v7.22.100 HSNV100 - Thermoplasticité en traction simple#
Résumé:
Ce test traite la thermo-plasticité de Von Mises avec écrouissage isotrope sur un problème tridimensionnel (modélisation \(A\) en axisymétrique) et bidimensionnel (modélisation \(B\) en contraintes planes). L’intérêt du test tient à la dépendance de la limite d’élasticité avec la température. Il permet également de tester l’orthotropie en thermo-élasticité car il s’applique à un matériau isotrope puis à un matériau isotrope déclaré orthotrope.
On y teste aussi le calcul de l’énergie de déformation.
Deux modélisations ( \(C\) avec élément TUYAU, \(D\) avec élément TUYAU_6M) sont ajoutées pour tester la thermoplasticité dans ces éléments.
La modélisation \(E\) permet de tester la bonne prise en compte de la variation des coefficients du comportement VMIS_CINE_LINE avec la température (axisymétrique).
La modélisation \(F\) permet de tester le calcul de l’énergie de déformation thermoélastique dans les poutres (modélisation POU_D_T).
La modélisation \(G\) permet de tester les mêmes fonctionnalités que les modélisations \(A\) et \(B\) , mais avec une modélisation 3D.
Les modélisations \(H\) et \(I\) permettent de tester, en modélisation 3D et en contraintes planes, un chargement initial en champ de déformations anélastiques. Celui-ci est équivalent à une déformation thermique.
La modélisation \(J\) est issue de la modélisation \(G\) , et permet de valider les fonctionnalités de SIMU_POINT_MAT en thermo-plasticité.
La modélisation \(K\) est issue de la modélisation \(A\) , et permet de valider l’option AFFE_CHAR_TEMP_R de la modélisation AXIS_INCO_UPG avec DEFORMATION=”PETIT”. Même chose pour les modélisations \(L\) et \(M\) mais pour 3D_INCO_UPG avec DEFORMATION=”PETIT”.
La modélisation \(N\) est issue de la modélisation \(A\) , et permet de valider l’option AFFE_CHAR_TEMP_R de la modélisation AXIS_INCO_UP. Même chose pour les modélisations \(O\) et \(P\) mais pour 3D_INCO_UP.
La modélisation \(Q\) est issue de la modélisation \(A\) , et permet de valider l’option AFFE_CHAR_TEMP_R de la modélisation AXIS_INCO_UPG avec DEFORMATION=”SIMO_MIEHE”. Même chose pour les modélisations \(R\) et \(S\) mais pour 3D_INCO_UPG avec DEFORMATION=”SIMO_MIEHE”.
La modélisation \(T\) est issue de la modélisation \(A\) , et permet de valider l’option AFFE_CHAR_TEMP_R de la modélisation AXIS_INCO_UPG avec DEFORMATION=”GDEF_LOG”. Même chose pour les modélisations \(U\) et \(V\) mais pour 3D_INCO_UPG avec DEFORMATION=”GDEF_LOG”.
La modélisation \(W\) est issue de la modélisation \(A\) , et permet de valider l’option AFFE_CHAR_TEMP_R de la modélisation AXIS_INCO_UP. Même chose pour les modélisations \(X\) et \(Y\) mais pour 3D_INCO_UP.
La modélisation \(Z\) est issue de la modélisation \(A\) , et permet de valider le couplage de code en MPI.
La solution est analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Solution analytique a été déterminée par F. Voldoire (EDF R&D / AMA):
Cas axisymétrique ( \(\mathrm{2D}\) )
Champs de déplacement \(u={U}_{r}(r){e}_{r}\) (blocage en \(z\) )
Champs de déformation : \(\varepsilon (u)=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{r}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{{u}_{r}}{r}\end{array}\right)\) selon \(\left(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array}\right)\)
Champs de contraintes : \(\sigma (u)={\sigma}_{l}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\) (cf. conditions aux limites) selon \(\left(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array}\right)\)
Cas parallélépipédique
Champs de déplacement \(u={U}_{x}(x){e}_{x}+{U}_{y}(y){e}_{y}\) (blocage en \(z\) )
Champs de déformation : \(\varepsilon (u)=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{x}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {u}_{y}'\end{array}\right)\) selon \(\left(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array}\right)\)
Champs de contraintes : \(\sigma (u)=\sigma \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\) (cf. conditions aux limites) selon \(\left(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array}\right)\)
Le cas pourra être étudié en contraintes planes et en \(\mathrm{3D}\) .
