r5.03.16 Relation de comportement élastoplastique à écrouissage cinématique linéaire et isotrope non linéaire. Modélisations 3D et contraintes planes.

Résumé:

Ce document décrit une loi de comportement élastoplastique à écrouissage mixte, cinématique linéaire et isotrope non linéaire. Les équations à résoudre pour intégrer numériquement cette relation de comportement sont précisées, ainsi que la matrice tangente cohérente.

Ce comportement est utilisable pour les modélisations de milieux continus 3D, 2D (AXIS, C_PLAN, D_PLAN), et pour les modélisations DKT, COQUE_3D et TUYAU.

Description du modèle

A tout instant, l’état du matériau est décrit par la déformation \(\varepsilon\) , la température \(T\) , la déformation plastique \({\varepsilon}^{p}\) et la déformation plastique cumulée \(p\) . Les équations d’état définissent alors en fonction de ces variables d’état la contrainte \(\sigma ={\sigma}^{H}\text{Id}+\tilde{\sigma}\) (décomposée en parties hydrostatique et déviatorique), la part isotrope de l’écrouissage \(R\) et la part cinématique \(X\) , aussi appelée contrainte de rappel:

\({\sigma}^{H}=\frac{1}{3}\text{tr}(\sigma )=K\text{tr}(\varepsilon -{\varepsilon}^{\text{th}})\text{avec}{\varepsilon}^{\text{th}}=\alpha ({\text{T-T}}^{\text{réf}})\text{Id}\) [éq2-1]

\(\tilde{\sigma}=\sigma -{\sigma}^{H}\text{Id}=2\mu (\tilde{\varepsilon}-{\varepsilon}^{p})\text{où}\tilde{\varepsilon}=\varepsilon -\frac{1}{3}\text{tr}(\varepsilon )\text{Id}\) [éq2-2]

\(R=R(p)\) [éq2-3]

\(X=C{\varepsilon}^{p}\) [éq2-4]

où \(K,\mu ,\alpha ,R\) et \(C\) sont des caractéristiques du matériau qui peuvent dépendre de la température.

Plus précisément, ce sont respectivement les modules de compressibilité et de cisaillement, le coefficient de dilatation thermique moyen (voir [R4.08.01]), la fonction d’écrouissage isotrope et la constante de Prager. Quant à \({T}^{\text{réf}}\) , il s’agit de la température de référence, pour laquelle la déformation thermique est nulle.

\(K,\mu\) sont reliés au module d’Young \(E\) et au coefficient de Poisson par:

\(\begin{array}{}\mathrm{3K}=3\lambda +2\mu =\frac{E}{1-2\nu }\\ 2\mu =\frac{E}{1+\nu }\end{array}\)

Remarque:

Concernant la part cinématique de l’écrouissage [é q]on constate qu’elle est linéaire dans ce modèle. Par ailleurs, il faut prendre garde au fait que dans certaines références, on appelle constante de Prager \(\mathrm{2C}/3\) et non pas \(C\) *. De même, pour la fonction d’écrouissage isotrope, la limite d’élasticité y est incluse par* \(R(0)={\sigma}^{y}\) , certaines références la traitant à part.

L’évolution des variables internes \({\varepsilon}^{p}\text{et}p\) est gouvernée par une loi d’écoulement normale associée à un critère de plasticité \(F\) :

\(F(\sigma ,R,X)={(\tilde{\sigma}-X)}_{\text{eq}}-R\) [éq2-5]

avec \({A}_{\text{eq}}=\sqrt{\frac{3}{2}\tilde{A}\cdot \tilde{A}}\)

\({\dot{\varepsilon}}^{p}=\dot{\lambda}\frac{\partial F}{\partial \sigma }=\frac{3}{2}\dot{\lambda}\frac{\tilde{\sigma}-X}{{(\tilde{\sigma}-X)}_{\text{eq}}}\) [éq2-6]

\(\dot{p}=\dot{\lambda}=\sqrt{\frac{2}{3}{\dot{\varepsilon}}^{p}\cdot {\dot{\varepsilon}}^{p}}\) [éq2-7]

