v6.04.112 SSNV112 - Cylindre creux en incompressible (grandes déformations)#

Résumé:

Ce test permet de valider les éléments quasi-incompressibles en grandes déformations, en statique pour un problème tridimensionnel, axisymétrique ou bidimensionnel (déformations planes). On considère un cylindre creux soumis à un déplacement radial interne. Le matériau a un coefficient de Poisson égal à 0.4999 et on utilise les éléments quasi-incompressibles INCO_UPG avec les déformations de SIMO_MIEHE et GDEF_LOG et les éléments INCO_UP avec les déformations GDEF_LOG.

Solution de référence#

Méthode de calcul#

Pour le problème étudié, le déplacement \(u\) est radial est donc de la forme \(u=[u,0,0]\) .

On en déduit la forme générale du tenseur des déformations en grandes déformations:

\[\begin{split}b=F{F}^{T}=\left[\begin{array}{ccc} {(1+u')}^{2}& 0& 0 \\ 0& {(1+\frac{u}{r})}^{2}& 0 \\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{split}\]

ainsi que l’expression du tenseur des contraintes, qui s’écrit simplement si on prend en compte le fait que \(J=detF=1\) pour un problème incompressible :

\[\sigma =-p{I}_{d}+\mu {b}^{d}\]

soit:

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{c}{ \sigma }_{\mathit{rr}}=-p+\mu (\frac{2}{3}{(1+u')}^{2}-\frac{1}{3}{(1+\frac{u}{r})}^{2}-\frac{1}{3})\\ {\sigma}_{\theta \theta } =-p+\mu (-\frac{1}{3}{(1+u')}^{2}+\frac{2}{3}{(1+\frac{u}{r})}^{2}-\frac{1}{3})\\ {\sigma}_{zz}=-p+\mu (-\frac{1}{3}{(1+u')}^{2}-\frac{1}{3}{(1+\frac{u}{r})}^{2}+\frac{2}{3})\\ {\sigma}_{r\theta }={\sigma}_{\mathit{rz}}={\sigma}_{\theta z}=0\end{array} \right.\end{split}\]

L’écriture des équations d’équilibre conduit à la vérification d’une seule équation :

\[\sigma {'}_{\mathit{rr}}+\frac{{\sigma}_{\mathit{rr}}-{\sigma}_{\theta \theta }}{r}=0\]

qui permet de déterminer la pression \(p\) connaissant le champ de déplacement radial \(u\) :

\[p'=\mu \left(\frac{4}{3}(1+u')u''-\frac{2}{3}(1+\frac{u}{r})(\frac{u'}{r}-\frac{u}{{r}^{2}})+\frac{{(1+u')}^{2}}{r}-\frac{{(1+\frac{u}{r})}^{2}}{r}\right)\]

Particularisation de la solution#

La condition d’incompressibilité s’écrit \(detF=1\) avec \(F=\left[\begin{array}{ccc}1+u'& 0& 0\\ 0& 1+\frac{u}{r}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\) . Le déplacement \(u\) vérifie donc l’équation différentielle suivante:

(4760)#\[\mathrm{ru}'+u+u'u=0\]

Le chargement imposé est le suivant \(u={U}_{0}\) en \(r=a\) .

La solution en déplacement est donc:

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{c}{u}_{r}=-r+r\sqrt{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})} \\ {u}_{\theta}={u}_{z}=0\end{array} \right.\end{split}\]

Le tenseur des déformations a donc pour expression:

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{c}{b}_{\mathrm{rr}}=\frac{{r}^{2}}{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}\\ {b}_{\theta \theta }=\frac{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}{{r}^{2}}\\ {b}_{zz}=1\\ {b}_{r\theta }={b}_{z\theta }={b}_{\theta z}=0\end{array}\right.\end{split}\]

Et les contraintes valent:

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array}{c} {\sigma}_{\mathit{rr}}=-p+\mu (\frac{2}{3}\frac{{r}^{2}}{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}-\frac{1}{3}\frac{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}{{r}^{2}}-\frac{1}{3})\\ {\sigma}_{\theta \theta} =-p+\mu (-\frac{1}{3}\frac{{r}^{2}}{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}+\frac{2}{3}\frac{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}{{r}^{2}}-\frac{1}{3})\\ {\sigma}_{zz}=-p+\mu (-\frac{1}{3}\frac{{r}^{2}}{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}-\frac{1}{3}\frac{{r}^{2}+{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}{{r}^{2}}+\frac{2}{3})\\ {\sigma}_{r\theta }={\sigma}_{z\theta }={\sigma}_{\theta z}=0\end{array}\right.\end{split}\]

avec \(p\) obtenu par intégration de (4760) qui vaut:

\[p=\mu \left(\frac{{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}{6{r}^{2}}-\frac{2{U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})}{3({U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})+{r}^{2})}-\log(r)+\frac{1}{2}\log({U}_{0}({U}_{0}+\mathrm{2a})+{r}^{2})\right)+C\]

où \(C\) est une constante

On obtient finalement les valeurs numériques suivantes:

en \(r=0.1\) :

en \(r=0.2\) :