\(2\nu =\frac{E}{(1+\nu )}\) \(K=\frac{E}{(1-2\nu )}\)
La loi de comportement s’écrit (variable interne scalaire \(p\) ):
\(\varepsilon =\frac{1}{\mathrm{9K}}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}+\frac{1}{2\mu }{\sigma}^{D}+{\varepsilon}^{P}+\alpha (T–{T}^{0})\mathrm{Id}\)
avec : \({\sigma}^{D}=\sigma –\frac{1}{3}\mathrm{tr}(\sigma )\mathrm{Id}\) (déviateur des contraintes)
\({\dot{\sigma}}^{P}=\frac{3}{2}\dot{p}\frac{{\sigma}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}\text{et}∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=\sqrt{\frac{3}{2}{\sigma}^{D}.{\sigma}^{D}}\)
\(\dot{p}=0\) si \(f(\sigma ,p)=∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥–R(p)<0\)
\(\dot{p}\ge 0\) si \(f(\sigma ,p)=0\)
\(R(p)\) désigne la fonction d’écrouissage: \(R(p)={\sigma}_{y}+\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}p\)
Le taux \(\dot{p}\) peut être exprimé, lorsque \(f(\sigma ,p)=0\) . En effet, de \(\dot{p}f\) identiquement nul, on tire: \(\dot{p}\dot{f}+\ddot{p}f=0\)
Ainsi, quand on est sur le critère , nécessairement \(\dot{f}=0\) . C’est‑à-dire:
\(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}.{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathit{éq}}∥}–\frac{\partial R}{\partial T}.\dot{T}–\frac{\partial R}{\partial p}\dot{p}=0\)
\(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}.{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathit{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T}-\frac{{\mathit{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}\dot{p}=0\)
D’où:
\(\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}\left(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T}\right)\) si \(\dot{p}\ge 0\) , pour \(∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=R(p)\)
Le champ de contraintes étant uniaxial, on a:
\({\sigma}^{D}=\frac{{\sigma}_{L}}{3}\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\)
Ainsi:
\(∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=∣{\sigma}_{L}∣\)
et:
\({\dot{\varepsilon}}^{P}=\frac{\dot{p}}{2}.\mathrm{sgn}({\sigma}_{L}).\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\)
La relation de comportement conduit à:
\(\left\{ \begin{array}{c}\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-\nu }{E}\dot{{\sigma}_{L}}-\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}(={\dot{\varepsilon}}_{xx}={\dot{\varepsilon}}_{yy}\text{pour le cas du parallélépipède})\\ \dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-\nu }{E}\dot{{\sigma}_{L}}-\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}\end{array}\right.\)
D’où:
\(\left\{ \begin{array}{c}\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-3}{2}\alpha \dot{T}+\frac{1-2\nu }{2E}\dot{{\sigma}_{L}}\\ \dot{p}=\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})(-\alpha \dot{T}-\frac{\dot{{\sigma}_{L}}}{E})=0\text{si}∣{\sigma}_{L}∣<R(p)\\ \dot{p}=\mathrm{Max}[0,\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T})]\text{sinon}\end{array}\right.\)
C’est-à-dire, dans le cas \(∣{\sigma}_{L}∣=R(p)\) (critère atteint):
\(\dot{p}=\max\left[0,\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}.{\dot{\sigma}}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T})\right]\)
Phase élastique#
Au début du chargement thermique, \(∣{\sigma}_{L}∣\) étant inférieur à \({\sigma}_{y}\) , \(\dot{p}\) est nul.
D’où: \(\dot{{\sigma}_{L}}=-E\alpha \dot{T};\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\alpha \dot{T}(1+\nu )\)
Ainsi: \(\left\{ \begin{array}{c}{\sigma}_{L}=-E\alpha \theta t\\ {\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t\end{array}\right.\) (compression \({\sigma}_{L}<0\) )
Ceci correspond à la solution de référence pour le test de l’élasticité orthotrope
Validité de la solution élastique
Le critère est: \(∣{\sigma}_{L}(t)∣-{\sigma}_{y}(t)=E=\theta t-{\sigma}_{y}^{o}(1-s\theta t)\le 0\)
Le critère n’est pas franchi pour \(t=[0,{t}_{y}]\) , avec: \({t}_{y}=\frac{{\sigma}_{y}^{o}}{\theta (E\alpha +{\sigma}_{y}^{o}s)}\)
A l’instant \({t}_{y}\) : \({\sigma}_{L}({t}_{y})=\frac{-E\alpha {\sigma}_{y}^{o}}{E\alpha +{\sigma}_{y}^{o}s}\)
