v3.01.011 SSLL11 - Treillis de barres articulées sous charge ponctuelle#
Résumé:
Ce test permet de vérifier les éléments de barre et de poutre pour le calcul de structures en treillis. Le treillis considéré est plan. Le calcul est statique, élastique, linéaire. La solution de référence est analytique.
Trois modélisations permettent de tester les éléments POU_D_T avec et sans liaisons rotulées, ainsi que les éléments BARRE.
Trois modélisations permettent de tester les éléments POU_D_TG, POU_D_EM et POU_D_TGM avec et sans liaisons rotulées.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SSLL11/89 du guide VPCS.
Elle est obtenue par la méthode des déplacements dans [bib1].
Résultats de référence#
Déplacements des points \(C\) et \(D\) .
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
RAO (J.S.): The finite element method in engineering , problème 5.1, p. 275.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Compte tenu des élancements, la prise en compte des articulations modifie peu les résultats. Pour cette modélisation, les articulations en \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(D\) sont rigidifiées (continuité des 3 composantes d’efforts généralisés).
4 poutres de section circulaire pleine: 4 mailles SEG2
éléments \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
rayon \(R=7.978845{10}^{-3}m\) |
(aire \(A=2.{10}^{-4}{m}^{2}\) ) |
éléments \(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
rayon \(R=5.641895{10}^{-3}m\) |
(aire \(A=1.{10}^{-4}{m}^{2}\) ) |
Coefficient de Poisson: |
\(\nu =0.3\) |
Conditions limites:
en tous les nœuds:
DDL_IMPO=(
_F(TOUT=’OUI’, DZ= 0. , DRX= 0. , DRY= 0. ),
_F( NOEUD= ( A , B ), DX= 0. , DY= 0.)
)
Nom des nœuds: |
Point \(A\) = \(A\) |
Point \(C\) = \(C\) |
Point \(B\) = \(B\) |
Point \(D\) = \(D\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Type de référence |
Valeur |
Tolérance |
DXau point \(C\) |
“ANALYTIQUE” |
2.65E-04 |
3.0E-04 |
DYau point \(C\) |
“ANALYTIQUE” |
0.8839E-04 |
3.0E-04 |
DXau point \(D\) |
“ANALYTIQUE” |
3.47902E-03 |
3.0E-04 |
DYau point \(D\) |
“ANALYTIQUE” |
–5.60084E-03 |
3.0E-04 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
4 éléments POU_D_T de section circulaire pleine: 4 mailles SEG2
éléments \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
rayon \(R=7.978845{10}^{-3}m\) |
(aire \(A=2.{10}^{-4}{m}^{2}\) ) |
éléments \(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
rayon \(R=5.641895{10}^{-3}m\) |
(aire \(A=1.{10}^{-4}{m}^{2}\) ) |
Coefficient de Poisson: |
\(\nu =0.3\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO=_F(Tout=’OUI’, DZ= 0. , DRX= 0. , DRY= 0. )
Pour traiter les liaisons articulées, on crée autant de nœuds que d’extrémités de barre.
aux nœuds \(\mathrm{A1}\) , \(\mathrm{B2}\) et \(\mathrm{D4}\) : DDL_IMPO=_F(Tout=’OUI’,DZ= 0.,DRX= 0.,DRY= 0. )
aux nœuds \(\mathrm{C1}\) , \(\mathrm{C2}\) , \(\mathrm{C3}\) et \(\mathrm{D3}\) , \(\mathrm{D4}\) continuité des translations, par LIAISON_DDLDX et DY.
aucune rotation n’est imposée.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Point |
Déplacement (m) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\({u}_{c}\) |
ANALYTIQUE |
2.6517E-04 |
3.0E-04 |
|
\(C\) |
||||
\({v}_{c}\) |
ANALYTIQUE |
0.8839E-04 |
3.0E-04 |
|
\({u}_{D}\) |
ANALYTIQUE |
3.47902E-03 |
3.0E-04 |
|
\(D\) |
||||
\({v}_{D}\) |
ANALYTIQUE |
–5.60084E-03 |
3.0E-04 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
4 éléments BARRE de section circulaire pleine: 4 mailles SEG2
éléments \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
rayon \(R=7.978845{10}^{-3}m\) |
(aire \(A=2.{10}^{-4}{m}^{2}\) ) |
éléments \(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
rayon \(R=5.641895{10}^{-3}m\) |
(aire \(A=1.{10}^{-4}{m}^{2}\) ) |
Coefficient de Poisson: |
\(\nu =0.3\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO=(
_F(TOUT=’OUI’, DZ= 0. )
_F(NOEUD=( A , B ), DX= 0. , DY= 0.)