Quant au multiplicateur plastique \(\dot{\lambda}\) , il est obtenu par la condition de cohérence suivante:

\(\lbrace \begin{array}{cc}\text{si}F\text{<}0\text{ou}\dot{F}\text{<}0& \dot{\lambda}=0\\ \text{si}F=0\text{et}\dot{F}=0& \dot{\lambda}\text{>=}0\end{array}\) [éq2-8]

Intégration de la relation de comportement

Pour réaliser numériquement l’intégration de la loi de comportement, on effectue une discrétisation en temps et on adopte un schéma d’Euler implicite, réputé approprié pour des relations de comportement élastoplastiques. Dorénavant, on emploiera les notations suivantes: \({A}^{-},A\text{et}\Delta A\) représentent respectivement les valeurs d’une quantité \(A\) au début et à la fin du pas de temps considéré ainsi que son incrément durant le pas. Le problème est alors le suivant: connaissant l’état au temps \({t}^{-}\) ainsi que les incréments de déformation \(\Delta \varepsilon\) et de température \(\Deltat\) , déterminer l’état au temps \(t\) ainsi que les contraintes \(\sigma\) .

Dans un premier temps, on prend en compte les variations des caractéristiques par rapport à la température en remarquant que:

\({\sigma}^{H}=\frac{K}{{K}^{-}}{\sigma}^{{H}^{-}}+K\text{tr}(\Delta \varepsilon -\Delta {\varepsilon}^{\text{th}})\) [éq3-1]

\(\tilde{\sigma}=\frac{\mu}{{\mu}^{-}}{\tilde{\sigma}}^{-}+2\mu (\Delta \tilde{\varepsilon}-\Delta {\varepsilon}^{p})\) [éq3-2]

\(X=\frac{C}{{C}^{-}}{X}^{-}+C\Delta {\varepsilon}^{p}\) [éq3-3]

Au vu de l’équation [éq], on constate que le comportement hydrostatique est purement élastique. Seul le traitement de la composante déviatorique est délicat. Pour alléger les écritures à venir, on introduit \({\tilde{s}}^{e}\) la différence \(\tilde{\sigma}-X\) en l’absence d’incrément de déformations plastiques, si bien que:

\(\tilde{\sigma}-X=\underset{{\tilde{s}}^{e}}{\underset{\underbrace{}}{\frac{\mu}{{\mu}^{-}}{\tilde{\sigma}}^{-}-\frac{C}{{C}^{-}}{X}^{-}+2\mu \Delta \tilde{e}}}-(2\mu +C)\Delta {\varepsilon}^{p}\) [éq3-4]

Les équations d’écoulement [éq] et [éq] et la condition de cohérence [éq] s’écrivent une fois discrétisées et en remarquant que \(p=\lambda\) :

\(\Delta {\varepsilon}^{p}=\frac{3}{2}\Deltap \frac{\tilde{\sigma}-X}{{(\tilde{\sigma}-X)}_{\text{eq}}}\) [éq3-5]

\(F\text{<=}0\Deltap \text{>=}0F\Deltap =0\) [éq3-6]

Le traitement de la condition de cohérence [éq] est classique. On commence par un essai élastique (\(\Deltap =0\) ) qui est bien la solution si le critère de plasticité n’est pas dépassé, c’est-à-dire si:

\(F={s}_{\text{eq}}^{e}-R({p}^{-})\text{<=}0\) [éq3-7]

Dans le cas contraire, la solution est plastique (\(\Deltap \text{>}0\) ) et la condition de cohérence [éq] se réduit à \(F=0\) . Pour la résoudre, on commence par montrer qu’on peut se ramener à un problème scalaire en éliminant \(\Delta {\varepsilon}^{p}\) . En effet, en tenant compte de [éq] et [éq], on constate que \(\Delta {\varepsilon}^{p}\) est colinéaire à \({\tilde{s}}^{e}\) car:

\(\Delta {\varepsilon}^{p}=\frac{3}{2}\frac{\Deltap }{{(\tilde{\sigma}-X)}_{\text{eq}}}\left[{\tilde{s}}^{e}-(2\mu +C)\Delta {\varepsilon}^{p}\right]\) [éq3-8]

