v6.04.126 SSNV126 - Éprouvette en traction-relaxation anisotherme avec le modèle VENDOCHAB#
Résumé:
Le modèle VENDOCHAB, reprend une formulation proposée par Chaboche. Il s’agit d’une formulation couplée qui couvre une loi élasto-viscoplastique avec écrouissage isotrope multiplicatif et une cinétique d’endommagement isotrope. Cette loi a été initialement développée pour prédire la durée de vie et la fissuration des aubes des turboréacteurs et plus généralement pour prévoir le temps de ruine des structures sollicitées à hautes températures.
Ce test de mécanique quasi-statique non linéaire permet de valider le modèle VENDOCHAB en \(\mathrm{3D}\) dans le cas d’une éprouvette soumise à un essai de traction uniaxial anisotherme. Les états de contrainte et de déformation sont homogènes dans l’éprouvette. Ce test valide également l’intégration explicite et implicite de ce modèle. Les équations de cette formulation couplée sont décrites dans le fascicule de référence [R5.03.15].
Deux modélisations de l’éprouvette sont testées l’une avec un unique élément \(\mathrm{3D}\) à 8 nœuds (HEXA8), l’autre avec un quadrangle à 8 nœuds (QUAD8) en AXIS.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution de référence est obtenue par intégration des équations du modèle sous Mathematica pour une modélisation axisymétrique. Pour cela, il suffit d’écrire les équations formelles du système, de leur appliquer la règle de transformation caractérisant la loi de Hooke et de résoudre le système différentiel non-linéaire. L’utilisateur souhaitant obtenir plus de renseignement pourra se rapporter à la note HT-2C/97/016/A
Voici les résultats d’intégration du comportement, suivant le cas où le coefficient \({K}_{D}\) est choisi dépendant de la température et de \({\sigma}_{0}\) (modélisation a et b):
|
|
SIGM pour K_D(T,SIG) |
r pour K_D(T,SIG) |
|
|
p pour K_D(T,SIG) |
D pour K_D(T,SIG) |
Voici les résultats d’intégration du comportement, suivant le cas où le coefficient \({K}_{D}\) est choisi dépendant uniquement de la température (modélisation c et d):
|
|
SIGM pour K_D(T) |
r pour K_D(T) |
|
|
p pour K_D(T) |
D pour K_D(T) |
Dans les graphiques ci-dessus, \(D\) est la variable d’endommagement correspondant à la variable interne \(\mathit{V9}\) , \(r\) est la variable d’écrouissage viscoplastique multiplicatif correspondant à la variable interne \(\mathit{V8}\) et \(p\) est la déformation viscoplastique cumulée correspondant à la variable interne \(\mathit{V7}\) .
On a également la correspondance suivantes, par rapports aux paramètres du mot clé VENDOCHAB:
\(N={N}_{\mathit{VP}}\)
\(M={M}_{\mathit{VP}}\)
\(K={K}_{\mathit{VP}}\)
\(A={A}_{D}\)
\(R={R}_{D}\)
\(k={K}_{D}\)
Résultats de référence#
Le coefficient \({K}_{D}`est choisi dépendant de la température et de :math:`{\sigma}_{0}\).#
Évolution de la contrainte, \({\sigma}_{0}\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants:
Instant |
Référence |
20 |
252.76091 |
2000 |
164.261 |
200000 |
101.596 |
1000000 |
75.978499999999997 |
1600000 |
55.542099999999998 |
Tableau 2.2.1-1 : Résultats de référence pour K_D(T,SIG)
Évolution de la variable d’endommagement, \(D\) en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants selon la modélisation:
Instant |
Référence |
20 |
2.3168400000000001E-4 |
2000 |
2.77144E-3 |
200000 |
0.032255100000000002 |
1000000 |
0.110134 |
1600000 |
0.28131600000000001 |
Tableau 2.2.1-2 : Résultats de référence pour K_D(T,SIG)
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(r\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants:
Instant |
Référence |
20 |
1.6445100000000001E-3 |
2000 |
2.2312600000000001E-3 |
200000 |
2.6251500000000001E-3 |
1000000 |
2.7477999999999999E-3 |
1600000 |
2.79276E-3 |