La densité d’énergie de déformation vaut: \(w({t}_{y})=\frac{-1}{2}E{(\alpha \theta )}^{2}\)
Dans le cas parallélépipédique on a :\(w({t}_{y})=\frac{-1}{2}E{(\alpha \theta )}^{2.}({x}_{B}-{x}_{A})H\)
Dans le cas axisymétrique on a: \(w({t}_{y})=\frac{-1}{2}E{(\alpha \theta )}^{2}.\frac{({r}_{B}^{2}-{r}_{A}^{2})}{2}H\) (pour 1 radian)
Phase élastoplastique#
\(t\ge {t}_{y}\) . On est sur le critère. Alors:
\(\dot{p}=\max\left[0,\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\dot{{\sigma}_{L}}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+{\sigma}_{y}^{o}.s.\dot{T})\right]\)
En admettant que l’on soit « en charge » \(\dot{p}\ge 0\) , alors on élimine \(\dot{p}\) pour avoir:
\(\dot{{\sigma}_{L}}=-{E}_{T}.\dot{T}(\alpha +\mathrm{sgn}({\sigma}_{L}).\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}{\sigma}_{y}^{o}.s)\)
puis:
\(\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{E}\dot{T}(-\alpha \mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\frac{{\sigma}_{y}^{o}.s}{E})\)
\(t={t}_{y}\) , \({\sigma}_{L}=-E\alpha \theta {t}_{y}<0\) ; on intègre alors ces expressions pour \(t\ge {t}_{y}(\dot{T}=\theta )\) :
\(\left\{ \begin{array}{c}{\sigma}_{L}(t)=-{E}_{T}.\theta (t-{t}_{y})[\alpha -\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o}]-{\sigma}_{L}(t-y)\\ p(t)=\frac{{\sigma}_{y}^{o}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}-1)\end{array}\right.\)
Soit, après réarrangement, \(t\ge {t}_{y}\) :
\(\left\{ \begin{array}{c}{\sigma}_{L}(t)={\sigma}_{y}^{o}(s\theta t-1+\frac{{E}_{T}}{E}(1-\frac{t}{{t}_{y}}))\\ p(t)=\frac{{\sigma}_{y}^{o}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}-1)\end{array}\right.\)
Validité de cette solution élastoplastique
Il faut s’assurer que \({\sigma}_{L}(t)\) reste négatif. Sachant que \(s\theta t<1\) , et que \(t>{t}_{y}\) , le résultat précédent confirme que \({\sigma}_{L}(t)<0\) . Enfin, on remarque que:
\(\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{1-2\nu }{2}\dot{p}+\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\alpha (1+\nu )\dot{T}\)
d’où, puisque \({\sigma}_{L}(t)<0\) :
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(t)={\varepsilon}_{\theta \theta }(t)=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t),\forall t\in \left[{t}_{y},{t}_{\mathrm{fin}}\right]\)
Cas particulier des modélisations H et I#
La déformation thermique est remplacée par une déformation anélastique donnée. Comme \(s=0\) ,
\({\sigma}_{L}=-E\alpha \theta\) \({\varepsilon}_{xx}={\varepsilon}_{zz}=\alpha \theta (1+\nu )t\)
La solution reste élastique tant que \(t<{t}_{y}=\frac{{\sigma}_{0}}{\theta E\alpha }=200s\)
Résultats de référence#
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}\) Ou \({\varepsilon}_{xx}\) , \({\sigma}_{zz}\) et \(p\) en \({t}_{y}\) et au-delà:
Phase élastique : pour \(t<{t}_{y}\) :
\({\sigma}_{L}=-E\alpha \theta t\) \({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t\) en axisymétrique
\({\varepsilon}_{xx}=\alpha \theta (1+\nu )t\) en contraintes planes
La limite élastique est atteinte en \({t}_{y}=\frac{{\sigma}_{0}}{\theta (E\alpha +{\sigma}_{0}s)}=66.666s\) d’où \({\sigma}_{L}({t}_{y})=\frac{\sigma}{\left(1+{\sigma}_{0}\frac{s}{E\alpha }\right)}\)
Phase élastoplastique : pour \(t\ge {t}_{y}\)
\({\sigma}_{L}(t)={\sigma}_{0}\left(s\theta t-1+\frac{{E}_{t}}{E}\left(1-\frac{t}{{t}_{y}}\right)\right)\)
\(p(t)=\frac{{\sigma}_{0}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}\left(\frac{t}{{t}_{y}}-1\right)\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t)\) en axisymétrique
ou \({\varepsilon}_{xx}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t)\) en contraintes planes
D’où:
phase élastique
\(\left.\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}{t}_{y}=66.666s\\ {\sigma}_{L}({t}_{y})=-133.333\mathrm{MPa}\end{array}\right.\\ {\varepsilon}_{\mathrm{rr}}({t}_{y})={\varepsilon}_{\theta \theta }({t}_{y})=0.86666{E}^{-3}\end{array}\right\} \text{phase élastique}\)
\(W=4.44410-3\mathrm{MPa}\)
\(W=0.17778{\mathrm{MPa.mm}}^{2}\) (PLAN ou 3D)