Par ailleurs, d’après [éq], la norme de \(\Delta {\varepsilon}^{p}\) vaut:

\({(\Delta {\varepsilon}^{p})}_{\text{eq}}=\frac{3}{2}\Deltap\) [éq3-9]

On en déduit donc immédiatement l’expression de \(\Delta {\varepsilon}^{p}\) en fonction de \(\Deltap\) :

\(\Delta {\varepsilon}^{p}=\frac{3}{2}\Deltap \frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}}\) [éq3-10]

Il ne reste plus maintenant qu’à remplacer \(\Delta {\varepsilon}^{p}\) par son expression [éq] dans l’équation [éq] on obtient:

\(\tilde{\sigma}-X={\tilde{s}}^{e}\left[1-\frac{\frac{3}{2}(2\mu +C)\Delta p}{{s}_{\text{eq}}^{e}}\right]\)

en reportant \(\tilde{\sigma}-X\) dans l’équation \(F=0\) , on se ramène à une équation scalaire en \(\Delta p\) à résoudre, à savoir:

\(\mid {s}_{\text{eq}}^{e}-\frac{3}{2}(2\mu +C)\Deltap \mid -R({p}^{-}+\Deltap )=0\) [éq3-11]

Dans la mesure où la fonction \(R\) est positive, ce que l’on admettra dorénavant, il existe une solution \(\Delta p\) à cette équation, caractérisée par:

\(\frac{3}{2}(2\mu +C)\Delta p+R({p}^{-}+\Delta p)={s}_{\text{eq}}^{e}\) [éq3-12]

où \(0<\Delta p<\frac{2}{3}\frac{{s}_{\text{eq}}^{e}}{2\mu +C}\)

Notons que dans l’intervalle précisé dans [éq], la solution est unique. Pour des détails quant à la résolution de cette équation, on se reportera à [R5.03.02].

Le cas particulier des contraintes planes est étudié au § 6 .

Calcul de la rigidité tangente

Afin de permettre une résolution du problème global (équations d’équilibre) par une méthode de Newton, il est nécessaire de déterminer la matrice tangente cohérente du problème incrémental. Pour cela, on adopte une fois de plus la convention d’écriture des tenseurs symétriques d’ordre 2 sous forme de vecteurs à 6 composantes. Ainsi, pour un tenseur \(a\) :

\(a={}^{t}\text{}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{xx}& {a}_{yy}& {a}_{zz}\end{array}\begin{array}{ccc}\sqrt{2}{a}_{xy}& \sqrt{2}{a}_{xz}& \sqrt{2}{a}_{yz}\end{array}\right]\) [éq4-1]

Si on introduit en outre le vecteur hydrostatique \(1\) et la matrice de projection déviatorique \(P\) :

\(1={}^{t}\text{}\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\) [éq4-2]

\(P=\text{Id}-\frac{1}{3}1\otimes 1\) [éq4-3]

Alors la matrice de rigidité tangente cohérente s’écrit pour un comportement élastique:

\(\frac{\partial s}{\partial \Delta \varepsilon }=K1\otimes 1+2\mup\) [éq4-4]

et pour un comportement plastique:

\(\frac{\partial s}{\partial \Delta \varepsilon }=K1\otimes 1+2\mu (1-\frac{3\mu \Deltap }{{s}_{\text{eq}}^{e}})P+9{\mu}^{2}(\frac{\Deltap }{{s}_{\text{eq}}^{e}}-\frac{1}{{R}^{'}(p)+\frac{3}{2}(2\mu +C)})(\frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}}\otimes \frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}})\) [éq4-5]

La matrice tangente initiale, utilisée par l’option RIGI_MECA_TANG est obtenue en adoptant le comportement du pas précédent (élastique ou plastique, signifié par une variable interne \(x\) valant 0 ou 1) et en prenant \(\Deltap =0\) dans l’équation [éq].

Remarque:

RIGI_MECA_TANG est l’opérateur linéarisé par rapport **au temps(cf.* [R5.03.01] , [R5.03.05] ) et correspond à ce qu’on appelle le problème en vitesse; dans le cas présent, la linéarisation par rapport à \(\Deltau\) , en \(\Deltau =0\) , fournit la même expression.