\(\begin{array}{c}{u}_{r}={6.10}^{-5}\\ {\sigma}_{\mathit{rr}}=-59.9955\\ {\sigma}_{\theta \theta }=99.9566\\ {\sigma}_{zz}=19.9326\\ {E}_{\mathit{rr}}=0,0005994604316761909\\ {E}_{\theta \theta }=-0.0006001799999999502\end{array}\)

\(\begin{array}{c}{u}_{r}=3.0067{10}^{-5}\\ {\sigma}_{\mathit{rr}}=0.\\ {\sigma}_{\theta \theta }=40.006\\ {\sigma}_{zz}=20.\end{array}\)

Le passage dans le système cartésien se fait à l’aide des relations suivantes:

\[\begin{split}\begin{array}{c} {\sigma}_{xx}={\sigma}_{\mathit{rr}}{\cos}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\sin}^{2}\theta -2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{\theta \theta }={\sigma}_{\mathit{rr}}{\sin}^{2}\theta +{\sigma}_{\theta \theta }{\cos}^{2}\theta +2{\sigma}_{r\theta }\sin\theta \cos\theta \\ {\sigma}_{zz}={\sigma}_{\mathit{rr}}\sin\theta \cos\theta -{\sigma}_{\theta \theta }\sin\theta \cos\theta -2{\sigma}_{r\theta }({\cos}^{2}\theta -{\sin}^{2}\theta )\end{array}\end{split}\]

Grandeurs et résultats de référence#

On compare aux valeurs de référence:

  • les déplacements \((u,v)\) aux points \(A\) et \(F\) ,

  • les contraintes \(({\sigma}_{xx},{\sigma}_{yy},{\sigma}_{zz},{\sigma}_{xy})\) aux points \(A\) et \(F\) ,

  • les contraintes de Von Mises et Tresca ainsi que les valeurs propres du tenseur des contraintes au point \(A\) .

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UPG et DEFORMATION='SIMO_MIEHE' incompressibles de type HEXA20 uniquement

Face avec déplacement radial imposé

../../../../_images/10008724000069D500003780C1B929A3B101AFC01.svg

Suivant l’axe \(z\) :

  • épaisseur totale \(e=0.01\)

  • 2 couches d’éléments

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DX = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 1501 nœuds

Nombre de mailles: 240 HEXA20

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.01

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.035

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.012

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.02

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.02

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.035

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.01

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.02

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

Pour les déformations de Green-Lagrange:

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\({E}_{xx}\)

ANALYTIQUE

0.000599576100401

2.E-4

\({E}_{yy}\)

ANALYTIQUE

-0.00059885996551

2.2E-3

Remarques#

On obtient de très bons résultats puisque pour toutes les grandeurs examinées, la différence entre la solution obtenue avec le code et la solution analytique est inférieure à \(\text{0.1%}\) pour les déplacements, inférieurs à \(\text{3.5 %}\) pour les contraintes et inférieure à \(\text{0.03%}\) pour les déformations.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UPG et DEFORMATION='SIMO_MIEHE' incompressibles de type TETRA10 uniquement

../../../../_images/100147DE000069D5000048C34BB63DF767058DA91.svg

\(\mathit{AB}\) est sur l’axe \(\mathit{OX}\) (contrairement à la modélisation A).

Le maillage a été obtenu avec GMSH pour une densité de \(0,01\) .

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement bloquée en dy sur la face ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DY = 0 )

  • Déplacement normal bloqué sur la face ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement radial imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 2064

Nombre de mailles: 1121 TETRA10

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\). Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.025

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.02

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.03

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.01

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.01

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.025

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.015

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.01

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

-20.003

0.01

Remarques#

Les résultats obtenus sont tout à fait corrects puisque les contraintes sont obtenues avec une précision inférieure à \(\text{3%}\) voire \(\text{1 %}\) au point F. L’écart est ici un peu plus important que pour les HEXA20, mais peut s’expliquer par le fait que le chargement est imposé ici de manière un peu moins précise puisque le déplacement u au point A, n’est défini qu’à une précision de \(\text{0.158%}\) contre \(\text{0.077%}\) (soir le facteur 2, qu’on retrouve sur les contraintes).