\(W=0.26666{\mathrm{Mpa.mm}}^{3}.\mathrm{rad}-1\) (axi)
Puis phase élastoplastique :
\(àt=80s\) : \(\sigma (80)=-\mathrm{100.0MPa}\)
\(p(80)=0.300{E}^{-3}\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(80)={\varepsilon}_{\theta \theta }(80)=1.1{E}^{-3}\)
à \(t=90s\) : \(\sigma (90)=-\mathrm{75.0MPa}\)
\(p(90)=0.525{E}^{-3}\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(90)={\varepsilon}_{\theta \theta }(90)=1.275{E}^{-3}\)
Cas particulier des modélisations H et I#
À \(t=66.67s\) \({\sigma}_{L}(66.67)=-133.33\mathrm{MPa}\)
\({\varepsilon}_{xx}(66.67)={\varepsilon}_{zz}(66.67)=8.667{E}^{-4}\)
À \(t=80s\) \({\sigma}_{L}(80)=-160\mathrm{MPa}\)
\({\varepsilon}_{xx}(80)={\varepsilon}_{zz}(80)=8.667{E}^{-4}\)
À \(t=90s\) \({\sigma}_{L}(90)=-180\mathrm{MPa}\)
\({\varepsilon}_{xx}(90)={\varepsilon}_{zz}(90)=8.667{E}^{-4}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD4 - Axisymétrique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 1 QUAD4, 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.1000 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.2750 10–3 |
|
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
3.0000 10–4 |
|
\(t=90\) |
5.2500 10–4 |
|
\({\sigma}_{zz}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–100.000 |
|
\(t=90\) |
–75.000 |
|
ENEL_ELGA \((J)\) |
\(t=66.666\) |
4.444. 10-2 |
ENER_TOTALE \((J)\) |
\(t=66.666\) |
0.2666 |
ENER_POT \((J)\) |
\(t=66.666\) |
0.2666 |
Orthotropie (COMPORTEMENT)#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.04 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.17 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–160.000 |
|
\(t=90\) |
–180.000 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD4 - Contraintes planes
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 1 QUAD4, 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\(\mathrm{EPXX}\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.1000 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.2750 10–3 |
|
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
3.0000 10–4 |
|
\(t=90\) |
5.2500 10–4 |
|
\(\mathrm{SIYY}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–100. |
|
\(t=90\) |
–75.000 |
|
ENEL_ELGA \((J)\) |
\(t=66.666\) |
4.444. 10-2 |
ENER_TOTALE \((J)\) |
\(t=66.666\) |
0.17777 |
ENER_POT \((J)\) |
\(t=66.666\) |
0.17777 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
1 élément TUYAU
Caractéristiques du maillage#
1 élément TUYAU
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
|
|
\(t=90\) |
5.25 10–4 |
|
\({\sigma}_{yy}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–1.333 |
\(t=80\) |
–100 |
|
\(t=90\) |
–75 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
1 élément TUYAU 6M
Caractéristiques du maillage#
1 élément TUYAU
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
|
|
\(t=90\) |
5.25 10–4 |
|
\({\sigma}_{yy}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–1.333 |
\(t=80\) |
–100 |
|
\(t=90\) |
–75 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD4 - Axisymétrique.
Test de la variation des coefficients de VMIS_CINE_LINE en fonction de la température, dans ce cas \({E}_{T}\) (donné par D_SIGM_EPSI) varie comme: \({E}_{T}={10}^{5}(1–{10}^{-2}(T–{T}_{0}))\) . La constante de Prager vaut: \(C=\frac{2}{3}\frac{E{E}_{T}}{E-{E}_{T}}\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 1 QUAD4, 4 SEG2
Remarque#
On teste la variation de \({E}_{T}\) (D_SIGM_EPSI) avec la température par comparaison avec le comportement VMIS_ECMI_TRAC où \(C\) (constante de Prager) varie avec la température de façon similaire (pas de solution analytique).
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence ( Aster ) ( VMIS_ECMI_TRAC ) |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.112 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.303 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–88 |
|
\(t=90\) |
–47 |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec le comportement VMIS_CINE_LINE qu’avec le comportement VMIS_ECMI_TRAC ce qui valide la prise en compte de la température dans ce modèle.