On se propose maintenant de démontrer l’expression [éq]. En différentiant les [éq] et [éq] à température fixée, on obtient immédiatement:

\(\delta \sigma =\left[K1\otimes 1+2\mup \right]\delta \varepsilon -2\mu \delta {\varepsilon}^{p}\) [éq4-6]

Si le régime de comportement est plastique, la loi d’écoulement incrémentale [éq] fournit alors:

\(\delta {\varepsilon}^{p}=\frac{3}{2}\deltap \frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}}+\frac{3}{2}\Deltap \delta (\frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}})\) [éq4-7]

Quant à \(\mathrm{dp}\) , il est obtenu en différentiant l’équation implicite [éq]:

\(\left[\frac{3}{2}(2\mu +C)+{R}^{'}(p)\right]\deltap =\delta {s}_{\text{eq}}^{e}\) [éq4-8]

Enfin, il ne reste plus qu’à fournir les variations de \({\tilde{s}}^{e}\) :

\(\delta {\tilde{s}}^{e}=2\mu \delta \tilde{\varepsilon}{\mathrm{ds}}_{\text{eq}}^{e}=3\mu \frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}}\cdot \delta \tilde{\varepsilon}\delta (\frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}})=\frac{1}{{s}_{\text{eq}}^{e}}(2\mu -3\mu \frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}}\otimes \frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}})\cdot \delta \tilde{\varepsilon}\) [éq4-9]

En remplaçant alors [éq], [éq] et [éq] dans [éq], on obtient bien l’expression [éq].

Cette expression est formellement identique à celle définie dans R5.03.02: [éq] et s’écrit:

\(\frac{\partial \sigma }{\partial \Delta \varepsilon }=K1\otimes 1+2\mu (1-\frac{3\mu \xi \Deltap }{{s}_{\text{eq}}^{e}})(\text{Id}-\frac{1}{3}1\otimes 1)+9{\mu}^{2}\xi (\frac{\Deltap }{{s}_{\text{eq}}^{e}}-\frac{1}{{R}^{'}+\frac{3}{2}(2\mu +C)})(\frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}}\otimes \frac{{\tilde{s}}^{e}}{{s}_{\text{eq}}^{e}})\)

avec \(\xi =1\) si \(\Delta \varepsilon\) conduit à une plastification, et \(\xi =0\) sinon.

En utilisant [éq], on trouve :

\(\frac{\partial s}{\partial \Delta \varepsilon }={\lambda}^{\text{*}}\overrightarrow{1}\otimes \overrightarrow{1}+2{\mu}^{\text{*}}\text{Id}-\xi \frac{9{\mu}^{2}}{H(p)}(1-\frac{{R}^{'}.\Delta p}{R(p)})\frac{1}{{R}^{'}+\frac{3}{2}(2\mu +C)}(\frac{{\sigma}^{\text{dev}}}{R(p)}\otimes \frac{{\sigma}^{\text{dev}}}{R(p)})\)

avec \({\lambda}^{\text{*}}=K-\frac{2\mu }{3}\frac{G(\Delta p)}{H(\Delta p)}2{\mu}^{\text{*}}=2\mu \frac{G(\Delta p)}{H(\Delta p)}\)

pour l’option FULL_MECA: \({\sigma}^{\text{dev}}=\tilde{\sigma}-X\)

pour l’option RIGI_MECA_TANG: \({\sigma}^{\text{dev}}={\tilde{\sigma}}^{-}-{X}^{-}\)

avec \(H(\Delta p)=1+\frac{\frac{3}{2}(2\mu +C)\xi \Delta p}{R(p)}\)

et \(G(\Delta p)=1+\frac{3}{2}C\xi \frac{\Delta p}{R(p)}\)

Identification des caractéristiques du matériau

Considérons un essai de traction compression uniaxial, [Figure]. On se propose de montrer comment il permet d’identifier la constante de Prager et la fonction d’écrouissage isotrope. Dans un tel essai, les différents tenseurs sont à directions fixes, c’est-à-dire que:

