_{\mathrm{rr}}=0.\)

\({\sigma}_{\theta \theta }=100.\)

\({\sigma}_{\theta \theta }=40.\)

\({\sigma}_{zz}=12.\)

\({\sigma}_{zz}=12.\)

\({\sigma}_{r\theta }=0.\)

\({\sigma}_{r\theta }=0.\)

Passage dans le système d’axes cartésiens:

\(\begin{array}{}{\sigma}_{xx}={\sigma}_{\mathrm{rr}}{\cos}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\sin}^{2}\theta -2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{yy}={\sigma}_{\mathrm{rr}}{\sin}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\cos}^{2}\theta +2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{xy}={\sigma}_{\mathrm{rr}}\sin\theta \cos\theta -{\sigma}_{\theta \theta }\sin\theta \cos\theta -2{\sigma}_{r\theta }({\cos}^{2}\theta -{\sin}^{2}\theta )\end{array}\)

avec:

  • \(\theta =0°\) aux points \(A\) et \(B\) ,

  • \(\theta =22.5°\) aux points \(C\) et \(D\) ,

  • \(\theta =45°\) aux points \(E\) et \(F\) .

Résultats de référence#

Déplacements \((u,v)\) et contraintes \(({\sigma}_{xx},{\sigma}_{yy},{\sigma}_{zz},{\sigma}_{xy})\) aux points \(A,B,C,D,E,F\) .

Références bibliographiques#

      1. FUNG. Fundations of solid mechanics. Prentice-hall, inc. Englewood Cliffs. NJ. 1965 p.243 à 245.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation : d-plan (QUAD4 + TRIA3)#

../../../../_images/1001649000002908000018E8DEED8E38FD2AA316.svg

Conditions limites:

côté \(\mathrm{AB}\)

DDL_IMPO = ( GROUP_NO = bordAB DY = 0. )

côté \(\mathrm{EF}\)

FACE_IMPO = ( GROUP_MA = faceEF DNOR = 0. )

pression sur la face \(\mathrm{AE}\)

PRES_REP = ( GROUP_MA = faceAE PRES = 60. )

Noms des nœuds:

\(A=\mathrm{N23}\)

\(B=\mathrm{N1}\)

\(C=\mathrm{N391}\)

\(D=\mathrm{N369}\)

\(E=\mathrm{N451}\)

\(F=751\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 759

Nombre de mailles et types: 704 TRIA3, 352 QUAD4

Grandeurs testées et résultats#

Remarques#

L’augmentation de l’erreur, quand on passe de \(\mathrm{AB}\) à \(\mathrm{CD}\) puis \(\mathrm{EF}\) , est imputable au maillage (densité en éléments QUAD4 inférieure à celle en TRIA3).

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation : d-plan (QUAD8 + TRIA6)#

../../../../_images/10006C760000247C00001A26D066B3A09EF7A1BF.svg

Conditions limites:

côté \(\mathrm{AB}\)

DDL_IMPO = ( GROUP_NO = bordAB DY = 0. )

côté \(\mathrm{EF}\)

FACE_IMPO = ( GROUP_MA = faceEF DNOR = 0. )

pression sur \(\mathrm{AE}\)

PRES_REP = ( GROUP_MA = faceAE PRES = 60. )

Noms des nœuds:

\(A=\mathrm{N2}\)

\(B=\mathrm{N48}\)

\(C=\mathrm{N401}\)

\(D=\mathrm{N424}\)

\(E=\mathrm{N606}\)

\(F=\mathrm{N494}\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 729

Nombre de mailles et types: 192 TRIA6, 96 QUAD8

Grandeurs testées et résultats#

Remarques#

L’évolution de l’erreur induite par le maillage suivant \(\mathrm{AB}\) , \(\mathrm{CD}\) ou \(\mathrm{EF}\) , est nettement atténuée par rapport à la modélisation A.

