v3.03.126 SSLS126 – Flexion d’une dalle en béton armé (modèle GLRC_DAMAGE) appuyée sur deux cotés: régime de poutre élastique#
Résumé :
Ce test représente le calcul d’une dalle en béton armé, en flexion, soumise à une pression. Il permet de valider la modélisation DKTG avec le modèle GLRC_DAMAGE pour le comportement élastique linéaire et la modélisation Q4GG avec le modèle ELAS. La dalle est en configuration poutre : appuis simples sur deux côtés opposés de la dalle.
Quatre modélisations sont effectuées :
Modélisation A permet de tester le modèle DKTG avec des TRIA3,
Modélisation B permet de tester le modèle DKTG avec des QUAD4.
Modélisation C permet de tester le modèle Q4GG avec des TRIA3,
Modélisation D permet de tester le modèle Q4GG avec des QUAD4.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Les relations élastiques, reliant les efforts membranaires \(N\) et de flexion \(M\) aux déformations membranaires \(\varepsilon\) et les courbures \(\kappa\) et tenant compte de deux grilles symétriques, s’écrivent:
\(N=(\frac{{E}_{b}h}{1-{\nu}_{b}^{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\varepsilon\)
\(M=(\frac{{E}_{b}{h}^{3}}{12(1-{\nu}_{b}^{2})}\left[\begin{array}{ccc}1& {\nu}_{b}& 0\\ {\nu}_{b}& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-{\nu}_{b}}{2}\end{array}\right]+2{E}_{a}{e}_{z}^{2}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{x}& 0& 0\\ 0& {a}_{y}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right])\kappa\)
S’agissant d’une configuration poutre, on affecte au béton un coefficient de Poisson égal à 0 pour annuler toute flexion dans la direction perpendiculaire. Deux bords opposés de la dalle sont simplement appuyés, deux autres restant libres:
|
La raideur de flexion équivalente qui tient compte des aciers est: \({(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}=\frac{{E}_{b}l{h}^{3}}{12}+2{E}_{a}{a}_{x}l{e}_{z}^{2}\) , soit ici: \({(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}=10.111{\mathit{MNm}}^{2}\) . |
La solution élastique se calcule en théorie de poutres pour une valeur de pression équivalente \(p'=\mathrm{pl}\) . On obtient les valeurs des moments en configuration «plaque » par division par la largeur de la dalle \(l\) .
Grandeur au centre |
Expression |
Flèche au centre sous pression surfacique |
\(w(l/2)=\frac{5p'{l}^{4}}{384{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}}\) |
Courbure |
\({\kappa}_{xx}(l/2)=\frac{p'{l}^{2}}{8{(\mathit{EI})}_{\mathit{éq}}}\) |
Deformation |
\({\varepsilon}_{xx}={\kappa}_{xx}\frac{h}{2}\) |
Moment global (en poutre) |
\(M(l/2)=p'{l}^{2}/8\) |
Moment global (en plaque) |
\(M(l/2)=p{l}^{2}/8\) |
Résultats de référence#
Pour les modélisations A et B dans lesquelles on valide la loi GLRC_DAMA avec les éléments DKTG:
Flèche au centre sous pression surfacique: \(w=2,433.{10}^{-4}m\)
Courbure: \(k=7,210.{10}^{-4}{m}^{-1}\)
Déformation: \({\epsilon}_{xx}=-0.4326.{10}^{-4}\) sur la peau inférieure
Moment global (en poutre): \(M=7290\mathit{Nm}\)
Moment global (en plaque): \(M=4050\mathit{Nm}/\mathit{ml}\)
Pour les modélisations C et D dans lesquelles on valide la loi ELAS avec les éléments Q4GG:
Flèche au centre sous pression surfacique: \(w=2,658.{10}^{-4}m\)
Courbure: \(k=7,878.{10}^{-4}{m}^{-1}\)
Déformation: \({\epsilon}_{xx}=-0.47269.{10}^{-4}\) sur la peau inférieure
Moment global (en poutre): \(M=7290\mathrm{Nm}\)
Moment global (en plaque): \(M=4050\mathrm{Nm}/\mathrm{ml}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Référence bibliographique#
[1] KOECHLIN P., MOULIN S., « Modèle de comportement global des plaques en béton armé sous chargement dynamique de flexion : Loi GLRC », Note EDF/R&D/AMA HT-62/01/028A.
