v4.21.100 TTLL100 - Choc thermique sur un mur plan avec condition d’échange#
Résumé :
Ce test de thermique linéaire transitoire consiste à imposer un choc thermique froid sur un mur plan infini à l’aide d’une condition limite d’échange. Le choc est modélisé par une rampe linéaire \(\Delta T=–100°C\) en \({10}^{-2}s\) .
Le problème est traité en plan.
La solution de référence est analytique.
Le test est effectué sur 2 modélisations : (TRIA3, QUAD4) et (TRIA6, QUAD9).
On teste l’algorithme de thermique linéaire transitoire lorsque la matrice de masse est diagonalisée (modélisation PLAN_DIAG avec ‘’mass lumping’’).
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
\(\frac{T(x,t)-{T}_{p}}{{T}_{0}-{T}_{p}}=\sum_{n=1}^{\infty}{A}_{n}\exp(-{\xi}_{n}^{2}\frac{\lambda}{\rho {C}_{p}{L}^{2}}t)\cos({\xi}_{n}\frac{x}{L})\)
\(x=\) |
abscisse |
\(t=\) |
Temps |
\({T}_{0}=\) |
Température initiale |
\({T}_{p}=\) |
Température imposée |
\(n=\) |
\(1,2,3,\mathrm{...}\) |
Avec \({\xi}_{n}\) racines positives de \({\xi}_{n}\tan{\xi}_{n}=\mathit{hL}/\lambda =10.\)
et \({A}_{n}=\frac{4\sin{\xi}_{n}}{2{\xi}_{n}+\sin(2{\xi}_{n})}\)
Résultats de référence#
Températures aux points \(\mathrm{M1}\) (\(x=0.02\) ) et \(\mathrm{M2}\) (\(x=0.08\) ),
et à différents instants (\(t=0.1,0.5,2.0\) et \(10.0\) ).
Les valeurs de référence sont obtenues en calculant les 30 premiers termes de la série (Mathematica).
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
INCROPERA F.P., DE WITT D.P., Fundamentals of heat and mass transfer. Third Edition. 1990.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
TRIA3, QUAD4
Par raison de symétrie, on ne maille qu’une moitié de l’épaisseur du mur. La modélisation est faite sur une hauteur \(H=0.1m\) avec 2 couches d’éléments.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 18
Nombre de mailles et types : 5 QUAD4, 10 TRIA3
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
\(\mathrm{M1}(x=0.02)\mathrm{N16}\) |
|||
\(t=0.1\) |
100.00 |
99.998 |
+0.00 |
\(t=0.5\) |
99.408 |
99.042 |
–0.37 |
\(t=2.0\) |
79.859 |
79.794 |
–0.08 |
\(t=10.0\) |
15.717 |
16.138 |
+2.68 |
\(\mathrm{M2}(x=0.08)\mathrm{N6}\) |
|||
\(t=0.1\) |
93.666 |
93.380 |
–0.31 |
\(t=0.5\) |
63.500 |
63.813 |
+0.49 |
\(t=2.0\) |
35.717 |
35.667 |
–0.14 |
\(t=10.0\) |
6.7948 |
6.9326 |
+2.03 |
\(M’1(x=0.02)\mathrm{N14}\) |
|||
\(t=0.1\) |
100.00 |
99.998 |
+0.00 |
\(t=0.5\) |
99.408 |
99.077 |
–0.33 |
\(t=2.0\) |
79.859 |
80.002 |
+0.18 |
\(t=10.0\) |
15.717 |
16.211 |
+3.14 |
\(M’2(x=0.08)\mathrm{N4}\) |
|||
\(t=0.1\) |
93.666 |
92.895 |
–0.82 |
\(t=0.5\) |
63.500 |
61.882 |
–2.55 |
\(t=2.0\) |
35.717 |
35.331 |
–1.08 |
\(t=10.0\) |
6.7948 |
6.8885 |
+1.38 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
TRIA6, QUAD9
Par raison de symétrie, on ne maille qu’une moitié de l’épaisseur du mur. La modélisation est faite sur une hauteur \(H=0.1m\) avec 2 couches d’éléments.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 55
Nombre de mailles et types : 5 QUAD9, 10 TRIA6
Valeurs testées#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
\(\mathrm{M1}(x=0.02)\mathrm{N18}\) |
|||
\(t=0.1\) |
100.00 |
100.00 |
+0.00 |
\(t=0.5\) |
99.408 |
99.278 |
–0.13 |
\(t=2.0\) |
79.859 |
79.898 |
+0.05 |
\(t=10.0\) |
15.717 |
16.043 |
+2.07 |
\(\mathrm{M2}(x=0.08)\mathrm{N49}\) |
|||
\(t=0.1\) |
93.666 |
94.077 |
+0.44 |
\(t=0.5\) |
63.500 |
63.979 |
+0.75 |
\(t=2.0\) |
35.717 |
35.825 |
+0.30 |
\(t=10.0\) |
6.7948 |
6.9321 |
+2.02 |
\(M’1(x=0.02)\mathrm{N12}\) |
|||
\(t=0.1\) |
100.00 |
100.00 |
+0.00 |
\(t=0.5\) |
99.408 |
99.311 |
–0.10 |
\(t=2.0\) |
79.859 |
80.101 |
+0.30 |
\(t=10.0\) |
15.717 |
16.093 |
+2.39 |
\(M’2(x=0.08)\mathrm{N30}\) |
|||
\(t=0.1\) |
93.666 |
93.469 |
–0.21 |
\(t=0.5\) |
63.500 |
62.860 |
–1.01 |
\(t=2.0\) |
35.717 |
35.641 |
–0.21 |
\(t=10.0\) |
6.7948 |
6.9068 |
+1.65 |
Synthèse des résultats#
La modélisation PLAN_DIAG donne des résultats assez satisfaisants. Bien que le maillage comporte peu d’éléments dans l’épaisseur, l’écart sur les températures reste inférieur à 3.2%.
Bien que le choc thermique soit brutal, la diagonalisation de la matrice de masse permet d’obtenir une solution en température qui n’oscille pas pendant le transitoire.