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
1 élément POU_D_T
Caractéristiques du maillage#
1 maille SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\sigma}_{yy}\) |
\(t=66.666\) |
–1.333 |
ENER_POT \((J)\) |
\(t=66.666\) |
0.3555 |
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 HEXA8
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.1000 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.2750 10–3 |
|
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
3.0000 10–4 |
|
\(t=90\) |
5.2500 10–4 |
|
\({\sigma}_{yy}\) (MPa) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–100. |
|
\(t=90\) |
–75.000 |
|
ENEL_ELGA |
\(t=66.666\) |
4.444. 10-2 |
ENER_TOTALE |
\(t=66.666\) |
4.444. 10-2 |
ENER_POT |
\(t=66.666\) |
4.444. 10-2 |
Modélisation H#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 HEXA8
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=66.666\) |
8.9930 10–4 |
\(t=80\) |
1.0980 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.2480 10–3 |
|
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
2.9400 10–4 |
|
\(t=90\) |
3.9200 10–4 |
|
\({\sigma}_{yy}\) (MPa) |
\(t=66.666\) |
–100.666 |
\(t=80\) |
–101.2 |
|
\(t=90\) |
–101.6 |
|
ENEL_ELGA |
\(t=66.666\) |
2.53344 10-2 |
EPSP_ELGA |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
1.960 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-3.920 10–4 |
EPSP_ELNO |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
1.960 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-3.920 10–4 |
EPME_ELGA |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
3.484 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-9.000 10–4 |
EPME_ELNO |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
3.484 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-9.000 10–4 |
EPMG_ELGA |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
3.491 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-9.000 10–4 |
EPMG_ELNO |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
3.491 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-9.000 10–4 |
ENER_TOTALE |
\(t=66.666\) |
4.17215. 10-2 |
Modélisation I#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD4 - Contraintes planes
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 1 QUAD4, 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
2.940 10–4 |
|
\(t=90\) |
3.9200 10–4 |
|
\({\sigma}_{yy}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–100.666 |
\(t=80\) |
–101.2 |
|
\(t=90\) |
–101.6 |
|
ENEL_ELGA |
\(t=66.666\) |
2.53344 10-2 |
EPSP_ELGA |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
1.960 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-3.920 10–4 |
EPSP_ELNO |
||
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=90\) |
1.959 10–4 |
\({\xi}_{yy}\) |
\(t=90\) |
-3.9199 10–4 |
INDIC_ENER |
\(t=90\) |
0.00 |
INDIC_SEUIL |
\(t=90\) |
0.00 |
Modélisation J#
Caractéristiques de la modélisation#
Pas de maillage : point matériel (SIMU_POINT_MAT)
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\varepsilon}_{xx}\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.1000 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.2750 10–3 |
|
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
3.0000 10–4 |
|
\(t=90\) |
5.2500 10–4 |
|
\({\sigma}_{yy}\) (MPa) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–100. |
|
\(t=90\) |
–75.000 |
Modélisation K#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD8 - Axisymétrique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 QUAD8, 4 SEG3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.3% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation AXIS_INCO_UPG qu’avec la formulation AXIS classique.
Modélisation L#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20
Nombre de mailles et types: 1 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UPG qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation M#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 35
Nombre de mailles et types: 12 TETRA10
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UPG qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation N#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD8 - Axisymétrique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 QUAD8, 4 SEG3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.3% |
\({\sigma}_{zz}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation AXIS_INCO_UP qu’avec la formulation AXIS classique.
Modélisation O#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20
Nombre de mailles et types: 1 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UP qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation P#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 35
Nombre de mailles et types: 12 TETRA10
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.1% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.1% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UP qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation Q#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD8 - Axisymétrique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 QUAD8, 4 SEG3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.15% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.4% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.2% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.5% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.4% |
\({\sigma}_{zz}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.525% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.5% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation AXIS_INCO_UPG qu’avec la formulation AXIS classique.
Modélisation R#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20
Nombre de mailles et types: 1 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.15% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.4% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.11% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.3% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.4% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathit{MPa}\) |
0.1275% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathit{MPa}\) |
0.525% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathit{MPa}\) |
0.5% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UPG qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation S#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 35
Nombre de mailles et types: 12 TETRA10
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\epsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.1% |
\({\epsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.15% |
\({\epsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.4% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.2% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.5% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.35% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathit{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathit{MPa}\) |
0.525% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathit{MPa}\) |
0.5% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UPG qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation T#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD8 - Axisymétrique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 QUAD8, 4 SEG3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.05% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.2% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
310-4% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
1 10-4% |
\({\sigma}_{zz}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.25% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.3% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation AXIS_INCO_UPG qu’avec la formulation AXIS classique.
Modélisation U#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20
Nombre de mailles et types: 1 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.05% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.06% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.11% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.05% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.01% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathit{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathit{MPa}\) |
0.25% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathit{MPa}\) |
0.3% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UPG qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation V#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 35
Nombre de mailles et types: 12 TETRA10
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\epsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.05% |
\({\epsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.06% |
\({\epsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.2% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.005% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.001% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathit{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathit{MPa}\) |
0.25% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathit{MPa}\) |
0.3% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UPG qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation W#
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD8 - Axisymétrique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 QUAD8, 4 SEG3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.05% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.1% |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.2% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
310-4% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
1 10-4% |
\({\sigma}_{zz}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.25% |
\({\sigma}_{zz}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.3% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation AXIS_INCO_UP qu’avec la formulation AXIS classique.