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation : d-plan (QUAD9)#

Conditions limites:

côté \(\mathrm{AB}\)

DDL_IMPO = ( GROUP_NO = bordAB DY = 0. )

côté \(\mathrm{EF}\)

FACE_IMPO = ( GROUP_MA = faceEF DNOR = 0. )

pression sur \(\mathrm{AE}\)

PRES_REP = ( GROUP_MA = faceAE PRES = 60. )

Noms des nœuds:

\(A=\mathrm{N1}\)

\(B=\mathrm{N47}\)

\(C=\mathrm{N351}\)

\(D=\mathrm{N374}\)

\(E=\mathrm{N569}\)

\(F=\mathrm{N423}\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 725

Nombre de mailles et types: 168 QUAD9

Grandeurs testées et résultats#

Remarques#

L’évolution de l’erreur induite par le maillage suivant \(\mathrm{AB}\) , \(\mathrm{CD}\) ou \(\mathrm{EF}\) , est nettement atténuée par rapport à la modélisation A.

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation : d-plan (QUAD4 + TRIA3)#

../../../../_images/100164E0000023C300001776276C3500BF762522.svg

Conditions limites:

côté \(\mathrm{AB}\)

DDL_IMPO : (GROUP_NO = bordAB DY = 0. )

côté \(\mathrm{EF}\)

FACE_IMPO : (GROUP_MA = faceEF DNOR = 0.)

sur

déplacement normal imposé à \(5.72E-5m\)

FACE_IMPO : (GROUP_MA = faceAE DNOR = -5.72 E-5)

Noms des nœuds:

\(A=\mathrm{N23}\)

\(B=\mathrm{N1}\)

\(C=\mathrm{N391}\)

\(D=\mathrm{N369}\)

\(E=\mathrm{N451}\)

\(F=\mathrm{N751}\)

\(H=\mathrm{N92}\)

\(G=\mathrm{N447}\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de noeuds: 759

Nombre de mailles et types: 704 TRIA3, 352 QUAD4

Grandeurs testées et résultats#

Localisation

Grandeur

Valeur de r éférence

Type de référence

Tolérance

\(C\)

Champ REAC_NODA, comp FX

0.1360

‘NON_DEFINI’

3,5%

Champ REAC_NODA, comp FY

0.056

‘NON_DEFINI’

4,1%

\(H\)

Champ REAC_NODA, comp FX

0.14686

‘NON_DEFINI’

7,4%

Champ REAC_NODA, comp FY

0.0108

‘NON_DEFINI’

7,1%

\(G\)

Champ REAC_NODA, comp FX

0.1138

‘NON_DEFINI’

0,3%

Champ REAC_NODA, comp FY

0.093

‘NON_DEFINI’

0,7%

Remarques#

On vérifie que les forces nodales de réaction sont nulles en tous les nœuds, sauf sur les nœuds de la ligne \(\mathrm{AE}\) , \(\mathrm{EF}\) et \(\mathrm{AB}\) .

Synthèse des résultats#

D_plan

modélisation

Récapitulatif des erreurs max en %

A

B

C

Déplacements

A, B C, D E, F

0.08 0.51 0.11

0.04 0.04 0.04

0.05 0.05 0.05

Contraintes \({\sigma}_{xx}\)

A, B C, D E, F

6.04 10.84 17.46

0.29 0.17 4.10–4

0.27 0.32 2.10–4

Contraintes \({\sigma}_{yy}\)

A, B C, D E, F

3.61 0.72 27.07

0.38 0.63 2.10–5

0.16 0.14 5.5.10–4

Contraintes \({\sigma}_{zz}\)

A, B C, D E, F

1.33 8.51 22.27

0.16 0.63 2.10–4

0.02 0.02 2.10–4

Contraintes \({\sigma}_{xy}\)

A, B C, D E, F

4.99 2.11

0.50 0.23

0.2 0.2

Ces 3 modélisations ont sensiblement le même nombre de nœuds; les résultats obtenus avec des éléments d’ordre 1 (modélisation A en TRIA3 et QUAD4) sont nettement moins précis, notamment sur la paroi interne.