v1.01.294 ZZZZ294 – Validation de la position des sous-points des plaques 3D#
Résumé:
Ce test valide le calcul de la position des sous-points d’intégration dans le repère global pour les modélisations DKT, DST, COQUE_3D et GRILLE_EXCENTRE. Un calcul mécanique élémentaire est réalisé afin de permettre la création d’une table avec CREA_TABLEà partir du résultat. Seules les coordonnées de quelques sous-points sont testées dans la table.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
On calcule la position des nœuds, points d’intégration et sous-points d’intégration à partir de leurs cordonnées dans les axes locaux en position finale de la plaque, et des matrices de passage entre les axes locaux et les axes globaux
La rotation autour de l’axe \(Z\) est faite à partir de la matrice suivante:
\(\mathrm{Tz}(\alpha )=\left[\begin{array}{}\cos(\alpha )\\ \sin(\alpha )\\ 0\end{array}\begin{array}{}-\sin(\alpha )\\ \cos(\alpha )\\ 0\end{array}\begin{array}{}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\)
La rotation autour de l’axe \(X'\) est faite à partir de la matrice suivante:
\(\mathrm{Tx}'(\beta )=\left[\begin{array}{}1\\ 0\\ 0\end{array}\begin{array}{}0\\ \cos(\beta )\\ \sin(\beta )\end{array}\begin{array}{}0\\ -\sin(\beta )\\ \cos(\beta )\end{array}\right]\)
Pour n’importe quel point de coordonnées initiales \((X,Y,Z)\) on peut calculer ses coordonnées exprimées dans le repère global \((X',Y',Z')\) après rotations avec la transformation suivante:
\(\left[\begin{array}{}X'\\ Y'\\ Z'\end{array}\right]=\left[\mathrm{Tz}(\alpha )\right]\left[\mathrm{Tx}'(\beta )\right]\left[\begin{array}{}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]\)
Grandeurs et résultats de référence#
On calcule la position des sous-points d’intégration dans le repère global sachant sa position exprimée dans les axes locaux.
Ici on a : \(\mathrm{Tx}'(\beta )=\left[\begin{array}{}1\\ 0\\ 0\end{array}\begin{array}{}0\\ 0.5\\ 0.866\end{array}\begin{array}{}0\\ -0.866\\ 0.5\end{array}\right]\) et \(\mathrm{Tz}(\alpha )=\left[\begin{array}{}0.866\\ 0.5\\ 0\end{array}\begin{array}{}-0.5\\ 0.866\\ 0\end{array}\begin{array}{}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\)
Pour un élément QUA4 de plaque de longueur \({L}_{X}=2.0m\) et de largeur \({L}_{Y}=1.0m\) , les positions dans le plan des point d’intégration sont, pour les modélisations A et B (DKT et DST) qui possèdent 4 points d’intégration (voir R3.01.01) :
Point |
\(x\) |
\(y\) |
1 |
0.42264973081037416 |
0.21132486540518708 |
2 |
1.5773502691896257 |
0.21132486540518708 |
3 |
1.5773502691896257 |
0.78867513459481287 |
4 |
0.42264973081037416 |
0.78867513459481287 |
Et pour la modélisation C (COQUE_3D) qui possède 9 points d’intégration (voir R3.01.01) :
Point |
\(x\) |
\(y\) |
1 |
0.22540333075851704 |
0.11270166537925852 |
2 |
1.774596669241483 |
0.11270166537925852 |
3 |
1.774596669241483 |
0.88729833462074148 |
4 |
0.22540333075851704 |
0.88729833462074148 |
5 |
1 |
0.11270166537925852 |
6 |
1.774596669241483 |
0.5 |
7 |
1 |
0.88729833462 074148 |
8 |
0.22540333075851704 |
0.5 |
9 |
1 |
0.5 |
L’épaisseur \(\mathit{EP}=0.5m\) , est discrétisée en 4 couches, ce qui fait 12 sous-points dont les hauteurs par rapport au plan moyen (sauf cas modélisation D GRILLE_EXCENTREE) sont :
Sous-point |
\(z\) |
Sous-point |
\(z\) |
1 |
-0.250 |
7 |
0.000 |
2 |
-0.1875 |
8 |
0.0625 |
3 |
-0.125 |
9 |
0.125 |
4 |
-0.125 |
10 |
0.125 |
5 |
-0.0625 |
11 |
0.1875 |
6 |
0.000 |
12 |
0.250 |
Pour le cas de la modélisation D (GRILLE_EXCENTRE), avec un excentrement de 0.05, la position des points et du sous-point dans le plan des points d’intégration est :
Point |
Sous-Point |
\(x\) |
\(y\) |
\(z\) |
1 |
1 |
0.42264973081037416 |
0.21132486540518708 |
0.05 |
2 |
1 |
1.5773502691896257 |
0.21132486540518708 |
0.05 |
3 |
1 |
1.5773502691896257 |
0.78867513459481287 |
0.05 |
4 |
1 |
0.42264973081037416 |
0.78867513459481287 |
0.05 |
Incertitudes sur la solution#
Aucune, solution exacte.