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments D_PLAN_INCO_UPG et DEFORMATION='SIMO_MIEHE' incompressibles de type TRIA6 et QUAD8.

../../../../_images/10005A2E00002957000015E96F33A1848BC624791.svg

Les conditions limites sont:

  • Déplacement DX nul sur la face ’GRNM11’ (côté \(\mathit{AB}\))

  • Déplacement normal bloqué sur la face ’GRMA12’ (coté \(\mathit{EF}\))

  • Déplacement normal imposé sur la face ’GRMA13’ (coté \(\mathit{AE}\))

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 591

Nombre de mailles: 200 TRIA6, 50 QUAD8.

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.03

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.03

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.02

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.02

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.03

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.02

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.02

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-3

Pour les déformations de Green-Lagrange:

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\({E}_{xx}\)

ANALYTIQUE

0.000601357472911

4%

\({E}_{yy}\)

ANALYTIQUE

-0.000604235469839

0,7%

Remarques#

Comme pour la modélisation 3D, les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants.

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments AXIS_INCO_UPG et DEFORMATION='SIMO_MIEHE' incompressibles de type TRIA6 et QUAD8.

../../../../_images/1000125A00002D7A00000E0E17035B052F36D7EF1.svg

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” (face \(\mathit{EF}\)) et “FACINF” (face \(\mathit{AB}\)): DY = 0.

  • Déplacement radial imposé sur la face intérieure ’FACEAE’ (face \(\mathit{AE}\) ): DX = 6. 10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 175.

Nombre de mailles et types: 20 QUAD8, 40 TRIA6.

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

  1. 10-3

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

  1. 10-3

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

  1. 10-3

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

  1. 10-3

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-3

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

  1. 10-3

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

0.03

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.0

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

40.006

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

  1. 10-3

Pour les déformations de Green-Lagrange:

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\({E}_{xx}\)

ANALYTIQUE

-0.000598704996172

2E-3

Remarques#

La précision obtenue est très bonne puisque toutes les contraintes sont obtenues avec une précision inférieure à \(\text{0.5%}\) .

Modélisation E#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UPG et DEFORMATION='SIMO_MIEHE' incompressibles de type PENTA15 uniquement.

../../../../_images/100000000000021000000165F7E8B7418F1BD67E.png

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DX = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 1861

Nombre de mailles: 480 PENTA15

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.03

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.09

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.08

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.005

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.05

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.05

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.09

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.08

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.03

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.05

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.04

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.17

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.07

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.008

Modélisation F#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UPG (DEFORMATION=”GDEF_LOG”) incompressibles de type HEXA20 uniquement

Face avec déplacement radial imposé

../../../../_images/10008724000069D500003780C1B929A3B101AFC01.svg

Suivant l’axe \(z\) :

  • épaisseur totale \(e=0.01\)

  • 2 couches d’éléments

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DX = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 1501 nœuds

Nombre de mailles: 240 HEXA20

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.01

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.03

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.05

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.03

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.001

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.001

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.0025

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.005

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.0005

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.001

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

0.005

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

0.005

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.002

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.002

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0025

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0015

Remarques#

On obtient de très bons résultats puisque pour toutes les grandeurs examinées, la différence entre la solution obtenue avec le code et la solution analytique est inférieure à \(\text{0.5%}\) pour les déplacements et inférieurs à \(\text{5%}\) pour les contraintes.

Modélisation G#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UPG et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type TETRA10 uniquement.

Face avec déplacement radial imposé Face bloquée en dy

../../../../_images/100147DE000069D5000048C34BB63DF767058DA91.svg

\(\mathit{AB}\) est sur l’axe \(\mathit{OX}\) (contrairement à la modélisation A).

Le maillage a été obtenu avec GMSH pour une densité de \(0,01\).

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DY = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 2064

Nombre de mailles: 1121 TETRA10

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.02

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.03

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.002

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.002

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.015

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.002

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.003

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.002

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

-20.003

0.01

Remarques#

Les résultats obtenus sont tout à fait corrects puisque les contraintes sont obtenues avec une précision inférieure à \(\text{3%}\) voire \(\text{1%}\) au point F. L’écart est ici un peu plus important que pour les HEXA20, mais peut s’expliquer par le fait que le chargement est imposé ici de manière un peu moins précise puisque le déplacement u au point A, n’est défini qu’à une précision de \(\text{0.158%}\) contre \(\text{0.077%}\) (soir le facteur 2, qu’on retrouve sur les contraintes).

