v6.01.104 SSNA104 - Cylindre creux soumis à une pression, viscoélasticité linéaire#
Résumé:
Ce cas-test permet de valider les lois de LEMAITRE et LEMA_SEUIL implantée dans Code_Aster dans le cas de comportement viscoélastique linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
Solutions de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
L’ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document [bib1].
Dans le cas d’un matériau isotrope viscoélastique linéaire, on peut décrire le comportement au cours du temps à l’aide de deux fonctions \(I(t)\) et \(K(t)\) de telle sorte que les déformations et les contraintes peuvent s’écrire:
\(\varepsilon (t)=(I+K)\mathrm{\ast }\frac{d\sigma (t)}{d\tau }-K\mathrm{\ast }\frac{d(\mathit{Tr}(\sigma (t)))}{d\tau }{I}_{3}\)
où \({I}_{3}\) désigne la matrice identité de rang 3
et \(\mathrm{\ast }\) le produit de convolution: \((f\mathrm{\ast }g)(t)={\int}_{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau\)
On trouve \(I(t)=\frac{1}{E}+\mathit{kt}\) , \(K(t)=\frac{\nu}{E}+\frac{1}{2}\mathit{kt}\)
On impose la pression \({P}_{0}\) à l’instant \(t=0\) , la pression interne vaut \(p(t)=H(t){P}_{0}\) où \(H(t)=\lbrace \begin{array}{c}0\mathit{si}t-\tau <0\\ 1\mathit{si}t-\tau \ge 0\end{array}\) avec dans ce cas \(\tau =0\)
On utilise la transformée de Laplace Carson \({f}^{+}(n)=L(f(t))=n{\int}_{0}^{\infty}f(t){e}^{-\mathit{nt}}\mathit{dt}\)
D’où \({p}^{+}={P}_{0}\)
La solution du problème élastique équivalent est:
\({\sigma}^{+}=(\begin{array}{ccc}\gamma (1-\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}})& 0& 0\\ 0& \gamma (1+\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}})& 0\\ 0& 0& {\sigma}_{Z}^{+}\end{array})\) où \(\gamma =\frac{{P}_{0}{r}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{2}-{r}_{0}^{2}}\)
On détermine \({\sigma}_{Z}^{+}\) par la condition sur \({\varepsilon}_{Z}^{+}\) donnée par les conditions aux limites:
\({\varepsilon}_{Z}^{+}=0=({I}^{+}+{K}^{+}){\sigma}_{Z}^{+}-{K}^{+}(2\gamma +{\sigma}_{Z}^{+})={I}^{+}{\sigma}_{Z}^{+}-2{K}^{+}\gamma\)
D’où \({\sigma}_{Z}^{+}=\gamma (1+\frac{(2\nu -1)p}{p+\mathit{Ek}})\) .
On trouve par la transformée de Laplace inverse \({\sigma}_{z}(t)=\gamma (1-(1-2\nu ){e}^{-\mathit{Eht}})\) , de même en appliquant la transformée de Laplace inverse sur \({\sigma}_{r}\) et \({\sigma}_{\theta}\) , on trouve
\({\sigma}^{+}=(\begin{array}{ccc}\gamma (1-\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}})& 0& 0\\ 0& \gamma (1+\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}})& 0\\ 0& 0& \gamma (1-(1-2\nu ){e}^{-\mathit{Eht}})\end{array})\)
On en déduit:
\(\dot{{\varepsilon}_{V}}=(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}k\gamma (\frac{1-2\nu }{3}{e}^{-\mathit{Ekt}}-\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}})& 0& 0\\ 0& \frac{3}{2}k\gamma (\frac{1-2\nu }{3}{e}^{-\mathit{Ekt}}-\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}})& 0\\ 0& 0& -k\gamma ((1-2\nu ){e}^{-\mathit{Eht}})\end{array})\)
et en intégrant avec \({\varepsilon}_{V}(0)=0\) ;
\(\dot{{\varepsilon}_{V}}=(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}\gamma (\frac{1-2\nu }{3}{e}^{-\mathit{Ekt}}-k\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}}t)& 0& 0\\ 0& \frac{3}{2}\gamma (\frac{1-2\nu }{3}{e}^{-\mathit{Ekt}}-k\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}}t)& 0\\ 0& 0& -\gamma \frac{(1-2\nu )}{E}(1-{e}^{-\mathit{Eht}})\end{array})\) .
On en déduit le déplacement radial
\(w(r,t)=r\gamma \left[\frac{1}{E}\left[(1+\nu )\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}}+\frac{1-2\nu }{2}(3-(1-2\nu ){e}^{-\mathit{Ekt}})\right]+\frac{3}{2}k\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}^{2}}t\right]\)
Résultats de référence#
Déplacement \(\mathit{DX}\) sur le nœud \(B\) et les contraintes \(\mathit{SIXX}\) , \(\mathrm{SIYY}\) et \(\mathrm{SIZZ}\) en \(B\)
Incertitude sur la solution#
\(\text{0\%}\) : solution analytique
Références bibliographiques#
Ph. De BONNIERES: Deux solutions analytiques de problèmes axisymétriques en viscoélasticité linéaire et avec contact unilatéral, Note HI-71/8301
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le problème est modélisé en axisymétrie.
Caractéristiques du maillage#
1000 mailles QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
\(\mathrm{DX}(B)\) |
0.9 |
2.14498 E–3 |
\(\mathrm{SIXX}(B)\) |
0.9 |
0.0 |
\(\mathrm{SIYY}(B)\) |
0.9 |
2.7912 E–4 |
\(\mathrm{SIZZ}(B)\) |
0.9 |
6.66 E–4 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Le problème est modélisé en axisymétrie
Caractéristiques du maillage#
1000 mailles QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Référence |
\(\mathrm{DX}(B)\) |
0.9 |
2.14498 E–3 |
\(\mathit{SIXX}(B)\) |
0.9 |
0.0 |
\(\mathrm{SIYY}(B)\) |
0.9 |
2.7912 E–4 |
\(\mathrm{SIZZ}(B)\) |
0.9 |
6.66 E–4 |
Synthèse des résultats#
Les résultats calculés par Code_Aster sont en accord avec les solutions analytiques mais dépendent très fortement du raffinement du maillage.