Modélisation A#
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est composé d’une maille type QUAD4 avec quatre nœuds (\(\mathit{N1}\) , \(\mathit{N2}\) , \(\mathit{N3}\) et \(\mathit{N4}\) ).
Pour chaque maille, il y a 4 points d’intégration
Le groupe de nœuds \(\mathit{ENC}\) est composé des nœuds \(\mathit{N1}\) et \(\mathit{N2}\)
Le groupe de nœuds \(\mathit{CHA}\) est composé dus nœuds \(\mathit{N3}\) et \(\mathit{N4}\)
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation:
MO=AFFE_MODELE(MAILLAGE=MA,
AFFE=_F(TOUT=”OUI”, PHENOMENE=”MECANIQUE”,
MODELISATION=”DKT”,),
)
Conditions aux limites:
BLOCAGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
DDL_IMPO=_F(GROUP_NO=”ENC”,
DX=0.0, DY=0.0, DZ=0.0, DRX=0.0, DRY=0.0, DRZ=0.0,),
)
Chargement mécanique :
CHARGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
FORCE_NODALE=_F(GROUP_NO=”CHA”,FX = 0,FY = 0,FZ = -100.),
)
Affectation des caractéristiques des éléments:
PLAQUE=AFFE_CARA_ELEM(MODELE=MO,
COQUE=_F(GROUP_MA=(“PLA”), EPAIS = 0.5, COQUE_NCOU = 4,),
)
Valeurs testées et résultats#
Coordonnée maille QUA1 |
Point d’intégration |
sous-point |
Référence |
COOR_X |
1 |
1 |
0.204941012 |
COOR_X |
1 |
2 |
0.232004306 |
COOR_X |
1 |
3 |
0.2590676 |
COOR_X |
1 |
4 |
0.2590676 |
COOR_X |
1 |
5 |
0.286130894 |
COOR_X |
1 |
6 |
0.313194187 |
COOR_X |
1 |
7 |
0.313194187 |
COOR_X |
1 |
8 |
0.340257481 |
COOR_X |
1 |
9 |
0.367320775 |
COOR_X |
1 |
10 |
0.367320775 |
COOR_X |
1 |
11 |
0.394384069 |
COOR_X |
1 |
12 |
0.421447363 |
COOR_Y |
1 |
1 |
0.490331216 |
COOR_Y |
1 |
2 |
0.443456216 |
COOR_Y |
1 |
3 |
0.396581216 |
COOR_Y |
1 |
4 |
0.396581216 |
COOR_Y |
1 |
5 |
0.349706216 |
COOR_Y |
1 |
6 |
0.302831216 |
COOR_Y |
1 |
7 |
0.302831216 |
COOR_Y |
1 |
8 |
0.255956216 |
COOR_Y |
1 |
9 |
0.209081216 |
COOR_Y |
1 |
10 |
0.209081216 |
COOR_Y |
1 |
11 |
0.162206216 |
COOR_X |
1 |
12 |
0.115331216 |
COOR_Z |
1 |
1 |
0.058012702 |
COOR_Z |
1 |
2 |
0.089262702 |
COOR_Z |
1 |
3 |
0.120512702 |
COOR_Z |
1 |
4 |
0.120512702 |
COOR_Z |
1 |
5 |
0.151762702 |
COOR_z |
1 |
6 |
0.183012702 |
COOR_Z |
1 |
7 |
0.183012702 |
COOR_Z |
1 |
8 |
0.214262702 |
COOR_z |
1 |
9 |
0.245512702 |
COOR_Z |
1 |
10 |
0.245512702 |
COOR_Z |
1 |
11 |
0.276762702 |
COOR_Z |
1 |
12 |
0.308012702 |
La tolérance est de \(1.0E-03\) pour tous les tests.