Modélisation H#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments D_PLAN_INCO_UPG et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type TRIA6 et QUAD8.

../../../../_images/10005A2E00002957000015E96F33A1848BC624791.svg

Les conditions limites sont:

  • Déplacement DX nul sur la face ’GRNM11’ (côté \(\mathit{AB}\))

  • Déplacement normal bloqué sur la face ’GRMA12’ (coté \(\mathit{EF}\))

  • Déplacement normal imposé sur la face ’GRMA13’ (coté \(\mathit{AE}\))

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 591

Nombre de mailles: 200 TRIA6, 50 QUAD8.

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.02

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.02

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.006

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.006

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.02

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.003

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.006

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

2.5 10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-4

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-3

Remarques#

Comme pour la modélisation 3D, les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants.

Modélisation I#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments AXIS_INCO_UPG et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type TRIA6 et QUAD8.

Face avec déplacement imposé

../../../../_images/1000125A00002D7A00000E0E17035B052F36D7EF1.svg

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” (face \(\mathit{EF}\)) et “FACINF” (face \(\mathit{AB}\)): DY = 0.

  • Déplacement radial imposé sur la face intérieure ’FACEAE’ (face \(\mathit{AE}\) ): DX = 6. 10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 175.

Nombre de mailles et types: 20 QUAD8, 40 TRIA6.

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

  1. 10-3

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

  1. 10-3

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

  1. 10-3

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

  1. 10-3

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-4

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

  1. 10-3

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

5.10-4

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

1.10-5

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

0.03

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.0

3.10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

40.006

3.10-3

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

5.10-3

Remarques#

La précision obtenue est très bonne puisque toutes les contraintes sont obtenues avec une précision inférieure à \(\text{0.5%}\) .

Modélisation J#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UPG et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type PENTA15 uniquement.

../../../../_images/100000000000021000000165F7E8B7418F1BD67E.png

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DX = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 1861

Nombre de mailles: 480 PENTA15

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

1.10-5

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

1.10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.0002

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.003

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.007

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.0008

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.05

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.05

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.09

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.08

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.03

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.05

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

4.10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

4.10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.007

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0006

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

3.10-5

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0004

Modélisation K#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UP et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type HEXA20 uniquement.

Face avec déplacement radial imposé

../../../../_images/10008724000069D500003780C1B929A3B101AFC01.svg

Suivant l’axe \(z\) :

  • épaisseur totale \(e=0.01\)

  • 2 couches d’éléments

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DX = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 1501 nœuds

Nombre de mailles: 240 HEXA20

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.01

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.03

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.05

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.03

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.001

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.001

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.0025

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.005

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.0005

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.001

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

0.005

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

0.005

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.002

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.002

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0025

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0015

Pour les déformations de Green-Lagrange:

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\({E}_{xx}\)

ANALYTIQUE

0.000599576100401

2E-4

\({E}_{yy}\)

ANALYTIQUE

-0.00059885996551

2.2E-3

Remarques#

On obtient de très bons résultats puisque pour toutes les grandeurs examinées, la différence entre la solution obtenue avec le code et la solution analytique est inférieure à \(\text{0.5%}\) pour les déplacements et inférieurs à \(\text{5%}\) pour les contraintes.

Modélisation L#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UP et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type TETRA10 uniquement.

../../../../_images/100147DE000069D5000048C34BB63DF767058DA91.svg

\(\mathit{AB}\) est sur l’axe \(\mathit{OX}\) (contrairement à la modélisation A).

Le maillage a été obtenu avec GMSH pour une densité de \(0,01\) .

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DY = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 2064

Nombre de mailles: 1121 TETRA10

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.02

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.03

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.002

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.002

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.03

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.015

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.002

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.003

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.005

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.002

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

-20.003

0.01

Remarques#

Les résultats obtenus sont tout à fait corrects puisque les contraintes sont obtenues avec une précision inférieure à \(\text{3%}\) voire \(\text{1%}\) au point F. L’écart est ici un peu plus important que pour les HEXA20, mais peut s’expliquer par le fait que le chargement est imposé ici de manière un peu moins précise puisque le déplacement u au point A, n’est défini qu’à une précision de \(\text{0.158%}\) contre \(\text{0.077%}\) (soir le facteur 2, qu’on retrouve sur les contraintes).

Modélisation M#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments D_PLAN_INCO_UP et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type TRIA6 et QUAD8.

