v3.01.013 SSLL13 – Calcul du ferraillage des poutres#
Résumé:
Ce test concerne la vérification analytique des densités de ferraillage calculées à l’aide de l’opérateur CALC_FERRAILLAGE.
Plusieurs cas de chargements sont étudiés à l’ELU pour la modélisation A, à l’ELS (Caractéristique) pour la modélisation B et l’ELS QP pour la modélisation C. Enfin, on introduit une modélisation D à l’ELU au niveau de laquelle on change le type de modélisation aux éléments finis, en passant d’une modélisation en poutre d’Euler [POU_D_E] telle que retenue pour les modélisations A,B,C à une modélisation en poutre de Timoshenko [POU_D_T]
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Les densités des aciers longitudinaux sont calculées conformément à la méthode des 3 Pivots (A, B,C).
Grandeurs et résultats de référence#
Calculs à l’ELU#
On donnera le détail du calcul vis-à-vis du cas par défaut (Configuration 1 + Configuration 2 pour les cas où un acier de compression est requis).
Cas de chargement 1#
La poutre est soumise à une compression de \(N=-1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
La résistance du béton non armé à la compression est donnée par:
\({N}_{\mathit{Rd}}={A}_{c}\times {f}_{\mathit{cd}}=0,30m\times 0,50m\times (\frac{35\mathit{MPa}}{1,5})=3,5\text{MN}>1\text{MN}\)
Par conséquent, la section est en Pivot C (Cas d’une déformation uniforme) tel que le béton puisse résister à lui seul à l’effort ⇒ pas de ferraillage longitudinal requis.
\({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}={A}_{\mathit{SZS}}={A}_{\mathit{SZI}}=0{\mathit{cm}}^{2}\)
Ferraillage transversal:
A l’Eurocode 2, le calcul du ferraillage transversal peut tenir compte de l’effort normal de compression et il s’agit de commencer par vérifier la résistance du béton non ferraillé transversalement à l’effort tranchant, donnée par la formule ci-dessous:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max({C}_{\mathit{Rd},c}k{(100{\rho}_{l}{f}_{\mathit{ck}})}^{1/3};{v}_{min})+{k}_{1}{\sigma}_{\mathit{cp}}]\times {b}_{w}d\)
Soit, si l’on tient compte de l’impact de l’effort normal:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max(\frac{0,18}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{460}})\cdot {(100\times 0\times 35)}^{1/3};\frac{0,053}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{460}})\cdot {35}^{0,5})+0,15\times (\frac{1,0}{0,3\times 0,5})]\times 0,3\times 0,46\)
\({V}_{\mathit{Rd},c}=185868N\)
Ce terme est supérieur à la valeur de l’effort tranchant sollicitant la section, et qui vaut 100 000 N.
Par conséquent, aucun ferraillage transversal est requis.
Si l’on ne tient pas compte de l’apport bénéfique de l’effort normal, on aura alors:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=69884N\)
Qui devient alors inférieur à l’effort tranchant sollicitant la section, à savoir \({V}_{\mathit{Ed}}=100000N\) ; on passe alors par la modélisation en treillis de Ritter-Mosche donnée au niveau de l’Eurocode 2, en considérant:
\({\theta}_{b}=21,8°\) - angle d’inclinaison des bielles de compression de béton
\({V}_{\mathit{Rd},max}=\frac{{\alpha}_{\mathit{cw}}{b}_{w}z{\nu}_{1}{f}_{\mathit{cd}}}{\tan({\theta}_{b})+\mathrm{cot}({\theta}_{b})}=\frac{1,0\times 0,3\times (0,9\times 0,46)\times 0,6\times (35/1,5)}{\tan(21,8°)+\mathrm{cot}(21,8°)}=564798N>100000N\) - vérification du non écrasement des bielles
\({V}_{\mathit{Rd},s}=(\frac{{A}_{\mathit{sw}}}{s})z{f}_{\mathit{yd}}/\tan({\theta}_{b})\) - résistance des cadres de ferraillage transversal à prévoir. Afin de vérifier la stabilité du treillis, le dimensionnement mène alors à poser: \({V}_{\mathit{Rd},s}={V}_{\mathit{Ed}}\) ; soit: \(\frac{{A}_{\mathit{sw}}}{s}=\frac{{V}_{\mathit{Ed}}}{z{f}_{\mathit{yd}}/\tan({\theta}_{b})}=3,93{\mathit{cm}}^{2}/m\)
Cas de chargement2#
La poutre est soumise à un effort normal de traction de \(N=1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=-100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Il s’agit d’une section entièrement tendue de manière symétrique.
La section d’acier est donc égale à \({A}_{S}=\frac{N}{{f}_{\mathit{yd}}}=\frac{N}{({f}_{\mathit{yk}}/{\gamma}_{s})}\) (Pivot A – Cas d’une déformation uniforme).