\(\tilde{\sigma}=\sigma \Delta X=X\Delta {\varepsilon}^{p}=\frac{3}{2}{\varepsilon}^{p}D\) [éq5-1]

avec \(D=\left[\begin{array}{ccc}2/3& & \\ & -1/3& \\ & & -1/3\end{array}\right]\)

Tant que le chargement est monotone, donc en phase de traction, on obtient immédiatement les relations suivantes:

\(p={\varepsilon}^{p}X=\frac{3}{2}C{\varepsilon}^{p}{s}^{t}=\frac{3}{2}C{\varepsilon}^{p}+R({\varepsilon}^{p})\) [éq5-2]

La constante de Prager est déterminée par la première plastification en compression, puisqu’on a:

\(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{A}^{t}=\frac{3}{2}C{\varepsilon}_{A}^{p}+R({\varepsilon}_{A}^{p})\\ {\sigma}_{A}^{c}=\frac{3}{2}C{\varepsilon}_{A}^{p}-R({\varepsilon}_{A}^{p})\end{array}\Rightarrow C=\frac{{\sigma}_{A}^{t}+{\sigma}_{A}^{c}}{3{\varepsilon}_{A}^{p}}\) [éq5-3]

Figure 5-a : Essai de traction compression uniaxial

La courbe d’écrouissage \({\sigma}^{t}=F({\varepsilon}^{p})\) est déduite de la courbe de traction \({\sigma}^{t}=F(\varepsilon )\) fournie par l’utilisateur sous les mots clés ECRO_LINE ( (SYet D_SIGM_EPSI(écrouissage linéaire)) ou bien TRACTION (écrouissage quelconque). Elle permet enfin d’obtenir la fonction d’écrouissage isotrope par [éq]:

\(R({\varepsilon}^{p})={s}^{t}({\varepsilon}^{p})-\frac{3}{2}C{\varepsilon}^{p}\)

Pour le calcul effectif de R(p), suivant le document R5.03.02, on titre parti de la linéarité (ECMI_LINE) ou de la linéarité par morceaux de la courbe de traction (ECMI_TRAC):

ECMI_LINE:

\(\begin{array}{}{\sigma}^{t}=F({\varepsilon}^{p})={\sigma}_{y}+\frac{E.{E}_{T}}{E-{E}_{T}}p\\ R(p)={\sigma}_{y}+(\frac{E.{E}_{T}}{E-{E}_{T}}-\frac{3}{2}C)p={\sigma}_{y}+{R}^{'}.p\\ \end{array}\) [éq5-4]

L’équation [éq] devient alors:

\(\frac{3}{2}(2\mu +C)\Deltap +{\sigma}_{y}+{R}^{'}.(p+\Deltap )={s}_{\text{eq}}^{e}\) [éq5-5]

ECMI_TRAC:

\(\begin{array}{}{\sigma}^{t}=F({\varepsilon}^{p})={\sigma}_{i}+\frac{{\sigma}_{i+1}-{s}_{i}}{{p}_{i-1}-{p}_{i}}(p-{p}_{i}),\text{pour}{p}_{i}\text{<=}p\text{<=}{p}_{i+1}\\ R(p)={\sigma}_{i}+\frac{{\sigma}_{i+1}-{\sigma}_{i}}{{p}_{i-1}-{p}_{i}}(p-{p}_{i})-\frac{3}{2}\text{Cp}={\sigma}_{i}-\frac{{\sigma}_{i+1}-{\sigma}_{i}}{{p}_{i-1}-{p}_{i}}{p}_{i}+{R}^{'}.p\end{array}\) [éq5-6]

Remarque:

Pour l’utilisation: la correspondance entre le modèle de comportement VMIS_CINE_LINE et le comportement VMIS_ECMI_LINE est la suivante:

• Avec VMIS_CINE_LINE, il faut introduire dans DEFI_MATERIAU un écrouissage linéaire de pente Et par:

D_SIGM_EPSI: Et

• Avec VMIS_ECMI_LINE, pour reproduire le même comportement à écrouissage cinématique linéaire, il faut donner dans DEFI_MATERIAU.