Modélisation B#
Caractéristiques du maillage#
Maillage: le maillage est composée d’une maille type QUAD4 avec quatre nœuds (\(\mathit{N1}\) , \(\mathit{N2}\) , \(\mathit{N3}\) et \(\mathit{N4}\) ).
Pour chaque maille, il y a 4 points d’intégration :
Le groupe de nœuds \(\mathit{ENC}\) est composé des nœuds \(\mathit{N1}\) et \(\mathit{N2}\)
Le groupe de nœuds \(\mathit{CHA}\) est composé dus nœuds \(\mathit{N3}\) et \(\mathit{N4}\)
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation:
MO=AFFE_MODELE( MAILLAGE=MA,
AFFE=_F(TOUT=”OUI”, PHENOMENE=”MECANIQUE”,
MODELISATION=”DST”,),)
Conditions aux limites:
BLOCAGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
DDL_IMPO=_F(GROUP_NO=”ENC”,
DX=0.0, DY=0.0, DZ=0.0, DRX=0.0, DRY=0.0, DRZ=0.0,),
)
Chargement mécanique :
CHARGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
FORCE_NODALE=_F(GROUP_NO=”CHA”,FX = 0,FY = 0,FZ = -100.),
)
Affectation des caractéristiques des éléments:
PLAQUE=AFFE_CARA_ELEM(MODELE=MO,
COQUE=_F(GROUP_MA=(“PLA”), EPAIS= 0.5, COQUE_NCOU = 4,),
)
Valeurs testées et résultats#
Coordonnée maille QUA1 |
Point d’intégration |
sous-point |
Référence |
COOR_X |
1 |
1 |
0.204941012 |
COOR_X |
1 |
2 |
0.232004306 |
COOR_X |
1 |
3 |
0.2590676 |
COOR_X |
1 |
4 |
0.2590676 |
COOR_X |
1 |
5 |
0.286130894 |
COOR_X |
1 |
6 |
0.313194187 |
COOR_X |
1 |
7 |
0.313194187 |
COOR_X |
1 |
8 |
0.340257481 |
COOR_X |
1 |
9 |
0.367320775 |
COOR_X |
1 |
10 |
0.367320775 |
COOR_X |
1 |
11 |
0.394384069 |
COOR_X |
1 |
12 |
0.421447363 |
COOR_Y |
1 |
1 |
0.490331216 |
COOR_Y |
1 |
2 |
0.443456216 |
COOR_Y |
1 |
3 |
0.396581216 |
COOR_Y |
1 |
4 |
0.396581216 |
COOR_Y |
1 |
5 |
0.349706216 |
COOR_Y |
1 |
6 |
0.302831216 |
COOR_Y |
1 |
7 |
0.302831216 |
COOR_Y |
1 |
8 |
0.255956216 |
COOR_Y |
1 |
9 |
0.209081216 |
COOR_Y |
1 |
10 |
0.209081216 |
COOR_Y |
1 |
11 |
0.162206216 |
COOR_X |
1 |
12 |
0.115331216 |
COOR_Z |
1 |
1 |
0.058012702 |
COOR_Z |
1 |
2 |
0.089262702 |
COOR_Z |
1 |
3 |
0.120512702 |
COOR_Z |
1 |
4 |
0.120512702 |
COOR_Z |
1 |
5 |
0.151762702 |
COOR_z |
1 |
6 |
0.183012702 |
COOR_Z |
1 |
7 |
0.183012702 |
COOR_Z |
1 |
8 |
0.214262702 |
COOR_z |
1 |
9 |
0.245512702 |
COOR_Z |
1 |
10 |
0.245512702 |
COOR_Z |
1 |
11 |
0.276762702 |
COOR_Z |
1 |
12 |
0.308012702 |
La tolérance est de \(1.0E-03\) pour tous les tests.