Modélisation A#
M266
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 288 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.433 10-4 |
6% |
\(\mathrm{MXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2% |
|
\(\mathrm{KXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7.21 10-4 |
5% |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
4044.16 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
7.1996 10-4 |
1.e-6 |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\) .
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.433 10-4 |
6% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2847.47 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
1198.15 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-1852.21 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
5.0692 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2.1330 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.2974 10-4 |
1.e-6 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
2842.56 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
1197.70 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
-1849.40 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
5.0605 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
2.1322 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}3\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.2924 10-4 |
1.e-6 |
Remarques#
Les coefficients des matrices d’élasticité suivantes, utilisés lors des calculs, ont été calculés avec \({\nu}_{b}=0\) :
Matrice d’élasticité en membrane : \(\left\lbrace \begin{array}{ccc}4614.& 0& 0\\ 0& 4614.& 0\\ 0& 0& 2142.\end{array}\right\rbrace {10}^{6}N/m\)
Matrice d’élasticité en flexion : \(\left\lbrace \begin{array}{ccc}5.617& 0& 0\\ 0& 5.617& 0\\ 0& 0& 2.57\end{array}\right\rbrace {10}^{6}N/m\)
Pour être certain de rester dans le domaine élastique, les limites élastiques exprimées dans le repère d’orthotropie, sont fixées arbitrairement à une valeur très élevée:
Limites élastiques en flexion positive:
Direction \(x\) : \({1.10}^{10}\mathrm{MNm}/\mathrm{ml}\)
Direction \(y\) : \({1.10}^{10}\mathrm{MNm}/\mathrm{ml}\)
Limites élastiques en flexion négative:
Direction \(x\) : \(–{1.10}^{10}\mathrm{MNm}/\mathrm{ml}\)
Direction \(y\) : \(–{1.10}^{10}\mathrm{MNm}/\mathrm{ml}\)
Comme la structure reste dans le domaine élastique, le coefficient de rappel cinématique (constante de Prager) peut prendre une valeur quelconque.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
|
Modélisation DKTG(QUAD4)
|
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 144 QUAD4
Fonctionnalités testées#
La macro-commande POST_COQUE permet d’extraire les efforts et les déformations en un point quelconque de la coque.
Valeurs testées#
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.433 10-4 |
6% |
\(\mathrm{MXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2% |
|
\(\mathrm{KXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7.21 10-4 |
5% |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
4044.05 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
7.1995 10-4 |
1.e-6 |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\) .
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.433 10-4 |
6% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2848.64 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
1201.35 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-1849.92 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
5.0713 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2.1387 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.2933 10-4 |
1.e-6 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
2844.46 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
1199.59 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
-1847.21 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
5.0639 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
2.1356 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.2885 10-4 |
1.e-6 |
Remarques#
Les coefficients des matrices d’élasticités suivantes, utilisés lors des calculs, ont été calculés avec \({\nu}_{b}=0\) :
Matrice d’élasticité en membrane : \(\left\lbrace \begin{array}{ccc}4614.& 0& 0\\ 0& 4614.& 0\\ 0& 0& 2142.\end{array}\right\rbrace {10}^{6}N/m\)
Matrice d’élasticité en flexion : \(\left\lbrace \begin{array}{ccc}5.617& 0& 0\\ 0& 5.617& 0\\ 0& 0& 2.57\end{array}\right\rbrace {10}^{6}N/m\)
Pour être certain de rester dans le domaine élastique, les limites élastiques exprimées dans le repère d’orthotropie, sont fixées arbitrairement à une valeur très élevée:
Limites élastiques en flexion positive:
Direction \(x\) : \({1.10}^{10}\mathit{MNm}/\mathit{ml}\)
Direction \(y\) : \({1.10}^{10}\mathit{MNm}/\mathit{ml}\)
Limites élastiques en flexion négative:
Direction \(x\) : \(–{1.10}^{10}\mathit{MNm}/\mathit{ml}\)
Direction \(y\) : \(–{1.10}^{10}\mathit{MNm}/\mathit{ml}\)
Comme la structure reste dans le domaine élastique, le coefficient de rappel cinématique (constante de Prager) peut prendre une valeur quelconque.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation Q4GG (TRIA3)
Conditions aux limites:
. Coté \(\mathrm{A2A4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)
Conditions de symétrie
. Coté \(\mathrm{A1A2}\) : \(\mathrm{DY}=\mathrm{DRX}=0\)
. Coté \(\mathrm{A1A3}\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DRY}=0\)
M266 La dalle est symétrique par rapport aux plans \((X=0)\) et \((Y=0)\) , les calculs sont effectués sur un quart de la dalle.