Chaque lit d’armatures reprend donc lequart de l’effort soit:
\({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}={A}_{\mathit{SZS}}={A}_{\mathit{SZI}}=\frac{{A}_{S}}{4}=5,75{\mathit{cm}}^{2}\)
F erraillage transversal:
Idem au cas précédent, en l’absence d’un effort de compression:
\(\frac{{A}_{\mathit{sw}}}{s}=3,93{\mathit{cm}}^{2}/m\)
Cas de chargement3#
La poutre est soumise à un effort normal de traction de \(N=1000000\text{N}\) , un effort tranchant \({V}_{z}=-100000\text{N}\) et un moment de torsion \({M}_{T}=-10000\text{Nm}\)
Ferraillage longitudinal:
Idem au cas précédent: \({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}={A}_{\mathit{SZS}}={A}_{\mathit{SZI}}=5,75{\mathit{cm}}^{2}\)
F erraillage transversal:
A l’Eurocode 2, il s’agit de commencer par vérifier la résistance du béton cisaillé au couplage effort tranchant et moment de torsion:
pour l’effort tranchant:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max({C}_{\mathit{Rd},c}k{(100{\rho}_{l}{f}_{\mathit{ck}})}^{1/3};{v}_{min})+{k}_{1}{\sigma}_{\mathit{cp}}]\times {b}_{w}d\)
Soit:
\({V}_{\mathit{Rd},c}=[max(\frac{0,18}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{460}})\cdot {(100\times 8,846\times {10}^{-3}\times 35)}^{1/3};\frac{0,053}{1,5}\cdot (1+\sqrt{\frac{200}{460}})\cdot {35}^{0,5})]\times 0,3\times 0,46\)
\({V}_{\mathit{Rd},c}=91948N\)
pour la torsion:
\({T}_{\mathit{Rd},c}=2{f}_{\mathit{ctd}}{t}_{k}{a}_{k}\)
Soit:
\({T}_{\mathit{Rd},c}=2\times (\frac{2,25}{1,5})\times (9,375\times {10}^{-2})\times (8,379\times {10}^{-2})\)
\({T}_{\mathit{Rd},c}=23534\mathit{Nm}\)
Soit, la résistance du béton cisaillé se calcule comme suit:
\(\frac{{V}_{\mathit{Ed}}}{{V}_{\mathit{Rd},c}}+\frac{{T}_{\mathit{Ed}}}{{T}_{\mathit{Rd},c}}=\frac{100000}{91948}+\frac{10000}{23534}=1,512>1,0\)
Par conséquent, un ferraillage transversal est requis; on passe alors par la modélisation en treillis de Ritter-Mosche donnée au niveau de l’Eurocode 2, en considérant:
\({\theta}_{b}=21,8°\) - angle d’inclinaison des bielles de compression de béton
\({V}_{\mathit{Rd},max}=\frac{{\alpha}_{\mathit{cw}}{b}_{w}z{\nu}_{1}{f}_{\mathit{cd}}}{\tan({\theta}_{b})+\mathrm{cot}({\theta}_{b})}=564798N\) et
\({T}_{\mathit{Rd},max}=2\nu {\alpha}_{\mathit{cw}}{f}_{\mathit{cd}}{a}_{k}{t}_{k}\sin({\theta}_{b})\cos({\theta}_{b})=65222\mathit{Nm}\)
Soit, \(\frac{{V}_{\mathit{Ed}}}{{V}_{\mathit{Rd},max}}+\frac{{T}_{\mathit{Ed}}}{{T}_{\mathit{Rd},max}}=\frac{100000}{564798}+\frac{10000}{65222}=0,33<1,0\) - vérification du non écrasement des bielles
\({V}_{\mathit{Rd},s}=(\frac{{A}_{\mathit{sw}}}{s})z{f}_{\mathit{yd}}/\tan({\theta}_{b})\) - résistance des cadres de ferraillage transversal à prévoir. Afin de vérifier la stabilité du treillis, le dimensionnement mène alors à poser: \({V}_{\mathit{Rd},s}={V}_{\mathit{Ed}}+2{V}_{\mathit{EdT}}\) , tel que \({V}_{\mathit{EdT}}=\frac{{T}_{\mathit{Ed}}}{2{a}_{k}}\times (h-{t}_{k})=12308N\) soit:
\(\frac{{A}_{\mathit{sw}}}{s}=\frac{{V}_{\mathit{Ed}}+2{V}_{\mathit{EdT}}}{z{f}_{\mathit{yd}}/\tan({\theta}_{b})}=4,899{\mathit{cm}}^{2}/m\)
Cas de chargement4#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre inférieure tendue.
A l’ELU:
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{hd\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=\frac{0,1}{0,3\cdot \mathrm{0,46²}\cdot 1,0\cdot (35/1,5)}=0,0675\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0,08745\) .
Le bras de levier réduit \(y=d(1-\frac{\alpha}{2})=0,439\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYI}}=\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{y{\sigma}_{s}}=5,181\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) inférieur).
Cas de chargement5#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre droite tendue.
A l’ELU:
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{\left|{M}_{\mathit{FY}}\right|}{{b}_{w}d\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=\frac{0,1}{0,5\cdot \mathrm{0,26²}\cdot 1,0\cdot (35/1,5)}=0,127\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0,136\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0,242\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SZS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FY}}\right|}{z{\sigma}_{s}}=9,492\text{cm²}\) (lit \(\text{Z}\) supérieur).
Cas de chargement6#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=100000\text{N}\) .
La section est partiellement tendue.
A l’ELU:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=79000\text{Nm}\)
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=0,0533\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0,0548\) .
Le bras de levier réduit \(y=d(1-\frac{\alpha}{2})=0,447\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{M}{y{\sigma}_{s}}+\frac{N}{{\sigma}_{s}}=6,361\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) supérieur).
Cas de chargement7#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=100000\text{N}\) .
La section est partiellement tendue.
A l’ELU:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FY}}\right|-N(d-\frac{h}{2})=89000\text{Nm}\)
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{M}{{b}_{w}d\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=0,1128\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0,120\) .
Le bras de levier réduit \(z=d(1-\frac{\alpha}{2})=0,244\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SZS}}=\frac{M}{z{\sigma}_{s}}+\frac{N}{{\sigma}_{s}}=10,676\text{cm²}\) (lit \(\text{Z}\) supérieur).
Cas de chargement 8#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=2000000\text{N}\) .