)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4
Nombre de mailles et types: 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Calcul statique:
Point |
Déplacement (m) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(C\) |
\({u}_{c}\) |
ANALYTIQUE |
2.6517E-04 |
1.0E-04 |
\({v}_{c}\) |
ANALYTIQUE |
8.84E-05 |
1.0E-04 |
|
\(D\) |
\({u}_{D}\) |
ANALYTIQUE |
3.47902E-03 |
1.0E-04 |
\({v}_{D}\) |
ANALYTIQUE |
–5.60084E-03 |
1.0E-04 |
Calcul harmonique:
Point |
Champ |
Freq. |
Comp |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(C\) |
DEPL |
100 |
DX |
NON REGRESSION |
4.01805E-08 - 4.21987E-06j |
1.0E-03 |
\(C\) |
DEPL |
100 |
DY |
NON REGRESSION |
1.66019E-08-1.406541E-06j |
1.0E-03 |
\(D\) |
DEPL |
100 |
DX |
NON REGRESSION |
5.81263E-07-5.53643E-05j |
1.0E-03 |
\(D\) |
DEPL |
100 |
DY |
NON REGRESSION |
-9.72590E-7+8.91215E-5j |
1.0E-03 |
\(D\) |
VITE |
100 |
DX |
NON REGRESSION |
0.03478 + 3.652186E-04j |
1.0E-03 |
\(D\) |
VITE |
100 |
DY |
NON REGRESSION |
-0.05599 - 6.11096E-04j |
1.0E-03 |
\(D\) |
ACCE |
100 |
DX |
NON REGRESSION |
-0.22947 + 21.85696j |
1.0E-03 |
\(D\) |
ACCE |
100 |
DY |
NON REGRESSION |
0.383963 - 35.1837j |
1.0E-03 |
\(B\) |
EFGE_ELNO |
100 |
N |
NON REGRESSION |
-3.83891 + 331.15804j |
1.0E-03 |
\(D\) |
EFGE_ELNO |
100 |
N |
NON REGRESSION |
-3.83891 + 331.15804j |
1.0E-03 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
4 éléments POU_D_TG de section circulaire creuse: 4 mailles SEG2
éléments \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
rayon: \(R=8.305164{10}^{-3}m\) Épaisseur: \(e=0.006m\) |
aire \(A=2.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
éléments \(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
rayon: \(R=5.683099{10}^{-3}m\) Épaisseur: \(e=0.005m\) |
aire \(A=1.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
Coefficient de Poisson: |
\(\nu =0.3\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO=( Tout=’OUI’, DZ=0. , DRX=0. , DRY=0. )
Pour traiter les liaisons articulées, on crée autant de nœuds que d’extrémités de barre.
aux nœuds \(\mathrm{A1}\) , \(\mathrm{B2}\) et \(\mathrm{D4}\) : DDL_IMPO=_F(Tout=’OUI’,DX= 0.,D4= 0.,)
aux nœuds \(\mathrm{C1}\) , \(\mathrm{C2}\) , \(\mathrm{C3}\) et \(\mathrm{D3}\) , \(\mathrm{D4}\) continuité des translations, par LIAISON_DDLDX et DY.
aucune rotation n’est imposée.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 4 SEG2
Remarques#
Dans cette modélisation on calcule la réponse dynamique complexe du système soumis à une excitation harmonique complexe (\(F=-9810.+\mathrm{0.j}\) ) en présence d’un amortissement visqueux proportionnel à la rigidité et à la masse. (AMOR_ALPHA=AMOR_BETA=0.1). Les résultats sont comparés aux résultats obtenus avec la modélisation POU_D_T.
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats (Déplacement, Vitesse et Accélération) ont été obtenus à une fréquence de \(100\mathrm{Hz}\)
Point |
Déplacement ( \(m\) ) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
NON REGRESSION |
-1.65073E-05-9.22424E-06j |
1.00E-003 |
\(\mathrm{DY}\) |
NON REGRESSION |
2.52829E-05+1.80184E-05j |
1.00E-003 |
Point |
Vitesse ( \(m/s\) ) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
NON REGRESSION |
5.79576E-03-1.03719E-02j |
1.00E-003 |
\(\mathrm{DY}\) |
NON REGRESSION |
-1.13213E-02+1.58857E-02j |
1.00E-003 |
Point |
Accélération ( \(m/{s}^{2}\) ) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
NON REGRESSION |
6.51684+3.64158j |
1.00E-003 |
\(\mathrm{DY}\) |
NON REGRESSION |
-9.98130-7.11336j |
1.00E-003 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
4 éléments POU_D_EM de section circulaire creuse: 4 mailles SEG2
éléments \(\mathit{AC}\) et \(\mathit{BC}\) |
rayon: \(R=8.305164{10}^{-3}m\) Épaisseur: \(e=0.006m\) |
aire \(A=2.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
éléments \(\mathit{CD}\) et \(\mathit{BD}\) |
rayon: \(R=5.683099{10}^{-3}m\) Épaisseur: \(e=0.005m\) |
aire \(A=1.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
Coefficient de Poisson: |
\(\nu =0.3\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO= (Tout=’OUI’, DZ= 0. , DRX= 0. , DRY= 0. )
Pour traiter les liaisons articulées, on crée autant de nœuds que d’extrémités de barre.