Modélisation X#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 20
Nombre de mailles et types: 1 HEXA20
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.05% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.06% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.11% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.05% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.01% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.25% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.3% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UP qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation Y#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{3D},H=1\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 35
Nombre de mailles et types: 12 TETRA10
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\({\varepsilon}_{xx}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
8.6666 10-4 |
0.05% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.1 10-3 |
0.06% |
\({\varepsilon}_{xx}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
1.275 10-3 |
0.1% |
\(p(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
0 |
0.2% |
\(p(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
3 10-4 |
0.005% |
\(p(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
5.25 10-4 |
0.001% |
\({\sigma}_{yy}(t=66,666s)\) |
“ANALYTIQUE” |
-133.333 \(\mathrm{MPa}\) |
0.2% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{80s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-100 \(\mathrm{MPa}\) |
0.25% |
\({\sigma}_{yy}(t=\mathrm{90s})\) |
“ANALYTIQUE” |
-75 \(\mathrm{MPa}\) |
0.3% |
Remarque#
On obtient bien les mêmes résultats avec la formulation 3D_INCO_UP qu’avec la formulation 3D classique.
Modélisation Z#
Ce test est exactement identique à la modélisation A. Il permet de tester le couplage de code en MPI en remplaçant le chainage thermo-mécanique par un couplage faible (sans dépendance de la thermique au déplacement).
Caractéristiques de la modélisation#
QUAD4 - Axisymétrique
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 1 QUAD4, 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.1000 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.2750 10–3 |
|
\(p\) |
\(t=66.666\) |
0 |
\(t=80\) |
3.0000 10–4 |
|
\(t=90\) |
5.2500 10–4 |
|
\({\sigma}_{zz}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–100.000 |
|
\(t=90\) |
–75.000 |
|
ENEL_ELGA \((J)\) |
\(t=66.666\) |
4.444. 10-2 |
ENER_TOTALE \((J)\) |
\(t=66.666\) |
0.2666 |
ENER_POT \((J)\) |
\(t=66.666\) |
0.2666 |
Orthotropie (COMPORTEMENT)#
Variables |
Instants \((s)\) |
Référence |
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }\) |
\(t=66.666\) |
8.6666 10–4 |
\(t=80\) |
1.04 10–3 |
|
\(t=90\) |
1.17 10–3 |
|
\({\sigma}_{zz}\) \((\mathrm{MPa})\) |
\(t=66.666\) |
–133.333 |
\(t=80\) |
–160.000 |
|
\(t=90\) |
–180.000 |
Synthèse des résultats#
Les résultats sont satisfaisants et valident les comportements thermoélastique et thermoplastique de Von Mises avec écrouissage isotrope et cinématique linéaire. Les éléments finis utilisés sont les éléments \(\mathrm{2D}\) (quadrilatères en contraintes planes ou axisymétrique), \(\mathrm{3D}\) , les éléments incompressibles (3D_INCO_UPG, 3D_INCO_UP, AXIS_INCO_UPG et AXIS_INCO_UP) et les éléments TUYAU.
On constate en particulier une bonne modélisation de la variation de la limite d’élasticité et de la constante de Prager avec la température.
Annexe#
Présentation#
Le problème étudié est tel que la solution soit uniforme en espace, sans aucun effort extérieur donné, de manière à ne tester que le traitement de la relation de comportement.
On considère ainsi le solide suivant:
hauteur \(H\) ,
axisymétrique (de rayons \(a\) et \(b\) ),
ou parallélépipédique (épaisseur \(b-a\) ).
Il est placé entre deux plateaux rigides lubrifiés.
Le matériau est thermoélastoplastique homogène (voir ci-après) à écrouissage isotrope et critère de Von Mises.
On suppose la température uniforme en espace, et croissante.
Cinématique, équilibre#
Cas axisymétrique (2D)#
Champs de déplacement: \(u={u}_{r}(r){e}_{r}\) (blocage en \(z\) )
champs de déformation : \(\varepsilon (u)=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{r}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{{u}_{r}}{r}\end{array}\right)\) ( selon \(\left(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array}\right)\) )
champs de déformation : \(\sigma (u)={\sigma}_{L}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\) (cf. conditions aux limites) ( selon \(\left(\begin{array}{c}r\\ z\\ \theta \end{array}\right)\) )
Cas parallélépipédique#
Champs de déplacement: \(u={u}_{x}(x){e}_{x}+{u}_{y}(y){e}_{y}\) (blocage en \(z\) )
champs de déformation : \(\varepsilon (u)=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{x}'& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {u}_{y}'\end{array}\right)\) ( selon \(\left(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array}\right)\) )
champs de déformation : \(\sigma (u)={\sigma}_{L}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\) (cf. conditions aux limites) ( selon \(\left(\begin{array}{c}x\\ z\\ y\end{array}\right)\) )
Le cas pourra être étudié en D_PLAN et en 3D.
Relation de comportement#
Écrouissage isotrope, linéaire (module tangent \({E}_{T}\) constant).
Critère de VonMises.