La section est totalement tendue \(M=|{M}_{\mathit{FZ}}|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=-320000\text{Nm}<0\)
A l’ELU:
La section d’armature est donc égale à:
\({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{M}{(d-{b}_{w}){\sigma}_{s}}+\frac{N}{{\sigma}_{s}}=17,524\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) supérieur).
\({A}_{\mathit{SYI}}=\frac{-M}{(d-{b}_{w}){\sigma}_{s}}=28,476\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) inférieur).
Cas de chargement 9#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) et à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-150000\text{Nm}\) . Elle est donc en flexion déviée, et la résolution s’effectue suivant la méthode itérative basée sur la vérification de l’inéquation de Bresler:
On commence par effectuer un calcul en flexion simple suivant l’axe Z: on obtient un ferraillage similaire au CAS 4, à savoir \({A}_{\mathit{SYI}}=5,181\text{cm²}\)
Idem, on effectue un calcul en flexion simple suivant l’axe Y: on obtient le ferraillage suivant \({A}_{\mathit{SZS}}=14,85\text{cm²}\)
On calcule l’effort normal résistant, ainsi que les moments fléchissants résistants par le biais des digrammes d’interaction construits à partir du ferraillage calculé précédemment; on obtient:
\({N}_{\mathit{Rd}}=4370905N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=99888\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-149500\mathit{Nm}\)
L’équation de Bresler s’écrit alors:
\(\mathit{BRES}={(\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{{M}_{\text{Rd,z}}})}^{a=f(N/{N}_{\mathit{Rd}})}+{(\frac{{M}_{\mathit{FY}}}{{M}_{\text{Rd,y}}})}^{a}={(\frac{100000}{99888})}^{1,0}+{(\frac{150000}{149500})}^{1,0}\approx 2,0\) (ce qui est normal, vu que ce couple de ferraillage est issu d’un calcul découplé (suivant Y et Z) de dimensionnement).
L’algorithme d’itération consiste alors à augmenter les sections de ferraillage, de sorte à ce que la somme ci-dessus tombe en-dessous de 1:
\({A}_{\mathit{SYI}}=5,181\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=14,85\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=99888\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-149500\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 2,0
\({A}_{\mathit{SYI}}=5,699\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=16,335\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=109467\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-162435\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 1,837
\({A}_{\mathit{SYI}}=6,269\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=17,968\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=119920\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-176233\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 1,685
…
…
\({A}_{\mathit{SYI}}=12,217\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=35,015\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=223619\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-293740\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 0,958
Cas de chargement 10#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) , à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-150000\text{Nm}\) et à un effort de compression égal à \(N=-3000000\text{N}\) . Elle est donc en flexion déviée et composée, et la résolution s’effectue suivant la méthode itérative basée sur la vérification de l’inéquation de Bresler:
On commence par effectuer un calcul en flexion composée suivant l’axe Z:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=730000\text{Nm}\)
Le moment ultime réduit équivalent s’écrit alors \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=0,493>{\mu}_{\mathit{BC}}=0,48\) .
La section est donc entièrement comprimée, et l’équilibre passe en PIVOT C tel que le problème se résout par itération; on obtient au final, la solution optimale ci-dessous:
Déformations en fibres extrêmes: \({\epsilon}_{\text{c,sup}}=3,33\cdot {10}^{-3}\) , \({\epsilon}_{\text{c,inf}}=2,23\cdot {10}^{-4}\)
Profondeur du PIVOT C: \({x}_{c}=(1-\frac{{\epsilon}_{c2}}{{\epsilon}_{\mathit{cu}2}}){b}_{w}=(1-\frac{2,0\cdot {10}^{-3}}{3,5\cdot {10}^{-3}})\times 0,5=0,2143m\)
Effort de compression résistant du béton: \({N}_{\mathit{cc}}={b}_{w}h{f}_{\mathit{cd}}\cdot (1+{m}_{2}{X}^{{n}_{c}})=2973627N\)
Moment résistant au centre de gravité de la section: \({M}_{\mathit{cc}}=h{b}_{w}^{2}{f}_{\mathit{cd}}\cdot {m}_{1}{X}^{{n}_{c}}=93995\mathit{Nm}\)
Tels que:
\(X=\frac{\Delta \epsilon }{{\epsilon}_{c2}}=\frac{{\epsilon}_{\text{c,sup}}-{\epsilon}_{\text{c,inf}}}{{\epsilon}_{c2}}=1,555\)
\({n}_{c}=2,0\)
\({m}_{1}=\frac{{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}^{{n}_{c}+1}}{2({n}_{c}+1)}\cdot [:ref:`1-2\frac{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}{{n}_{c}+2} <1-2\frac{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}{{n}_{c}+2}>\)]` et \({m}_{2}=\frac{-{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}^{{n}_{c}+1}}{{n}_{c}+1}\)
Le ferraillage dimensionnant s’en déduit alors des équations d’équilibre ci-dessous:
\({A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}+{A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}=N-{N}_{\mathit{cc}}\)
\(-{A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\inf})+{A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\sup})={M}_{\mathit{FZ}}-{M}_{\mathit{cc}}\)
Ce qui aboutit à: \({A}_{\mathit{SYI}}=0\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=0,632\text{cm²}\) (Ferraillage de compression)
On effectue similairement un calcul en flexion composée suivant l’axe Y:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FY}}\right|-N(d-\frac{h}{2})=480000\text{Nm}\)
Le moment ultime réduit équivalent s’écrit alors \(\mu =\frac{M}{{b}_{w}d\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=0,609>{\mu}_{\mathit{BC}}=0,48\) .