Modélisation C#
Caractéristiques du maillage#
Maillage: le maillage est composé d’une maille type QUAD9 avec neuf nœuds (\(\mathit{N1}\) , \(\mathit{N2}\) , \(\mathit{N3}\) , \(\mathit{N4}\) , \(\mathit{N5}\) , \(\mathit{N6}\) , \(\mathit{N7}\) , \(\mathit{N8}\) , \(\mathit{N9}\) ).
Pour chaque maille, il y a 9 points d’intégration.
Le groupe de nœuds \(\mathit{ENC}\) est composé des nœuds \(\mathit{N1}\) et \(\mathit{N2}\)
Le groupe de nœuds \(\mathit{CHA}\) est composé des nœuds \(\mathit{N3}\) et \(\mathit{N4}\)
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation:
MO=AFFE_MODELE( MAILLAGE=MA,
AFFE=_F(TOUT=”OUI”, PHENOMENE=”MECANIQUE”,
MODELISATION=”COQUE_3D”,),)
Conditions aux limites:
BLOCAGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
DDL_IMPO=_F(GROUP_NO=”ENC”,
DX=0.0, DY=0.0, DZ=0.0, DRX=0.0, DRY=0.0, DRZ=0.0,),
)
Chargement mécanique :
CHARGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
FORCE_NODALE=_F(GROUP_NO=”CHA”,FX = 0,FY = 0,FZ = -100.),
)
Affectation des caractéristiques des éléments:
PLAQUE=AFFE_CARA_ELEM(MODELE=MO,
COQUE=_F(GROUP_MA=(“PLA”), EPAIS = 0.5, COQUE_NCOU = 4,),
)
Valeurs testées et résultats#
Coordonnée maille QUA1 |
Point d’intégration |
sous-point |
Référence |
COOR_X |
1 |
1 |
0.058776419 |
COOR_X |
1 |
2 |
0.085839713 |
COOR_X |
1 |
3 |
0.112903006 |
COOR_X |
1 |
4 |
0.112903006 |
COOR_X |
1 |
5 |
0.139966300 |
COOR_X |
1 |
6 |
0.167029594 |
COOR_X |
1 |
7 |
0.167029594 |
COOR_X |
1 |
8 |
0.194092888 |
COOR_X |
1 |
9 |
0.221156182 |
COOR_X |
1 |
10 |
0.221156182 |
COOR_X |
1 |
11 |
0.248219476 |
COOR_X |
1 |
12 |
0.275282770 |
COOR_Y |
1 |
1 |
0.349002918 |
COOR_Y |
1 |
2 |
0.302127918 |
COOR_Y |
1 |
3 |
0.2552529180 |
COOR_Y |
1 |
4 |
0.2552529180 |
COOR_Y |
1 |
5 |
0.2083779180 |
COOR_Y |
1 |
6 |
0.1615029180 |
COOR_Y |
1 |
7 |
0.1615029180 |
COOR_Y |
1 |
8 |
0.1146279180 |
COOR_Y |
1 |
9 |
0.0677529180 |
COOR_Y |
1 |
10 |
0.0677529180 |
COOR_Y |
1 |
11 |
0.0208779180 |
COOR_Y |
1 |
12 |
-0.025997082 |
COOR_Z |
1 |
1 |
-0.027397495 |
COOR_Z |
1 |
2 |
3.852505E-03 |
COOR_Z |
1 |
3 |
0.0351025050 |
COOR_Z |
1 |
4 |
0.0351025050 |
COOR_Z |
1 |
5 |
0.0663525050 |
COOR_z |
1 |
6 |
0.0976025050 |
COOR_Z |
1 |
7 |
0.0976025050 |
COOR_Z |
1 |
8 |
0.1288525050 |
COOR_z |
1 |
9 |
0.1601025050 |
COOR_Z |
1 |
10 |
0.1601025050 |
COOR_Z |
1 |
11 |