Les coefficients élastiques, \(E\) et \(\nu\) , ainsi que le module tangent \({E}_{T}\) sont invariants suivant la température.
La limite d’élasticité \({\sigma}_{y}\) varie selon la température \(T\) :
\({\sigma}_{y}(T)={\sigma}_{y}^{o}(1-s(T-{T}^{o}))\)
(pour le domaine de température étudié, \({\sigma}_{y}\) est positif!).
Le coefficient de dilatation thermique \(\alpha\) est constant.
\(2\mu =\frac{E}{1+\nu }\) \(\mathrm{3K}=\frac{E}{1-2\nu }\)
La loi de comportement s’écrit (variable interne scalaire \(P\) ):
\(\varepsilon =\frac{1}{\mathrm{9K}}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}+\frac{1}{2\mu }{\sigma}^{D}+{\varepsilon}^{p}=\alpha (T-{T}^{o})\mathrm{Id}\)
avec : \({\sigma}^{D}=\sigma –\frac{1}{3}\mathrm{tr}\sigma \mathrm{Id}\) (déviateur des contraintes)
\(\dot{{\sigma}^{p}}=\frac{3}{2}\dot{p}\frac{{\sigma}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}\) , avec \(\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{{\sigma}^{D}{\sigma}^{D}}\)
\(\dot{p}=0\) si \(f(\sigma ,p)=∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥–R(p)<0\)
\(\dot{p}\ge 0\) si \(f(\sigma ,p)=0\)
\(R(p)\) désigne la fonction d’écrouissage:
\(R(p)={\sigma}_{y}+\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E–{E}_{T}}p\)
Le taux \(\dot{p}\) peut être exprimé, lorsque \(f(\sigma ,p)=0\) . En effet, de \(\dot{p}f\) identiquement nul, on tire: \(\dot{p}\dot{f}+\ddot{p}f=0\) . Ainsi, quand on est sur le critère \(f=0\) , nécessairement \(\dot{f}=0\) . C’est‑à-dire:
\(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}-{R}_{,T}\dot{T}–{R}_{,p}\dot{p}=0\)
\(\iff \frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}-{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T}-\frac{{\mathrm{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}\dot{p}=0\)
D’où:
\(\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}\dot{{\sigma}^{D}}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})\) si \(\dot{p}\ge 0\) , pour \(∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=R(p)\)
(critère atteint, en «charge»)
Chargement thermique#
Température uniforme en espace
\(T(t)=\theta t+{T}_{o},\theta >0\)
\(t\in [0,{t}_{\mathrm{fin}}]\) avec \({t}_{\mathrm{fin}}<\frac{1}{s\theta }\)
État initial vierge: \(\begin{array}{}{\sigma}_{L}=0\\ p=0\end{array}\)
Solution#
Le champ de contraintes étant uni-axial, on a:
\({\sigma}^{D}=\frac{{\sigma}_{L}}{3}\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\)
Ainsi:
\(∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥=∣{\sigma}_{L}∣\)
et:
\(\dot{{\varepsilon}^{p}}=\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\)
La relation de comportement conduit à
\(\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{-\nu }{E}\dot{{\sigma}_{L}}-\frac{\dot{p}}{2}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}\) (\(\dot{{\varepsilon}_{xx}}=\dot{{\varepsilon}_{yy}}\) pour le cas du parallélépipède)
\(\dot{{\varepsilon}_{zz}}=0=\frac{1}{E}\dot{{\sigma}_{L}}+\dot{p}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\alpha \dot{T}\)
D’où:
\(\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\frac{3}{2}\alpha \dot{T}+\frac{1-2\nu }{2E}\dot{{\sigma}_{L}}\)
\(\dot{p}=\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})(-\alpha \dot{T}–\frac{\dot{{\sigma}_{L}}}{E})=0\) si \(∣{\sigma}_{L}∣<R(p)\)
\(\dot{p}=\mathrm{Max}[0;\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\frac{3}{2}\frac{{\sigma}^{D}{\sigma}^{D}}{∥{\sigma}_{\mathrm{éq}}∥}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})]\) sinon
C’est-à-dire, dans le cas \(∣{\sigma}_{L}∣=R(p)\) (critère atteint)
\(\dot{p}=\mathrm{Max}[0;\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\dot{{\sigma}_{L}}+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})]\)
Phase élastique#
Au début du chargement thermique, \(∣{\sigma}_{L}∣\) étant inférieur à \({\sigma}_{y}\) , \(\dot{p}\) est nul.