La section est donc entièrement comprimée, et l’équilibre passe en PIVOT C tel que le problème se résout par itération; on obtient au final, la solution optimale ci-dessous:
Déformations en fibres extrêmes: \({\epsilon}_{\text{c,inf}}=3,5\cdot {10}^{-3}\) , \({\epsilon}_{\text{c,sup}}=0\)
Profondeur du PIVOT C: \({x}_{c}=(1-\frac{{\epsilon}_{c2}}{{\epsilon}_{\mathit{cu}2}})h=(1-\frac{2,0\cdot {10}^{-3}}{3,5\cdot {10}^{-3}})\times 0,3=0,1286m\)
Effort de compression résistant du béton: \({N}_{\mathit{cc}}={b}_{w}h{f}_{\mathit{cd}}\cdot (1+{m}_{2}{X}^{{n}_{c}})=2660934N\)
Moment résistant au centre de gravité de la section: \({M}_{\mathit{cc}}=-{b}_{w}{h}^{2}{f}_{\mathit{cd}}\cdot {m}_{1}{X}^{{n}_{c}}=-89900\mathit{Nm}\)
Tels que:
\(X=\frac{\Delta \epsilon }{{\epsilon}_{c2}}=\frac{{\epsilon}_{\text{c,sup}}-{\epsilon}_{\text{c,inf}}}{{\epsilon}_{c2}}=-1,75\)
\({n}_{c}=2,0\)
\({m}_{1}=\frac{{(1-{x}_{c}/h)}^{{n}_{c}+1}}{2({n}_{c}+1)}\cdot [:ref:`1-2\frac{(1-{x}_{c}/h)}{{n}_{c}+2} <1-2\frac{(1-{x}_{c}/h)}{{n}_{c}+2}>\)]` et \({m}_{2}=\frac{-{(1-{x}_{c}/h)}^{{n}_{c}+1}}{{n}_{c}+1}\)
Le ferraillage dimensionnant s’en déduit alors des équations d’équilibre ci-dessous:
\({A}_{\mathit{SZI}}{\sigma}_{\mathit{SZI}}+{A}_{\mathit{SZS}}{\sigma}_{\mathit{SZS}}=N-{N}_{\mathit{cc}}\)
\(-{A}_{\mathit{SZI}}{\sigma}_{\mathit{SZI}}\cdot (h/2-{c}_{\inf})+{A}_{\mathit{SZS}}{\sigma}_{\mathit{SZS}}\cdot (h/2-{c}_{\sup})={M}_{\mathit{FY}}-{M}_{\mathit{cc}}\)
Ce qui aboutit à: \({A}_{\mathit{SZS}}=0\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=10,902\text{cm²}\) (Ferraillage de compression)
On calcule alors l’effort normal résistant, ainsi que les moments fléchissants résistants par le biais des digrammes d’interaction construits à partir du ferraillage calculé précédemment; on obtient:
\({N}_{\mathit{Rd}}=4001505N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=99965\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-150014\mathit{Nm}\)
L’équation de Bresler s’écrit alors:
\(\mathit{BRES}={(\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{{M}_{\text{Rd,z}}})}^{a=f(N/{N}_{\mathit{Rd}})}+{(\frac{{M}_{\mathit{FY}}}{{M}_{\text{Rd,y}}})}^{a}={(\frac{100000}{99965})}^{1,58}+{(\frac{150000}{150014})}^{1,58}\approx 2,0\) (ce qui est normal, vu que ce couple de ferraillage est issu d’un calcul découplé (suivant Y et Z) de dimensionnement).
L’algorithme d’itération consiste alors à augmenter les sections de ferraillage, de sorte à ce que la somme ci-dessus tombe en-dessous de 1; on obtient au final:
\({A}_{\mathit{SYS}}=2,93\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=50,09\text{cm²}\) ⇒
\({N}_{\text{Rd}}=5804403N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=138358\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-330836\mathit{Nm}\) ⇒
\(a=f(N/{N}_{\text{Rd}}=0,5168)=1,347\) ⇒
BRES = 0,9901 ⇒ OK
Cas de chargement 11#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-150000\text{Nm}\) .
La section est partiellement tendue.
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{hd\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=\frac{0,15}{0,3\cdot \mathrm{0,46²}\cdot 1,0\cdot (35/1,5)}=0,1013\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0,1337\) .
Le bras de levier réduit \(y=d(1-\frac{\alpha}{2})=0,429m\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{y{\sigma}_{s}}=7,923\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) supérieur).
Cas de chargement 12#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-260000\text{Nm}\) .
La section est partiellement tendue.
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{hd\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=\frac{0,26}{0,3\cdot \mathrm{0,46²}\cdot 1,0\cdot (35/1,5)}=0,1755\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0,243\) .
Le bras de levier réduit \(y=d(1-\frac{\alpha}{2})=0,404m\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{y{\sigma}_{s}}=14,4\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) supérieur).
Cas de chargement 13#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-380000\text{Nm}\) .
La section est partiellement tendue.
Le moment ultime réduit \(\mu =\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{hd\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=\frac{0,38}{0,3\cdot \mathrm{0,46²}\cdot 1,0\cdot (35/1,5)}=0,2565\) .
La position relative de la fibre neutre \(\alpha =1-\sqrt{1-2\mu }=0,378\) .
Le bras de levier réduit \(y=d(1-\frac{\alpha}{2})=0,373m\) .
La section d’armature est donc égale à \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{y{\sigma}_{s}}=22,382\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) supérieur).