X
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 288 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathit{DZ}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.658 10-4 |
1% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
|
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7.878 10-4 |
0.5% |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
4032.58 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
7.8442 10-4 |
1.e-6 |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\) .
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathit{DZ}(\mathit{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.658 10-4 |
1% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2836.04 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
1195.36 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-1842.50 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
5.5167 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2.3252 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.5840 10-4 |
1.e-6 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
2836.04 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
1195.36 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
-1842.50 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
5.5167 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
2.3252 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M266}\) |
\(\mathit{Point}1\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.5840 10-4 |
1.e-6 |
Remarques#
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation Q4GG (QUAD4)
Conditions aux limites:
. Coté \(\mathrm{A2A4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)
Conditions de symétrie
. Coté \(\mathrm{A1A2}\) : \(\mathrm{DY}=\mathrm{DRX}=0\)
. Coté \(\mathrm{A1A3}\) : \(\mathrm{DX}=\mathrm{DRY}=0\)
La dalle est symétrique par rapport aux plans \((X=0)\) et \((Y=0)\) , les calculs sont effectués sur un quart de la dalle.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 169
Nombre de mailles et type : 144 QUAD4
Fonctionnalités testées#
La macro-commande POST_COQUE permet d’extraire les efforts et les déformations en un point quelconque de la coque.
Valeurs testées#
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.658 10-4 |
1% |
\(\mathrm{MXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
|
\(\mathrm{KXX}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
7.878 10-4 |
0.5% |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
4035.93 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
7.8507 10-4 |
1.e-6 |
Les grandeurs sont exprimées dans le repère défini par les angles nautiques \(\alpha =33°\) et \(\beta =12°\) .
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
\(\mathrm{DZ}(\mathrm{A1})\) |
“ANALYTIQUE” |
2.658 10-4 |
1% |
\(\mathit{MXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2838.75 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
1197.18 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-1843.50 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
5.5220 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
2.3287 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}(\mathit{A1})\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.5860 10-4 |
1.e-6 |
Identification |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
||
\(\mathit{MXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
2838.75 |
1.e-6 |
\(\mathit{MYY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
1197.18 |
1.e-6 |
\(\mathit{MXY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
-1843.50 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXX}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
5.5220 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KYY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
2.3287 10-4 |
1.e-6 |
\(\mathit{KXY}\) |
\(\mathit{M133}\) |
\(\mathit{Point}4\) |
“NON_REGRESSION” |
-3.5860 10-4 |
1.e-6 |
Remarques#
Synthèse des résultats#
Les résultats des quatre modélisations sont proches de la solution analytique :
DKTG : au maximum \(6\text{\%}\) d’écart pour les déplacements, et \(5\text{\%}\) pour le moment et la courbure.
Q4GG : au maximum \(1\text{\%}\) d’écart pour les déplacements, et \(0.5\text{\%}\) pour le moment et la courbure.
Ces modélisations valident :
la modélisation DKTG avec le modèle GLRC_DAMAGE en comportement élastique.
la modélisation Q4GG avec le modèle ELAS.