v2.02.011 SDLL11 - Anneau circulaire mince libre-libre#

Résumé:

Ce cas-test permet de tester les fréquences et les modes de vibration d’un anneau circulaire en libre-libre.

Huit modélisations sont effectuées, pour chacune d’entre elle on précise la modélisation et le type de maille testées.

La méthode de recherche des fréquences propres utilisée est la méthode de Sorensen pour les modélisations A, B, C, D, E, F, G, K et la méthode de Lanczos pour la modélisation I.

Modélisations 3D
- Modélisation \(A\) : maille HEXA20
- Modélisation \(B\) : maille HEXA8
- Modélisation \(C\) : maille PENTA15
- Modélisation \(D\) : maille TETRA10
Modélisation POU_D_T
- Modélisation \(E\) : maille SEG2
Modélisations 2D
- Modélisation \(F\) : maille QUAD8
- Modélisation \(G\) : maille QUAD8
- Modélisation \(I\) : maille QUAD8
Modélisation COQUE_SOLIDE
- modélisation \(K\) : maille HEXA9

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Modes de vibration dans le plan

Pour ces modes de vibration, l’équation de flexion des poutres courbes de V. Boussinesq (1883), sans extension de la fibre neutre conduit à:

(4681)#\[{f}_{i}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{(\frac{{i}^{2}{({i}^{2}-1)}^{2}}{{i}^{2}+1}\times \frac{{\mathit{EI}}_{Z}}{\rho {\mathit{AR}}^{4}})}\]

La solution de référence est établie pour des arcs minces tels que \(\alpha R\ge 100\sqrt{(\frac{{I}_{z}}{A})}\) avec \(\alpha\) , angle au centre en radians.

Modes de vibration hors plan

Pour les modes de vibrations transverses avec section rectangulaire, la solution a été établie à partir du résultats de deux codes de calculs, utilisant des formulations différentes.

Modes propres dans le plan (coordonnées polaires \((i,\theta )\) )

Modes propres hors plan

Symétriques \({u}_{i}^{'}=i\cos(i\theta )\) \({v}_{i}^{'}=\sin(i\theta )\)

../../../../_images/10000200000000A1000001E40D47DF5F899015DD.png

\({\theta}_{i}^{'}=-\frac{1-{i}^{2}}{R}\sin(i\theta )\)

\(i=0\) Rotation d’ensemble

\(i=1\) translation d’ensemble

\(i=2\)

\(i=3\)

Antisymétriques \({u}_{i}^{'}=i\sin(i\theta )\) \({v}_{i}^{'}=-\cos(i\theta )\) \({\theta}_{i}^{'}=-\frac{1-{i}^{2}}{R}\cos(i\theta )\)

../../../../_images/10000200000000A8000001F385C32AFB0B5097BF.png

\(i=0\)

\(i=1\)

\(i=2\)

\(i=3\)

\(i=4\)

Grandeur de référence#

\(\mathrm{FREQ}\) : fréquence

Grandeur et résultat de référence#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)
Modes transverses	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(511.\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(1590.\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(3184.\)

Références bibliographiques#

[bib1] Guide de Validation des Progiciels de Calculs des Structures: SFM, AFNOR technique, ISBN: 2-12-486611-7

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation A#

Modélisation 3D

Nombre de nœuds	\(2952\)
Nombre de mailles	\(432\)	HEXA20

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	\(0.1\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	\(0.3\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	\(0.5\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	\(0.8\)
Modes transverses	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(511.\)	\(0.7\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(1590.\)	\(1.4\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(3184.\)	\(2.3\)

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation B#

Modélisation 3D:

Nombre de nœuds	\(12800\)
Nombre de mailles	\(7200\)	HEXA8

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	\(1.8\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	\(1.6\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	\(1.35\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	\(1.\)
Modes transverses	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(511.\)	\(1.7\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(1590.\)	\(0.4\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(3184.\)	\(0.8\)

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation C#

Modélisation 3D:

Nombre de nœuds	\(3528\)
Nombre de mailles	\(864\)	PENTA15

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	\(0.1\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	\(0.2\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	\(0.35\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	\(0.6\)
Modes transverses	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(511.\)	\(0.7\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(1590.\)	\(1.4\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(3184.\)	\(2.3\)

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation D#

Modélisation 3D:

Nombre de nœuds	\(5824\)
Nombre de mailles	\(2728\)	TETRA10

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance (%)
	Composante	i	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance (%)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	0.1
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	0.2
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	0.4
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	0.7
Modes transverses	\(\mathit{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(511.\)	0.25
		\(3\)	\(6,7\)	\(1590.\)	1.1
		\(4\)	\(8,9\)	\(3184.\)	2.0

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation POU_D_T:

Nombre de nœuds	\(72\)
Nombre de mailles	\(72\)	SEG2

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	\(0.25\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	\(0.6\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	\(1.1\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	\(1.7\)
Modes transverses	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(511.\)	\(0.85\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(1590.\)	\(1.5\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(3184.\)	\(2.4\)

Modélisation F#

Caractéristiques de la modélisation F#

Modélisation D_PLAN:

Nombre de nœuds	\(288\)
Nombre de mailles	\(72\)	QUAD8

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	\(1.4\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	\(1.6\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	\(1.7\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	\(2.0\)

Modélisation G#

Caractéristiques de la modélisation G#

Modélisation C_PLAN:

Nombre de nœuds	\(293\)
Nombre de mailles	\(72\)	QUAD8

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	\(1.4\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	\(1.6\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	\(1.7\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	\(2.0\)

Modélisation I#

Caractéristiques de la modélisation I#

Modélisation C_PLAN:

Nombre de nœuds	\(293\)
Nombre de mailles	\(72\)	QUAD8

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
	Composante	\(i\)	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance \((\text{\%})\)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	\(1.4\)
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	\(1.6\)
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	\(1.7\)
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	\(2.0\)

Modélisation K#

Caractéristiques de la modélisation K#

Modélisation COQUE_SOLIDE:

Nombre de nœuds	\(2400\)
Nombre de mailles	\(900\)	HEXA9

Grandeurs testées et résultats#

	Composante	Nature du mode propre		Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance (%)
	Composante	i	ordre	Référence \((\mathrm{Hz})\)	Tolérance (%)
Modes dans le plan	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(318.36\)	0,1
		\(3\)	\(6,7\)	\(900.46\)	0,26
		\(4\)	\(8,9\)	\(1726.55\)	0, 5
		\(5\)	\(10,11\)	\(2792.21\)	0, 9
Modes transverses	\(\mathrm{FREQ}\)	\(2\)	\(4,5\)	\(511.\)	1,23
		\(3\)	\(6,7\)	\(1590.\)	0,42
		\(4\)	\(8,9\)	\(3184.\)	1,75

On teste également l’option MASS_INER de la commande POST_ELEM. La masse totale de l’anneau est facile à évaluer analytiquement:

(4682)#\[m=\rho \pi \times \left({R}_{\text{ext}}^{2}-{R}_{int}^{2}\right)\times b=0,0848230016469242\mathit{kg}\]

Masse	Référence	Précision
\(m\)	ANALYTIQUE	0,0074%

L’erreur (très faible) vient simplement de l’approximation de la courbure par les éléments linéaires.

Synthèse des résultats#

Les résultats obtenus sont satisfaisants.