Cas de chargement 14#
La poutre est soumise à une compression de \(N=-4500000\text{N}\) , à un moment de flexion \({M}_{\mathit{FZ}}=380000\text{Nm}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=1325000\text{Nm}\)
Le moment ultime réduit équivalent s’écrit alors \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}\eta {f}_{\mathit{cd}}}=0,895>{\mu}_{\mathit{BC}}=0,48\) .
La section est donc entièrement comprimée, et l’équilibre passe en PIVOT C tel que le problème se résout par itération; on obtient au final, la solution optimale ci-dessous:
Déformations en fibres extrêmes: \({\epsilon}_{\text{c,sup}}=3,213\cdot {10}^{-3}\) , \({\epsilon}_{\text{c,inf}}=3,829\cdot {10}^{-4}\)
Profondeur du PIVOT C: \({x}_{c}=(1-\frac{{\epsilon}_{c2}}{{\epsilon}_{\mathit{cu}2}}){b}_{w}=(1-\frac{2,0\cdot {10}^{-3}}{3,5\cdot {10}^{-3}})\times 0,5=0,2143m\)
Effort de compression résistant du béton: \({N}_{\mathit{cc}}={b}_{w}h{f}_{\mathit{cd}}\cdot (1+{m}_{2}{X}^{{n}_{c}})=3064141N\)
Moment résistant au centre de gravité de la section: \({M}_{\mathit{cc}}=h{b}_{w}^{2}{f}_{\mathit{cd}}\cdot {m}_{1}{X}^{{n}_{c}}=77832\mathit{Nm}\)
Tels que:
\(X=\frac{\Delta \epsilon }{{\epsilon}_{c2}}=\frac{{\epsilon}_{\text{c,sup}}-{\epsilon}_{\text{c,inf}}}{{\epsilon}_{c2}}=1,415\)
\({n}_{c}=2,0\)
\({m}_{1}=\frac{{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}^{{n}_{c}+1}}{2({n}_{c}+1)}\cdot [:ref:`1-2\frac{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}{{n}_{c}+2} <1-2\frac{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}{{n}_{c}+2}>\)]` et \({m}_{2}=\frac{-{(1-{x}_{c}/{b}_{w})}^{{n}_{c}+1}}{{n}_{c}+1}\)
Le ferraillage dimensionnant s’en déduit alors des équations d’équilibre ci-dessous:
\({A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}+{A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}=N-{N}_{\mathit{cc}}\)
\(-{A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\inf})+{A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\sup})={M}_{\mathit{FZ}}-{M}_{\mathit{cc}}\)
Ce qui aboutit à: \({A}_{\mathit{SYI}}=0\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=33,06\text{cm²}\) (Ferraillage de compression)
F erraillage transversal:
Idem au Cas de chargement 1
Calculs à l’ELS Caractéristique#
On donnera le détail du calcul vis-à-vis du cas par défaut (Configuration 1 + Configuration 2 pour le cas où un acier de compression est requis), et on se concentrera uniquement sur le calcul du ferraillage longitudinal de flexion.
Cas de chargement 1#
La poutre est soumise à une compression de \(N=-1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
La résistance du béton non armé à la compression est donnée par:
\({N}_{\mathit{Rd}}={A}_{c}\times {\sigma}_{\text{c,lim}}=0,5m\times 0,3m\times (21\mathit{MPa})=3,15\text{MN}>1\text{MN}\)
Par conséquent, la section est en Pivot C (Cas d’une déformation uniforme) tel que le béton puisse résister à lui seul à l’effort ⇒ pas de ferraillage longitudinal requis.
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement2#
La poutre est soumise à un effort normal de traction de \(N=1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=-100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
I l s’agit d’une section entièrement tendue de manière symétrique.
La section d’acier est donc égale à \({A}_{S}=\frac{N}{{\sigma}_{\text{s,lim}}}=\frac{1\mathit{MN}}{400\mathit{MPa}}\) (Pivot A – Cas d’une déformation uniforme).
Chaque lit d’armatures reprend donc lequart de l’effort soit:
\({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}={A}_{\mathit{SZS}}={A}_{\mathit{SZI}}=\frac{{A}_{S}}{4}=6,25{\mathit{cm}}^{2}\)
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement3#
La poutre est soumise à un effort normal de traction de \(N=1000000\text{N}\) , un effort tranchant \({V}_{z}=-100000\text{N}\) et un moment de torsion \({M}_{T}=-10000\text{Nm}\)
Ferraillage longitudinal:
Idem au cas précédent: \({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}={A}_{\mathit{SZS}}={A}_{\mathit{SZI}}=6,25{\mathit{cm}}^{2}\)
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim}}\)
Cas de chargement4#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre inférieure tendue.
A l’ELS:
Le moment résistant du béton est égal à :
\({M}_{\lim}=\frac{1}{2}{\sigma}_{b}{y}_{\lim}h(d-\frac{{y}_{\lim}}{3})=250527\text{Nm}\)
avec \({y}_{\lim}=d\frac{n{\sigma}_{b}}{n{\sigma}_{b}+{\sigma}_{s}}=({b}_{w}-{c}_{\text{y,inf}})\frac{n{\sigma}_{b}}{n{\sigma}_{b}+{\sigma}_{s}}=0,203\text{m}\)
Nous sommes donc dans le cas où \(M={M}_{\mathit{FZ}}⩽{M}_{\lim}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}}=0,075\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0,299\)
La section d’acier nécessaire est égale à: \({A}_{\mathit{SYI}}=\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}=5,89\text{cm²}\)
Cas de chargement5#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre droite tendue.