aux nœuds \(\mathrm{A1}\) , \(\mathrm{B2}\) et \(\mathrm{D4}\) : DDL_IMPO=_F(Tout=’OUI’,DX= 0.,D4= 0.,)
aux nœuds \(\mathrm{C1}\) , \(\mathrm{C2}\) , \(\mathrm{C3}\) et \(\mathrm{D3}\) , \(\mathrm{D4}\) continuité des translations, par LIAISON_DDLDX et DY.
aucune rotation n’est imposée.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 4 SEG2
Maillage des deux sections creuses |
||
Éléments |
Maillage |
Caractéristiques |
\(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
|
240 nœuds 79 SEG2 415 TRIA3 |
\(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
|
127 nœuds 56 SEG2 210 TRIA3 |
Remarques#
Dans cette modélisation on calcule la réponse dynamique complexe du système soumis à une excitation harmonique complexe (\(F=-9810.+\mathrm{0.j}\) ) en présence d’un amortissement visqueux proportionnel à la rigidité et à la masse. (AMOR_ALPHA=AMOR_BETA=0.1). Les résultats sont comparés aux résultats obtenus avec la modélisation POU_D_T.
Grandeurs testées et résultats#
Les résultats (Déplacement, Vitesse et Accélération) ont été obtenus à une fréquence de \(100\mathrm{Hz}\)
Point |
Déplacement ( \(m\) ) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
AUTRE_ASTER |
-1.65073E-05-9.22424E-06j |
3.50% |
\(\mathrm{DY}\) |
AUTRE_ASTER |
2.52829E-05+1.80184E-05j |
3.00% |
Point |
Vitesse ( \(m/s\) ) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
AUTRE_ASTER |
5.79576E-03-1.03719E-02j |
3.50% |
\(\mathrm{DY}\) |
AUTRE_ASTER |
-1.13213E-02+1.58857E-02j |
3.00% |
Point |
Accélération ( \(m/{s}^{2}\) ) |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
AUTRE_ASTER |
6.51684+3.64158j |
3.50% |
\(\mathrm{DY}\) |
AUTRE_ASTER |
-9.98130-7.11336j |
3.00% |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
4 éléments POU_D_TGM de section circulaire creuse: 4 mailles SEG2
éléments \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
rayon: \(R=8.305164{10}^{-3}m\) Épaisseur: \(e=0.006m\) |
aire \(A=2.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
éléments \(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
rayon: \(R=5.683099{10}^{-3}m\) Épaisseur: \(e=0.005m\) |
aire \(A=1.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
Coefficient de Poisson: |
\(\nu =0.3\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO=(Tout=’OUI’, DZ= 0. , DRX= 0. , DRY= 0. )
Pour traiter les liaisons articulées, on crée autant de nœuds que d’extrémités de barre.
aux nœuds \(A\) , \(B\) et \(\mathrm{D4}\) : DDL_IMPO=_F(Tout=’OUI’,DX= 0.,D4= 0.,)
aux nœuds \(\mathrm{C1}\) , \(\mathrm{C2}\) , \(\mathrm{C3}\) et \(\mathrm{D3}\) , \(\mathrm{D4}\) continuité des translations, par LIAISON_DDLDX et DY.
aucune rotation n’est imposée.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 4 SEG2
Maillage des deux sections creuses |
||
Éléments |
Maillage |
Caractéristiques |
\(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
|
240 nœuds 79 SEG2 415 TRIA3 |
\(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
|
127 nœuds 56 SEG2 210 TRIA3 |
Remarques#
Dans cette modélisation on calcule la réponse dynamique complexe du système soumis à une excitation harmonique complexe (\(F=-9810.+\mathrm{0.j}\) ) en présence d’un amortissement visqueux proportionnel à la rigidité et à la masse. (AMOR_ALPHA=AMOR_BETA=0.1). Les résultats sont comparés aux résultats obtenus avec la modélisation POU_D_T en prenant en compte les caractéristiques \(A\) , \(\mathit{IY}\) et \(\mathit{IZ}\) égales à celles calculées par intégrations sur les fibres.