Tableau 2.2.1-3 : Résultats de référence pour K_D(T,SIG)
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(p\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants:
Instant |
Référence |
20 |
1.6445699999999999E-3 |
2000 |
2.2318799999999999E-3 |
200000 |
2.6301200000000001E-3 |
1000000 |
2.7607899999999999E-3 |
1600000 |
2.8147799999999998E-3 |
Tableau 2.2.1-4 : Résultats de référence pour K_D(T,SIG)
Le coefficient :math:`{K}_{D}`est choisi uniquement dépendant de la température .#
Évolution de la contrainte, \({\sigma}_{0}\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Référence |
20 |
253.02000000000001 |
2000 |
164.36000000000001 |
200000 |
102.16 |
1000000 |
79.920000000000002 |
1600000 |
70.900000000000006 |
Tableau 2.2.2-1 : Résultats de référence pour K_D(T)
Évolution de la variable d’endommagement, \(D\) en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants selon la modélisation :
Instant |
Référence |
20 |
2.32E-4 |
2000 |
2.7399E-3 |
200000 |
0.027560999999999999 |
1000000 |
0.066266500000000006 |
1600000 |
0.090278800000000006 |
Tableau 2.2.2-2 : Résultats de référence pour K_D(T)
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(r\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants:
Instant |
Référence |
20 |
1.6459999999999999E-3 |
2000 |
2.2339E-3 |
200000 |
2.6282800000000002E-3 |
1000000 |
2.7522900000000001E-3 |
1600000 |
2.7992999999999998E-3 |
Tableau 2.2.2-3 : Résultats de référence pour K_D(T)
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(p\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants:
Instant |
Référence |
20 |
1.6461E-3 |
2000 |
2.2344999999999999E-3 |
200000 |
2.6329000000000001E-3 |
1000000 |
2.762699E-3 |
1600000 |
2.8137000000000001E-3 |
Tableau 2.2.2-4 : Résultats de référence pour K_D(T)
Incertitudes sur la solution#
Précision des codes
Bibliographie#
HT-2C/97/016/A, Dupas P., Description de la loi de comportement viscoplastique couplée à la loi de comportement isotrope de Chaboche introduite dans le Code_Aster, 1997.
Manuel de référence Aster R5.03.15, Comportement viscoplastique avec endommagement de Chaboche.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation 3D.
Le coefficient \({K}_{D}\) est choisi dépendant de la température et de \({\sigma}_{0}\) .
T(°C) |
0 MPa |
100 MPa |
200 MPa |
900 |
14,355 |
14,855 |
15,355 |
1000 |
14,5 |
15 |
15,5 |
1025 |
14,5363 |
15,0363 |
15,5363 |
1050 |
14,5725 |
15,0725 |
15,5725 |
Tableau 3.1-1 : K_D de la modélisation A
La discrétisation en temps est assez fine:
( JUSQU_A = 2, NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 1000000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1600000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1700000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1800000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1900000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2000000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2100000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2200000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2300000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2400000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2500000., NOMBRE = 40),
Caractéristiques du maillage#
On choisit de représenter l’éprouvette cylindrique par un pavé afin de pouvoir réaliser un calcul sur un seul élément. La modélisation possède 3 plans de symétrie
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles: 1 (HEXA8)
Image 3.2-1: Maillage de la modélisation A
Grandeurs testées et résultats#
Deux calculs sont effectués, le premier avec un algorithme d’intégration explicite (ALGO_INTE=”RUNGE_KUTTA”), le second avec un algorithme d’intégration implicite (ALGO_INTE=”NEWTON”).