A l’ELS:
Le moment résistant du béton est égal à :
\({M}_{\lim}=\frac{1}{2}{\sigma}_{b}{z}_{\lim}{b}_{w}(d-\frac{{z}_{\lim}}{3})=133393\text{Nm}\)
avec \({z}_{\lim}=d\frac{n{\sigma}_{b}}{n{\sigma}_{b}+{\sigma}_{s}}=(h-{c}_{\text{z,sup}})\frac{n{\sigma}_{b}}{n{\sigma}_{b}+{\sigma}_{s}}=0,115\text{m}\)
Nous sommes donc dans le cas où \(M=\left|{M}_{\mathit{FY}}\right|⩽{M}_{\lim}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =\frac{M}{{b}_{w}d\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}}=0,141\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0,396\)
La section d’acier nécessaire est égale à: \({A}_{\mathit{SZS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FY}}\right|}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}=11,24\text{cm²}\)
Cas de chargement6#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=100000\text{N}\) .
Le moment à reprendre est \(M=|{M}_{\mathit{FZ}}|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=79000\text{Nm}\)
La section est partiellement tendue, tel que nous sommes dans le cas où \(M⩽{M}_{\lim}=250527\text{Nm}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}}=0,059\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0,2719\)
La section d’acier nécessaire est égale à:
\({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{M}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}+\frac{N}{{\sigma}_{s}}=7,171\text{cm²}\)
Cas de chargement7#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=100000\text{N}\) .
Le moment à reprendre est \(M=|{M}_{\mathit{FY}}|-N(d-\frac{h}{2})=89000\text{Nm}\)
La section est partiellement tendue, tel que nous sommes dans le cas où \(M⩽{M}_{\lim}=133393\text{Nm}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =\frac{M}{{b}_{w}d\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}}=0,125\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0,375\)
La section d’acier nécessaire est égale à:
\({A}_{\mathit{SZS}}=\frac{M}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}+\frac{N}{{\sigma}_{s}}=12,26\text{cm²}\)
Cas de chargement 8#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=2000000\text{N}\) .
La section est totalement tendue \(M=|{M}_{\mathit{FZ}}|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=-320000\text{Nm}<0\)
A l’ELS:
La section d’armature est donc égale à:
\({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{M}{(d-h){\sigma}_{s}}+\frac{N}{{\sigma}_{s}}=30,952\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) supérieur)
\({A}_{\mathit{SYI}}=\frac{-M}{(d-h){\sigma}_{s}}=19,048\text{cm²}\) (lit \(\text{Y}\) inférieur)
Cas de chargement 9#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) et à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-150000\text{Nm}\) . Elle est donc en flexion déviée, et la résolution s’effectue suivant la méthode itérative basée sur la vérification de l’inéquation de Bresler:
On commence par effectuer un calcul en flexion simple suivant l’axe Z: on obtient un ferraillage similaire au CAS 4, à savoir \({A}_{\mathit{SYI}}=5,89\text{cm²}\)
Idem, on effectue un calcul en flexion simple suivant l’axe Y: on obtient le ferraillage suivant \({A}_{\mathit{SZS}}=22,868\text{cm²}\)
On calcule l’effort normal résistant, ainsi que les moments fléchissants résistants par le biais des digrammes d’interaction construits à partir du ferraillage calculé précédemment; on obtient:
\({N}_{\mathit{Rd}}=4300237N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=97519\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-150001\mathit{Nm}\)
L’équation de Bresler s’écrit alors:
\(\mathit{BRES}={(\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{{M}_{\text{Rd,z}}})}^{a=f(N/{N}_{\mathit{Rd}})}+{(\frac{{M}_{\mathit{FY}}}{{M}_{\text{Rd,y}}})}^{a}={(\frac{100000}{97519})}^{1,0}+{(\frac{150000}{150001})}^{1,0}\approx 2,0\) (ce qui est normal, vu que ce couple de ferraillage est issu d’un calcul découplé (suivant Y et Z) de dimensionnement).
L’algorithme d’itération consiste alors à augmenter les sections de ferraillage, de sorte à ce que la somme ci-dessus tombe en-dessous de 1:
\({A}_{\mathit{SYI}}=5,89\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=22,868\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=97519\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-150501\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 2,0
\({A}_{\mathit{SYI}}=6,476\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=25,155\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=106795\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-153736\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 1,912
\({A}_{\mathit{SYI}}=7,124\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=27,671\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=116936\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-157433\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 1,808
…
…
\({A}_{\mathit{SYI}}=52,719\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=204,769\text{cm²}\) ⇒
\({M}_{\text{Rd,z}}=336053\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-215865\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 0,992
Cas de chargement 10#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) , à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-150000\text{Nm}\) et à un effort de compression égal à \(N=-3000000\text{N}\) . Elle est donc en flexion déviée et composée, et la résolution s’effectue suivant la méthode itérative basée sur la vérification de l’inéquation de Bresler:
On commence par effectuer un calcul en flexion composée suivant l’axe Z:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=730000\text{Nm}\)
La section est totalement comprimée, tel que nous sommes dans le cas où \(M>{M}_{\lim}=250527\text{Nm}\) Ainsi, un ferraillage de compression est requis.