0.1913525050 |
COOR_Z |
1 |
12 |
0.2226025050 |
COOR_Z |
9 |
1 |
0.3080127020 |
COOR_Z |
9 |
2 |
0.3392627020 |
COOR_Z |
9 |
3 |
0.3705127020 |
COOR_Z |
9 |
4 |
0.3705127020 |
COOR_Z |
9 |
5 |
0.4017627020 |
COOR_z |
9 |
6 |
0.4330127020 |
COOR_Z |
9 |
7 |
0.4330127020 |
COOR_Z |
9 |
8 |
0.4642627020 |
COOR_z |
9 |
9 |
0.4955127020 |
COOR_Z |
9 |
10 |
0.4955127020 |
COOR_Z |
9 |
11 |
0.5267627020 |
COOR_Z |
9 |
12 |
0.5580127020 |
La tolérance est de \(1.0E-03\) pour tous les tests.
Modélisation D#
Caractéristiques du maillage#
Maillage: le maillage est composé de deux mailles superposées de type QUAD4 avec quatre nœuds (\(\mathit{N1}\) , \(\mathit{N2}\) , \(\mathit{N3}\) , \(\mathit{N4}\) ). Une des mailles est destinée à modéliser un élément DKT et l’autre est destinée à modéliser un élément GRILLE_EXCENTRE.
La maille de grille excentrée possède quatre points d’intégration et un seul sous-point.
Le groupe de nœuds \(\mathit{ENC}\) est composé des nœuds \(\mathit{N1}\) et \(\mathit{N2}\)
Le groupe de nœuds \(\mathit{CHA}\) est composé dus nœuds \(\mathit{N3}\) et \(\mathit{N4}\)
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation:
MO=AFFE_MODELE(MAILLAGE=MA,
AFFE=(
_F(GROUP_MA=”PLA”, PHENOMENE=”MECANIQUE”, MODELISATION=”DKT”),
_F(GROUP_MA=”GRI”, PHENOMENE=”MECANIQUE”,
MODELISATION=”GRILLE_EXCENTRE”,))
)
Conditions aux limites:
BLOCAGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
DDL_IMPO=_F(GROUP_NO=”ENC”,
DX=0.0, DY=0.0, DZ=0.0, DRX=0.0, DRY=0.0, DRZ=0.0,),
)
Chargement mécanique :
CHARGE=AFFE_CHAR_MECA(MODELE=MO,
FORCE_NODALE=_F(GROUP_NO=”CHA”,FX = 0,FY = 0,FZ = -100.),
)
Affectation des caractéristiques des éléments:
PLAQUE=AFFE_CARA_ELEM(MODELE=MO,
COQUE=_F(GROUP_MA=(“PLA”),EPAIS=0.05,),
GRILLE=_F(GROUP_MA=(“GRI”), SECTION = 0.01, EXCENTREMENT = 0.05,
ANGL_REP=(10,10),),
)
Valeurs testées et résultats#
Coordonnée maille QUA2 |
Point d’intégration |
sous-point |
Référence |
COOR_X |
1 |
1 |
0.334844823 |
COOR_Y |
1 |
1 |
0.265331216 |
COOR_Z |
1 |
1 |
0.208012702 |
La tolérance est de \(1.0E-03\) pour tous les tests.
Synthèse des résultats#
Ce test a pour but principal de vérifier si les positions des sous points d’intégration de la modélisation DKT, DST, COQUE_3D et GRILLE_EXCENTRE sont bien calculées.
Pour cette modélisation, l’erreur maximale trouvé est de \(3.0E-07\text{\%}\) .