un écrouissage linéaire de pente \({E}_{T}\) : D_SIGM_EPSI: Et

La constante de Prager \(C\) : PRAGER: C

\(C\) est déterminée par: \(C=\frac{2}{3}\frac{{\text{EE}}_{T}}{E-{E}_{T}}\)

Il faut bien remarquer que l’identification de \(C\) et de \(R({\varepsilon}^{p})\) n’ont de sens que dans un domaine de déformations limité (petites déformations). En particulier, si \({\sigma}^{t}({\varepsilon}^{p})\) présente une asymptote \({\sigma}_{\max}^{t}\) pour \({\varepsilon}^{p}\) suffisamment grand, alors la contribution cinématique de l’écrouissage n’a plus de signification. Il est donc conseillé de se restreindre au domaine où l’écrouissage est strictement positif.

• Avecvec VMIS_CINE_GC, il faut introduire dans DEFI_MATERIAU un écrouissage linéaire de pente Et par:

D_SIGM_EPSI : Et

Ce comportement est disponible en contrainte plane. Il n’est pas nécessaire de donner la constante de Prager. La correspondance entre ETet Cest faite par le code et pris en compte notamment lors du calcul de \(\Delta P\) , chapitre 6 .

Cas particulier des contraintes planes : calcul de :math:`Delta`p

Il faut ajouter aux équations [éq] à [éq] la condition de contraintes planes \({s}_{33}=0\) , ce qui ajoute une inconnue (la déformation correspondante):

\({\sigma}^{H}=\frac{K}{{K}^{-}}{s}^{{H}^{-}}+K\text{tr}(\Delta \varepsilon -\Delta {\varepsilon}^{\text{th}})\) [éq6-1]

\(\tilde{\sigma}=\frac{\mu}{{\mu}^{-}}{\tilde{\sigma}}^{-}+2\mu (\Delta \tilde{\varepsilon}-\Delta {\varepsilon}^{p})\) [éq6-2]

\(X=\frac{C}{{C}^{-}}{X}^{-}+C\Delta {\varepsilon}^{p}\) [éq6-3]

\({\sigma}_{33}=0\) [éq6-4]

Alors, l’équation [éq] devient:

\(\stackrel{~}{\sigma}-X=\frac{\mu}{{\mu}^{-}}{\stackrel{~}{\sigma}}^{-}-\frac{C}{{C}^{-}}{X}^{-}+2\mu \Delta {\stackrel{~}{\epsilon}}^{c}-(2\mu +C)\Delta {\epsilon}^{p}+2\mu \Delta {\stackrel{~}{\epsilon}}^{y}={\stackrel{~}{\sigma}}^{e}-(2\mu +C)\Delta {\epsilon}^{p}+2\mu \Delta {\stackrel{~}{\epsilon}}^{y}\) [éq6-5]

où \(\Delta {\stackrel{~}{\epsilon}}^{c}\) est entièrement déterminé par le comportement élastique:

\(\Delta {\tilde{\varepsilon}}_{33}^{c}=\frac{-\nu }{1-\nu }(\Delta {\tilde{\varepsilon}}_{11}^{c}+\Delta {\tilde{\varepsilon}}_{22}^{c}),\Delta {\tilde{\varepsilon}}_{11}^{c}=\Delta \tilde{{\varepsilon}_{11}},\Delta {\tilde{\varepsilon}}_{22}^{c}=\Delta \tilde{{\varepsilon}_{22}}\)

et \(\Delta {\tilde{\varepsilon}}^{y}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \Deltay \end{array}\right]\) est inconnu. On suppose également que \({\sigma}_{13}={\sigma}_{23}={\varepsilon}_{13}={\varepsilon}_{23}=0\) .