Calcul en résolution explicite:
Évolution de la contrainte, \({\sigma}_{0}\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
252.76091 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
164.261 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
101.596 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
75.978499999999997 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
55.542099999999998 |
10.0 |
Tableau 3.3-1 : Résultats de la modélisation A
Évolution de la variable d’endommagement, \(D\) en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants selon la modélisation :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
2.3168400000000001E-4 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.77144E-3 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
0.032255100000000002 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
0.110134 |
1.0 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
0.28131600000000001 |
10.0 |
Tableau 3.3-2 : Résultats de la modélisation A
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(r\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
1.6445100000000001E-3 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.2312600000000001E-3 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
2.6251500000000001E-3 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7477999999999999E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.79276E-3 |
0.5 |
Tableau 3.3-3 : Résultats de la modélisation A
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(p\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
1.6445699999999999E-3 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.2318799999999999E-3 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
2.6301200000000001E-3 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7607899999999999E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.8147799999999998E-3 |
0.5 |
Tableau 3.3-4 : Résultats de la modélisation A
Calcul en résolution implicite :
Évolution de la contrainte, \({\sigma}_{0}\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
252.76091 |
2.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
164.261 |
2.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
101.596 |
2.5 |
Tableau 3.3-5: Résultats de la modélisation A
Évolution de la variable d’endommagement, \(D\) en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants selon la modélisation :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
2.3168400000000001E-4 |
3.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.77144E-3 |
4.0 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
0.032255100000000002 |
7.0 |
Tableau 3.3-6: Résultats de la modélisation A
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(r\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
1.6445100000000001E-3 |
2.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.2312600000000001E-3 |
1.0 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
2.6251500000000001E-3 |
1.0 |
Tableau 3.3-7: Résultats de la modélisation A
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(p\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
1.6445699999999999E-3 |
2.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.2318799999999999E-3 |
1.0 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
2.6301200000000001E-3 |
0.5 |
Tableau 3.3-8: Résultats de la modélisation A
Remarque: Ce calcul ne converge pas au-delà de l’instant 200000.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation AXIS.
Dans ce cas, le coefficient \({K}_{D}\) est choisi dépendant de la température et de \({\sigma}_{0}\) .
T(°C) |
0 MPa |
100 MPa |
200 MPa |
900 |
14,355 |
14,855 |
15,355 |
1000 |
14,5 |
15 |
15,5 |
1025 |
14,5363 |
15,0363 |
15,5363 |
1050 |
14,5725 |
15,0725 |
15,5725 |
Tableau 4.1-1 : K_D de la modélisation B
La discrétisation en temps est assez fine:
( JUSQU_A = 2, NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 1000000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1600000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1700000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1800000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1900000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2000000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2100000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2200000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2300000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2400000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2500000., NOMBRE = 40),
Caractéristiques du maillage#
On choisit de représenter l’éprouvette cylindrique par un quadrangle à 8 nœuds en axisymétrie.
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles: 1 (QUAD8)
Image 4.2-1: Maillage de la modélisation B
Grandeurs testées et résultats#
Évolution de la contrainte, \({\sigma}_{0}\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
75.978499999999997 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
55.542099999999998 |
10.0 |
Tableau 4.3-1 : Résultats de la modélisation B
Évolution de la variable d’endommagement, \(D\) en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants selon la modélisation :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
0.110134 |
1.0 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
0.28131600000000001 |
10.0 |
Tableau 4.3-2 : Résultats de la modélisation B
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(r\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7477999999999999E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.79276E-3 |
0.5 |
Tableau 4.3-3 : Résultats de la modélisation B
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(p\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7607899999999999E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.8147799999999998E-3 |
0.5 |
Tableau 4.3-4 : Résultats de la modélisation B
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation 3D.
On effectue deux calculs qui ne diffèrent que par l’algorithme d’intégration: “NEWTON” et “RUNGE_KUTTA”.
Dans ce cas, le coefficient \({K}_{D}\) est choisi uniquement dépendant de la température.
T(°C) |
900 |
1000 |
1025 |
\({K}_{D}\) |
15 |
15 |
15 |
Tableau 5.1-1 : K_D de la modélisation C
La discrétisation en temps est assez fine:
( JUSQU_A = 2, NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 1000000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1600000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1700000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1800000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1900000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2000000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2100000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2200000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2300000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2400000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2500000., NOMBRE = 40),
Caractéristiques du maillage#
On choisit de représenter l’éprouvette cylindrique par un pavé afin de pouvoir réaliser un calcul sur un seul élément. La modélisation possède 3 plans de symétrie.