Grandeurs testées et résultats#
Point |
Déplacement ( \(m\) ) |
Type de Référence |
Référence |
% tolérance |
\(C3\) |
\(\mathit{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
2.6517E-4 |
0.50 |
\(C3\) |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
0.8839E-4 |
0.50 |
\(D3\) |
\(\mathit{DX}\) |
“ANALYTIQUE” |
3.47902E-3 |
0.50 |
\(D3\) |
\(\mathit{DY}\) |
“ANALYTIQUE” |
-5.60084E-3 |
0.50 |
Identification |
Composante |
Type de Référence |
Référence |
% tolérance |
Maille \(\mathit{AC}\) - Nœud \(A1\) - Point \(1\) - SIEQ_ELNO |
\(\mathit{TRIAX}\) |
“AUTRE_ASTER” |
4.082482905E-01 |
0.10 |
Les résultats (Déplacement, Vitesse et Accélération) ont été obtenus à une fréquence de \(\mathrm{100hz}\)
Point |
Déplacement ( \(m\) ) |
Type de Référence |
Référence |
% tolérance |
\(D\) |
\(\mathit{DX}\) |
AUTRE_ASTER |
-1.64397E-05-9.09482E-06j |
0.10 |
\(\mathit{DY}\) |
AUTRE_ASTER |
2.51858E-05+1.78386E-05j |
0.10 |
Point |
Vitesse ( \(m/s\) ) |
Type de Référence |
Référence |
% tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
AUTRE_ASTER |
5.71444E-03-0.0103293j |
0.10 |
\(\mathrm{DY}\) |
AUTRE_ASTER |
-0.011208+0.0158247j |
0.10 |
Point |
Accélération ( \(m/{s}^{2}\) ) |
Type de Référence |
Référence |
% tolérance |
\(D\) |
\(\mathrm{DX}\) |
AUTRE_ASTER |
6.490118+3.590490j |
0.10 |
\(\mathrm{DY}\) |
AUTRE_ASTER |
-9.942974-7.0424160j |
0.10 |
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
4 éléments POU_D_TG de section circulaire: 4 mailles SEG2
éléments \(\mathrm{AC}\) et \(\mathrm{BC}\) |
rayon: \(R=7.97884{10}^{-3}m\) |
Aire \(A=2.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
éléments \(\mathrm{CD}\) et \(\mathrm{BD}\) |
rayon: \(R=5.683099{10}^{-3}m\) Épaisseur: \(e=0.005m\) |
aire \(A=1.{10}^{-4}{m}^{2}\) |
Conditions limites:
DDL_IMPO= ( TOUT=’OUI’ DZ= 0. , DRX= 0. , DRY= 0. )
aux nœuds \(A\) , \(B\) : DDL_IMPO=_F(DX= 0.,DY= 0.,)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 4 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Déplacements:
Composante |
Nœud |
Référence |
Valeur |
\(\mathrm{DX}\) |
\(C\) |
ANALYTIQUE |
\(2.65170E-04\) |
\(\mathrm{DY}\) |
\(C\) |
ANALYTIQUE |
\(8.83900E-05\) |
\(\mathrm{DX}\) |
\(D\) |
ANALYTIQUE |
\(3.47902E-03\) |
\(\mathrm{DY}\) |
\(D\) |
ANALYTIQUE |
\(-5.60084E-03\) |
Contraintes de type poutre:
Grandeur |
Composante |
Nœud |
Référence |
Valeur |
SIPO_ELNO |
SN |
\(A\) |
ANALYTIQUE |
\(6.93641E+07\) |
SIPO_ELNO |
SN |
\(B\) |
ANALYTIQUE |
\(-3.46815E+07\) |
SIPO_ELNO |
SN |
\(C\) |
ANALYTIQUE |
\(1.55074E+08\) |
SIPO_ELNO |
SN |
\(D\) |
ANALYTIQUE |
\(-2.08067E+08\) |
SIPM_ELNO |
SIXXMAX |
\(A\) |
ANALYTIQUE |
\(6.93641E+07\) |
SIPM_ELNO |
SIXXMIN |
\(B\) |
ANALYTIQUE |
\(-3.80667E+07\) |
Synthèse des résultats#
Les résultats sont conformes à la solution de référence pour les trois modélisations:
modèle de poutres,
modèle de poutres et relations linéaires,
modèle de barres.
Les éléments POU_D_TG, POU_D_EM et POU_D_TGM permettent d’obtenir des résultats très proches de ceux obtenus avec les éléments POU_D_T.