On a toujours:

\(\Delta {\varepsilon}^{p}=\frac{3}{2}\Deltap \frac{\tilde{\sigma}-X}{{(\tilde{\sigma}-X)}_{\text{eq}}}\) [éq6-6]

\(\mathrm{F}={\sigma}_{\text{eq}}-R\left(p\right)\le 0\phantom{\rule{2em}{0ex}};\Delta p\ge 0\phantom{\rule{2em}{0ex}};F\Delta p=0\) [éq6-7]

Essai élastique:

• Si

\(F={s}_{\text{eq}}^{e}-R({p}^{-})\text{<=}0\) [éq6-8]

alors

\(\tilde{\sigma}={\tilde{s}}_{e}\) \(\Deltap =0\) \(\Deltay =0\) [éq6-9]

\({\sigma}^{H}=\frac{K}{{K}^{-}}{\sigma}^{{H}^{-}}+K\text{tr}(\Delta {\varepsilon}^{c}-\Delta {\varepsilon}^{\text{th}})\) [éq6-10]

• Sinon, la solution est plastique: \(\Delta p\text{>}0\) , \(\Delta Y\ne 0\) . On peut encore se ramener à un problème scalaire en \(\Deltap\) .

En tenant compte de [éq] et [éq], on constate que \(\tilde{\sigma}-X\) est colinéaire à \({\tilde{s}}^{e}+2\mu \Delta {\tilde{\varepsilon}}^{y}\) car:

\((\tilde{\sigma}-X)(1+\frac{\frac{3}{2}(2\mu +C)\Delta p}{R(p)})=(\tilde{\sigma}-X)H(\Delta p)=\left[{\tilde{s}}^{e}+2\mu \Delta {\tilde{\varepsilon}}^{y}\right]\) [éq6-11]

Donc:

\(({\tilde{\sigma}}_{33}-{X}_{33})H(\Delta p)=\left[{\tilde{s}}_{33}^{e}+\frac{4}{3}\mu \Delta Y\right]\) [éq6-12]

Nous allons exprimer l’équation [éq] en fonction de \(\Delta p\) seulement. D’après [éq]:

\({\sigma}_{33}=0={\tilde{\sigma}}_{33}+{\sigma}^{{}^{H}}={\tilde{\sigma}}_{33}+{\sigma}_{e}^{H}+K.\Deltay\) [éq6-13]

avec \({\sigma}_{e}^{H}=\frac{K}{{K}^{-}}{\sigma}^{{H}^{-}}+K\text{tr}(\Delta {\varepsilon}^{c}-\Delta {\varepsilon}^{\text{th}})\)

En utilisant [éq], [éq] et l’incompressibilité des déformations plastiques, on peut montrer que:

\({\tilde{s}}_{33}^{e}+{\sigma}_{e}^{{}^{H}}=-\frac{C}{{C}^{-}}{X}_{33}^{-}\) [éq6-14]

Alors:

\({\tilde{\sigma}}_{33}={\tilde{s}}_{33}^{e}-\mathrm{K.}\Delta Y+\frac{C}{{C}^{-}}{X}_{33}^{-}\) [éq6-15]

Comme d’après [éq]:

\({X}_{33}=\frac{C}{{C}^{-}}{X}_{33}^{-}+C.\Delta {\varepsilon}_{33}^{p}=\frac{C}{{C}^{-}}{X}_{33}^{-}+C.\frac{3}{2}\Delta p\frac{{\tilde{\sigma}}_{33}-{X}_{33}}{R(p)}\) [éq6-16]

\({X}_{33}.G(\Deltap )=\frac{C}{{C}^{-}}{X}_{33}^{-}+\frac{3}{2}C\Deltap \frac{{\tilde{\sigma}}_{33}}{R(p)}\) [éq6-17]

avec \(G(\Deltap )=1+\frac{3}{2}C\frac{\Deltap }{R(p)}\)

A partir de [éq], [éq], [éq], on obtient une équation liant \(\Deltap\) et \(\Deltay\) :

\(\Deltay .(\frac{4}{3}\mu +K\frac{H(\Deltap )}{G(\Deltap )})=\left[{\tilde{s}}_{33}^{e}(\frac{H(\Deltap )}{G(\Deltap )}-1)\right]\) [éq6-18]

L’équation [éq] permet d’obtenir l’équation scalaire en \(\Deltap\) à résoudre, à savoir:

\({(\tilde{\sigma}-X)}_{\text{eq}}H(\Deltap )=R({p}^{-}+\Deltap )H(\Deltap )={\left[{\tilde{s}}^{e}+2\mu \Delta {\tilde{\varepsilon}}^{y}\right]}_{\text{eq}}\) [éq6-19]

Équation dans laquelle \(\Deltay\) est fonction de \(\Deltap\) par l’équation [éq].