../../../../_images/10005A2E00002957000015E96F33A1848BC624791.svg

Les conditions limites sont:

  • Déplacement DX nul sur la face ’GRNM11’ (côté \(\mathit{AB}\))

  • Déplacement normal bloqué sur la face ’GRMA12’ (coté \(\mathit{EF}\))

  • Déplacement normal imposé sur la face ’GRMA13’ (coté \(\mathit{AE}\))

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 591

Nombre de mailles: 200 TRIA6, 50 QUAD8.

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes SIGM_NOEU sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

1.10-5

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

6.10-5

1.10-4

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

5.10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.02

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.02

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.006

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.006

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.02

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.02

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.003

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.006

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217.10-5

3.10-4

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217.10-5

3.10-4

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

5.10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

2.5.10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

5.10-4

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

2.10-3

Pour les déformations de Green-Lagrange:

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\({E}_{xx}\)

ANALYTIQUE

0.000601356410318

4E-3

\({E}_{yy}\)

ANALYTIQUE

-0.000604235469839

7.0E-3

Remarques#

Comme pour la modélisation 3D, les résultats obtenus sont tout à fait satisfaisants.

Modélisation N#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments AXIS_INCO_UP et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type TRIA6 et QUAD8.

../../../../_images/1000125A00002D7A00000E0E17035B052F36D7EF1.svg

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” (face \(\mathit{EF}\)) et “FACINF” (face \(\mathit{AB}\)): DY = 0.

  • Déplacement radial imposé sur la face intérieure ’FACEAE’ (face \(\mathit{AE}\) ): DX = 6. 10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 175.

Nombre de mailles et types: 20 QUAD8, 40 TRIA6.

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

  1. 10-3

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

  1. 10-3

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

  1. 10-3

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

  1. 10-3

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

  1. 10-4

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

  1. 10-3

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-4

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

0.03

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.0

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

40.006

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

  1. 10-3

Pour les déformations de Green-Lagrange:

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\({E}_{xx}\)

ANALYTIQUE

-0.000598704996172

2E-3

Remarques#

La précision obtenue est très bonne puisque toutes les contraintes sont obtenues avec une précision inférieure à \(\text{0.5%}\) .

Modélisation O#

Caractéristiques de la modélisation#

Maillage avec des éléments 3D_INCO_UP et DEFORMATION='GDEF_LOG' incompressibles de type PENTA15 uniquement.

../../../../_images/100000000000021000000165F7E8B7418F1BD67E.png

Les conditions limites sont:

  • Déplacement vertical nul sur les faces “FACSUP” et “FACINF” faces \(\mathit{AEFD}\) ( \(z=0\) et \(z=0.01\) ) : DZ = 0.

  • Déplacement normal bloqué sur les faces ’FACEAB’ (face \(\mathit{AB}\), DX = 0 ) et ’FACEEF’ (face \(\mathit{EF}\), DNOR = 0.)

  • Déplacement imposé sur la face intérieure du cylindre ’FACEAE’: face \(\mathit{AE}\) DNOR = -6.10-5

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 1861

Nombre de mailles: 480 PENTA15

Grandeurs testées et résultats#

Les déplacements et les contraintes sont évalués aux points \(A\) et \(F\) . Les composantes du champ SIEQ_NOEU sont testées au point \(A\) uniquement.

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(A\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

  1. 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

99.9566

0.0002

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

-59.9955

0.003

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

19.9326

0.007

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

0.0008

VMIS

ANALYTIQUE

138.5226

0.001

TRESCA

ANALYTIQUE

159.9521

0.001

PRIN_1

ANALYTIQUE

-59.9955

0.003

PRIN_2

ANALYTIQUE

19.9326

0.008

PRIN_3

ANALYTIQUE

99.9566

0.0002

VMIS_SG

ANALYTIQUE

138.5226

0.001

Identification

Type de référence

Référence

Tolérance

\(F\)

\(\mathit{u}\) (DX)

ANALYTIQUE

-2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{v}\) (DY)

ANALYTIQUE

2.1217 10-5

  1. 10-3

\(\mathit{\sigma_{xx}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.007

\(\mathit{\sigma_{yy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0006

\(\mathit{\sigma_{zz}}\)

ANALYTIQUE

20.003

  1. 10-5

\(\mathit{\sigma_{xy}}\)

ANALYTIQUE

20.003

0.0004

Synthèse des résultats#

Avec un coefficient de Poisson \(\nu\) très proche de \(0.5\) , on retrouve les résultats de la solution analytique incompressible en grandes déformations, avec une précision tout à fait correcte.

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