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles: 1 (HEXA8)
Image 5.2-1: Maillage de la modélisation C
Grandeurs testées et résultats#
Cas RUNGE_KUTTA + Matrice ELASTIQUE#
Évolution de la contrainte, \({\sigma}_{0}\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
253.02000000000001 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
164.36000000000001 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
102.16 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
79.920000000000002 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
70.900000000000006 |
1.0 |
Tableau 5.3.1-1 : Résultats de la modélisation C
Évolution de la variable d’endommagement, \(D\) en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants selon la modélisation :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
2.32E-4 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7399E-3 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
0.027560999999999999 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
0.066266500000000006 |
1.0 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
0.090278800000000006 |
1.0 |
Tableau 5.3.1-2 : Résultats de la modélisation C
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(r\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
1.6459999999999999E-3 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.2339E-3 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
2.6282800000000002E-3 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7522900000000001E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7992999999999998E-3 |
0.5 |
Tableau 5.3.1-3 : Résultats de la modélisation C
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope visco-plastique, \(p\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
20 |
“ANALYTIQUE” |
1.6461E-3 |
0.5 |
2000 |
“ANALYTIQUE” |
2.2344999999999999E-3 |
0.5 |
200000 |
“ANALYTIQUE” |
2.6329000000000001E-3 |
0.5 |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.762699E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.8137000000000001E-3 |
0.5 |
Tableau 5.3.1-4 : Résultats de la modélisation C
Cas NEWTON + Matrice TANGENTE#
Les grandeurs testées sont les mêmes que dans le cas précédent. Par contre la tolérance est de 4% (pour toutes les valeurs testées).
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation AXIS.
On effectue deux calculs qui ne diffèrent que par l’algorithme d’intégration: “NEWTON” et “RUNGE_KUTTA”.
Dans ce cas, le coefficient \({K}_{D}\) est choisi uniquement dépendant de la température.
T(°C) |
900 |
1000 |
1025 |
\({K}_{D}\) |
15 |
15 |
15 |
Tableau 6.1-1 : K_D de la modélisation D
La discrétisation en temps est assez fine:
( JUSQU_A = 2, NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 2000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 20000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 200000., NOMBRE = 10),
( JUSQU_A = 1000000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1600000., NOMBRE = 30),
( JUSQU_A = 1700000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1800000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 1900000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2000000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2100000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2200000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2300000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2400000., NOMBRE = 40),
( JUSQU_A = 2500000., NOMBRE = 40),
Caractéristiques du maillage#
On choisit de représenter l’éprouvette cylindrique par un quadrangle à 8 nœuds en axisymétrie.
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles: 1 (QUAD8)
Image 6.2-1: Maillage de la modélisation D
Grandeurs testées et résultats#
Cas RUNGE_KUTTA + Matrice ELASTIQUE#
Évolution de la contrainte, \({\sigma}_{0}\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
79.922899999999998 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
70.902199999999993 |
1.0 |
Tableau 6.3.1-1 : Résultats de la modélisation D
Évolution de la variable d’endommagement, \(D\) en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants selon la modélisation :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
0.066266580000000005 |
1.0 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
0.090278800000000006 |
1.0 |
Tableau 6.3.1-2 : Résultats de la modélisation D
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(r\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7477999999999999E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7993599999999999E-3 |
0.5 |
Tableau 6.3.1-3 : Résultats de la modélisation D
Évolution de la variable d’écrouissage isotrope viscoplastique, \(p\) , en fonction du temps. On teste cette valeur à différents instants :
Instant |
Type de référence |
Référence |
Tolérance (%) |
1000000 |
“ANALYTIQUE” |
2.7522900000000001E-3 |
0.5 |
1600000 |
“ANALYTIQUE” |
2.8137437999999999E-3 |
0.5 |
Tableau 6.3.1-4 : Résultats de la modélisation D
Cas NEWTON + Matrice TANGENTE#
Les grandeurs testées sont les mêmes que dans le cas précédent. Par contre la tolérance est de 4% (pour toutes les valeurs testées).
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus avec Code_Aster sont proches de la solution de référence obtenue sur Mathematica. Cependant dans la modélisation A, on remarque que les résultats du calcul utilisant l’algorithme d’intégration implicite sont plus éloignés de la référence que ceux du calcul avec algorithme explicite et que le calcul ne converge pas au-delà de de l’instant \(200000.\) .