La section est donc entièrement comprimée, et l’équilibre passe en PIVOT B (\({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) ) tel que le problème se résout par itération; on obtient au final, la solution optimale ci-dessous:
Contraintes en fibres extrêmes: \({\sigma}_{\text{c,sup}}=21\mathit{MPa}\) , \({\sigma}_{\text{c,inf}}=15,05\mathit{MPa}\)
Effort de compression résistant du béton: \({N}_{\mathit{cc}}=0,5{b}_{w}h\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}+{\sigma}_{\text{c,inf}})=2703750N\)
Moment résistant au centre de gravité de la section: \({M}_{\mathit{cc}}=(1/12)h{b}_{w}^{2}\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}-{\sigma}_{\text{c,inf}})=37187,5\mathit{Nm}\)
Le ferraillage dimensionnant s’en déduit alors des équations d’équilibre ci-dessous:
\(n\cdot {A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}+n\cdot {A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}=N-{N}_{\mathit{cc}}\)
\(-n\cdot {A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\inf})+n\cdot {A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\sup})={M}_{\mathit{FY}}-{M}_{\mathit{cc}}\)
Ce qui aboutit à: \({A}_{\mathit{SYI}}=0\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=9,67\text{cm²}\) (Ferraillage de compression)
On effectue similairement un calcul en flexion composée suivant l’axe Y:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FY}}\right|-N(d-\frac{h}{2})=480000\text{Nm}\)
La section est totalement comprimée, tel que nous sommes dans le cas où \(M>{M}_{\lim}=133393\text{Nm}\) Ainsi, un ferraillage de compression est requis.
La section est donc entièrement comprimée, et l’équilibre passe en PIVOT B (\({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) ) tel que le problème se résout par itération; on obtient au final, la solution optimale ci-dessous:
Contraintes en fibres extrêmes: \({\sigma}_{\text{c,inf}}=21\mathit{MPa}\) , \({\sigma}_{\text{c,sup}}=7,15\mathit{MPa}\)
Effort de compression résistant du béton: \({N}_{\mathit{cc}}=0,5{b}_{w}h\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}+{\sigma}_{\text{c,inf}})=2111250N\)
Moment résistant au centre de gravité de la section: \({M}_{\mathit{cc}}=(1/12){b}_{w}{h}^{2}\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}-{\sigma}_{\text{c,inf}})=-51937\mathit{Nm}\)
Le ferraillage dimensionnant s’en déduit alors des équations d’équilibre ci-dessous:
\({A}_{\mathit{SZI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}+{A}_{\mathit{SZS}}{\sigma}_{\mathit{SZS}}=N-{N}_{\mathit{cc}}\)
\(-{A}_{\mathit{SZI}}{\sigma}_{\mathit{SZI}}\cdot (h/2-{c}_{\inf})+{A}_{\mathit{SZS}}{\sigma}_{\mathit{SZS}}\cdot (h/2-{c}_{\sup})={M}_{\mathit{FZ}}-{M}_{\mathit{cc}}\)
Ce qui aboutit à: \({A}_{\mathit{SZS}}=0\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=30,98\text{cm²}\) (Ferraillage de compression)
On calcule alors l’effort normal résistant, ainsi que les moments fléchissants résistants par le biais des digrammes d’interaction construits à partir du ferraillage calculé précédemment; on obtient:
\({N}_{\mathit{Rd}}=4776053N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=91703,6\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-149901,6\mathit{Nm}\)
L’équation de Bresler s’écrit alors:
\(\mathit{BRES}={(\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{{M}_{\text{Rd,z}}})}^{a=f(N/{N}_{\mathit{Rd}})}+{(\frac{{M}_{\mathit{FY}}}{{M}_{\text{Rd,y}}})}^{a}={(\frac{100000}{91703,6})}^{1,44}+{(\frac{150000}{149901,6})}^{1,44}\approx 2,0\) (ce qui est normal, vu que ce couple de ferraillage est issu d’un calcul découplé (suivant Y et Z) de dimensionnement).
L’algorithme d’itération consiste alors à augmenter les sections de ferraillage, de sorte à ce que la somme ci-dessus tombe en-dessous de 1; on obtient au final:
\({A}_{\mathit{SYS}}=18,88\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=60,42\text{cm²}\)
Cas de chargement 11#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-150000\text{Nm}\) .
A l’ELS:
Le moment résistant du béton est égal à :
\({M}_{\lim}=\frac{1}{2}{\sigma}_{b}{y}_{\lim}h(d-\frac{{y}_{\lim}}{3})=250527\text{Nm}\)
avec \({y}_{\lim}=d\frac{n{\sigma}_{b}}{n{\sigma}_{b}+{\sigma}_{s}}=({b}_{w}-{c}_{\text{y,inf}})\frac{n{\sigma}_{b}}{n{\sigma}_{b}+{\sigma}_{s}}=0,203\text{m}\)
Nous sommes donc dans le cas où \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|⩽{M}_{\lim}\) . Ainsi, seuls des aciers tendus sont nécessaires.
Le moment réduit de service est égal à: \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}}=0,113\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(\alpha \mathrm{³}-3\alpha \mathrm{²}-6\mu (1-\alpha )=0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0,361\)
La section d’acier nécessaire est égale à: \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}=9,41\text{cm²}\)
Cas de chargement 12#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-260000\text{Nm}\) .
Nous sommes donc dans le cas où \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|>{M}_{\lim}\) , mais \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|<{M}_{\text{R}}\) tel que:
\({M}_{\text{R}}=\mu (\alpha =1)\cdot hd\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}=444360\mathit{Nm}\) (moment maximal pour une section partiellement comprimée).