Comme dans le cas de l’écrouissage isotrope, on obtient une équation scalaire en \(\Deltap\) , toujours non linéaire, qui est résolue par une méthode de sécante.

Une fois \(\Deltap\) connu, le calcul de \(\tilde{\sigma}\) et \(X\) s’effectue à partir de l’expression de \(\Deltay\) , donc de \(\Delta \varepsilon\) entièrement connu, par une démarche semblable à celle de l’équation [éq].

\(\Delta {\varepsilon}^{p}=\frac{3}{2}\Deltap \frac{{\tilde{s}}^{e}+2\mu \Delta {\tilde{\varepsilon}}^{y}}{{({\tilde{s}}^{e}+2\mu \Delta {\tilde{\varepsilon}}^{y})}_{\text{eq}}}=\frac{3}{2}\Deltap \frac{\tilde{\sigma}-X}{H(\Deltap ){({\tilde{s}}^{e}+2\mu \Delta {\tilde{\varepsilon}}^{y})}_{\text{eq}}}\) [éq6-20]

\(\tilde{\sigma}=\frac{\mu}{{\mu}^{-}}{\tilde{\sigma}}^{-}+2\mu (\Delta \tilde{\varepsilon}-\Delta {\varepsilon}^{p})\) [éq6-21]

On obtient en éliminant \(\Delta {\varepsilon}^{p}\) à partir de [éq], [éq] et [éq]:

\(\tilde{\sigma}=(\frac{\mu}{{\mu}^{-}}{\tilde{\sigma}}^{-}+2\mu \Delta \tilde{\varepsilon})\frac{G(\Delta p)}{H(\Delta p)}+\frac{3}{2}2\mu \frac{\Delta p}{R(p)H(\Delta p)}\frac{C}{{C}^{-}}{X}^{-}\) [éq6-22]

\(X=\frac{3}{2}C\frac{\Delta p}{R(p)H(\Delta p)}(\frac{\mu}{{\mu}^{-}}{\tilde{\sigma}}^{-}+2\mu \Delta \tilde{e})+(1-\frac{3}{2}C\frac{\Delta p}{R(p)H(\Delta p)})\frac{C}{{C}^{-}}{X}^{-}\) [éq6-23]

Signification des variables internes

Les variables internes du modèle aux points de Gauss (VARI_ELGA) sontpour toutes les modélisations:

• VARI_1= \(\text{p}\) : la déformation plastique cumulée (positive ou nulle)

• VARI_2 = \(\xi\) : valant 1 si le point de Gauss a plastifié au cours de l’incrément ou 0 sinon.

\(\text{X}\) : tenseur de rappel:

Pour la modélisation 3D:

• VARI_3 = \({X}_{11}\)

• VARI_4 = \({X}_{22}\)

• VARI_5 = \({X}_{33}\)

• VARI_6 = \({X}_{12}\)

• VARI_7 = \({X}_{13}\)

• VARI_8 = \({X}_{23}\)

Pour les modélisations D_PLAN, C_PLAN, AXIS

• VARI_3 = \({X}_{11}\)

• VARI_4 = \({X}_{22}\)

• VARI_5 = \({X}_{33}\)

• VARI_6 = \({X}_{12}\)

Pour les modélisations de coques (DKT, COQUE_3D), en repère local et en chaque point d’intégration de chaque couche:

• VARI_3 = \({X}_{11}\)

• VARI_4 = \({X}_{22}\)

• VARI_5 = \({X}_{33}\)

• VARI_6 = \({X}_{12}\)

Bibliographie

1. 10. LEMAITRE, J.L. CHABOCHE: « Mécanique des matériaux solides ». Dunod 1992

Description des versions du document

Version Aster	Auteur(s) Organisme(s)	Description des modifications
	J.MProix, E.Lorentz EDF-R&D/AMA	Version initiale
8.5	J.M.Proix, EDF-R&D/AMA	Changement de notation du module de compressibilité, cf. fiche REX 10218