D’où:
\(\dot{{\sigma}_{L}}=-E\alpha \dot{T}\)
\(\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\dot{{\varepsilon}_{\theta \theta }}=\alpha \dot{T}(1+\nu )\)
Ainsi:
\({\sigma}_{L}=-E\alpha \theta t\) (compression \({\sigma}_{L}<0\) )
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}={\varepsilon}_{\theta \theta }=\alpha \theta (1+\nu )t\)
Validité de la solution élastique
Le critère est:
\(∣{\sigma}_{L}(t)∣-{\sigma}_{y}(t)=E=\theta t-{\sigma}_{y}^{o}(1-s\theta t)\le 0\)
Le critère n’est pas franchi pour \(t=[0,{t}_{y}]\) , avec:
\({t}_{y}=\frac{{\sigma}_{y}^{o}}{\theta (E\alpha +{\sigma}_{y}^{o}s)}\)
A l’instant \({t}_{y}\) :
\({\sigma}_{L}({t}_{y})=\frac{-E\alpha {\sigma}_{y}^{o}}{E\alpha +{\sigma}_{L}^{o}s}\)
Phase élastoplastique#
\(t\ge {t}_{y}\) . On est sur le critère. Alors:
\(\dot{p}=\mathrm{Max}[0;\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}(\dot{{\sigma}_{L}}\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+{\sigma}_{y}^{o}s\dot{T})]\)
En admettant que l’on soit « en charge » \((\dot{p}>0)\) , alors on élimine \(\dot{p}\) pour avoir
\(\dot{{\sigma}_{L}}=-{E}_{T}\dot{T}(\alpha +\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o})\)
puis:
\(\dot{p}=\frac{E-{E}_{T}}{E}\dot{T}(-\alpha \mathrm{sgn}({\sigma}_{L})+\frac{s{\sigma}_{y}^{o}}{E})\)
à \(t={t}_{y}\) , \({\sigma}_{L}=-E\alpha \theta {t}_{y}<0\) ; on intègre alors ces expressions pour \(t\ge {t}_{y}(\dot{T}=\theta )\) :
\({\sigma}_{L}(t)=-{E}_{T}\theta (t-{t}_{y})[\alpha –\frac{E-{E}_{T}}{{\mathrm{EE}}_{T}}s{\sigma}_{y}^{o}]-{\sigma}_{L}({t}_{y})\)
\(p(t)=\frac{E-{E}_{T}}{{E}^{2}}\theta [\alpha E+s{\sigma}_{y}^{o}](t-{t}_{y})\)
Soit, après réarrangement, \((t>{\mathrm{0t}}_{y})\) :
\({\sigma}_{L}(t)={\sigma}_{y}^{o}(s\theta t-1+\frac{{E}_{T}}{E}(1-\frac{t}{{t}_{y}}))\)
\(p(t)=\frac{{\sigma}_{y}^{o}(E-{E}_{T})}{{E}^{2}}(\frac{t}{{t}_{y}}–1)\)
Validité de cette solution élastoplastique
Il faut s’assurer que \({\sigma}_{L}(t)\) reste négatif. Sachant que \(s\theta t<1\) , et que \(t>{t}_{y}\) , le résultat précédent confirme que \({\sigma}_{L}(t)<0\) .
Enfin, on remarque que:
\(\mathrm{sgn}({\sigma}_{L})\frac{1-2\nu }{2}\dot{p}+\dot{{\varepsilon}_{\mathrm{rr}}}=\alpha (1+\nu )\dot{T}\)
d’où:
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(t)={\varepsilon}_{\theta \theta }(t)=\alpha \theta (1+\nu )t+\frac{1-2\nu }{2}p(t),\forall t\in [{t}_{y},{t}_{\mathrm{fin}}]\)
(puisque \({\sigma}_{L}(t)<0\) ).
Application numérique#
\(E=200000\mathrm{MPa}\) ; \(\nu =0.3\) ; \(\alpha =10.0E-5°{C}^{-1}\) ; \(\theta =1.0{s}^{-1}\)
\({\sigma}_{y}^{o}=400\mathrm{MPa}\) ; \({T}^{o}=0°C\) ; \(s=10.0E-2°{C}^{-1}\) ; \({t}_{\mathrm{fin}}<100s\)
\({E}_{T}=50000\mathrm{MPa}\) ;
D’où on obtient en phase élastique :
\({t}_{y}=66.6666s\)
\({\sigma}_{L}({t}_{y})=-133.333\mathrm{MPa}\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}({t}_{y})={\varepsilon}_{\theta \theta }({t}_{y})=0.866666E-3\)
Puis, phase élastoplastique:
à \(t=\mathrm{80s}\) : \({\sigma}_{L}(80)=-100\mathrm{MPa}\)
\(p(80)=0.30E-3\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(80)={\varepsilon}_{\theta \theta }(80)=1.100E-3\)
à \(t=\mathrm{90s}\) : \({\sigma}_{L}(90)=-75\mathrm{MPa}\)
\(p(90)=0.525E-3\)
\({\varepsilon}_{\mathrm{rr}}(90)={\varepsilon}_{\theta \theta }(90)=1.275E-3\)