Ainsi, si l’on se restreint à un ferraillage tendu, on se retrouve alors en Pivot B (\({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) ), tel que la contrainte ressentie au niveau de l’acier soit de sorte \({\sigma}_{s}<{\sigma}_{\text{s,lim}}\) ; et l’acier ne sera pas donc en fonctionnement optimal. On aura alors:
Moment réduit de service égal à: \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}}=0,195\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(-{\alpha}^{2}+3\alpha -6\mu =0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0,461>{\alpha}_{\lim}=0,44\)
La contrainte ressentie au droit de l’acier tendu s’obtient alors par linéarité du diagramme des contraintes: \({\sigma}_{s}=368,48\mathit{MPa}<{\sigma}_{\text{s,lim}}=400\mathit{MPa}\)
La section d’acier nécessaire est égale à: \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}=18,12\text{cm²}\)
Si l’on s’autorise d’avoir du ferraillage de compression, la section d’acier peut être alors optimisée en fixant la position de l’axe neutre au niveau de la profondeur limite, c’est-à-dire \(\alpha ={\alpha}_{\lim}=0,44\) ; on aura alors à la fois: \({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) et \({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) ; l’écriture des équations d’équilibre nous permet alors de déterminer le ferraillage d’équilibre ci-dessous:
\({A}_{\mathit{SYS}}=16,52\text{cm²}(\mathit{Tendu})\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=0,973\text{cm²}(\mathit{Comprimé})\)
Cas de chargement 13#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-380000\text{Nm}\) .
Nous sommes donc dans le cas où \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|>{M}_{\lim}\) , mais \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|<{M}_{\text{R}}\) (Similairement au cas précédent).
Ainsi, si l’on se restreint à un ferraillage tendu, on se retrouve alors en Pivot B (\({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) ), tel que la contrainte ressentie au niveau de l’acier soit de sorte \({\sigma}_{s}<{\sigma}_{\text{s,lim}}\) ; et l’acier ne sera pas donc en fonctionnement optimal. On aura alors:
Moment réduit de service égal à: \(\mu =\frac{M}{hd\mathrm{²}{\sigma}_{\text{c,lim}}}=0,285\)
Le coefficient α est solution de l’équation: \(-{\alpha}^{2}+3\alpha -6\mu =0\)
Par résolution itérative, on obtient: \(\alpha =0,765>{\alpha}_{\lim}=0,44\)
La contrainte ressentie au droit de l’acier tendu s’obtient alors par linéarité du diagramme des contraintes: \({\sigma}_{s}=96,56\mathit{MPa}<{\sigma}_{\text{s,lim}}=400\mathit{MPa}\)
La section d’acier nécessaire est égale à: \({A}_{\mathit{SYS}}=\frac{\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|}{{\sigma}_{s}d(1-\frac{\alpha}{3})}=114,85\text{cm²}\)
Si l’on s’autorise d’avoir du ferraillage de compression, la section d’acier peut être alors optimisée en fixant la position de l’axe neutre au niveau de la profondeur limite, c’est-à-dire \(\alpha ={\alpha}_{\lim}=0,44\) ; on aura alors à la fois: \({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) et \({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) ; l’écriture des équations d’équilibre nous permet alors de déterminer le ferraillage d’équilibre ci-dessous:
\({A}_{\mathit{SYS}}=23,66\text{cm²}(\mathit{Tendu})\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=12,3\text{cm²}(\mathit{Comprimé})\)
Cas de chargement 14#
La poutre est soumise à une compression de \(N=-4500000\text{N}\) , à un moment de flexion \({M}_{\mathit{FZ}}=380000\text{Nm}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=1325000\text{Nm}\)
La section est totalement comprimée, tel que nous sommes dans le cas où \(M>{M}_{\lim}=250527\text{Nm}\) Ainsi, un ferraillage de compression est requis.
La section est donc entièrement comprimée, et l’équilibre passe en PIVOT B (\({\sigma}_{c}={\sigma}_{\text{c,lim}}\) ) tel que le problème se résout par itération; on obtient au final, la solution optimale ci-dessous:
Contraintes en fibres extrêmes: \({\sigma}_{\text{c,sup}}=21\mathit{MPa}\) , \({\sigma}_{\text{c,inf}}=16,65\mathit{MPa}\)
Effort de compression résistant du béton: \({N}_{\mathit{cc}}=0,5{b}_{w}h\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}+{\sigma}_{\text{c,inf}})=2823750N\)
Moment résistant au centre de gravité de la section: \({M}_{\mathit{cc}}=(1/12)h{b}_{w}^{2}\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}-{\sigma}_{\text{c,inf}})=27187,5\mathit{Nm}\)
Le ferraillage dimensionnant s’en déduit alors des équations d’équilibre ci-dessous:
\(n\cdot {A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}+n\cdot {A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}=N-{N}_{\mathit{cc}}\)
\(-n\cdot {A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\inf})+n\cdot {A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\sup})={M}_{\mathit{FZ}}-{M}_{\mathit{cc}}\)
Ce qui aboutit à: \({A}_{\mathit{SYI}}=0\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=54,17\text{cm²}\) (Ferraillage de compression)
F erraillage transversal:
Idem au Cas de chargement 1
Calculs à l’ELS Quasi Permanent#
On donnera le détail du calcul vis-à-vis du cas par défaut (Configuration 1 + Configuration 2 pour le cas où un acier de compression est requis), et on se concentrera uniquement sur le calcul du ferraillage longitudinal de flexion.
Cas de chargement 1#
La poutre est soumise à une compression de \(N=-1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
La résistance du béton non armé à la compression est donnée par:
\({N}_{\mathit{Rd}}={A}_{c}\times {\sigma}_{\text{c,lim,NL}}=0,5m\times 0,3m\times (15,75\mathit{MPa})=2,36\text{MN}>1\text{MN}\)
Par conséquent, la section est en Pivot C (Cas d’une déformation uniforme) tel que le béton puisse résister à lui seul à l’effort ⇒ pas de ferraillage longitudinal requis.
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim,NL}}\)
Cas de chargement2#
La poutre est soumise à un effort normal de traction de \(N=1000000\text{N}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=-100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
Il s’agit d’une section entièrement tendue de manière symétrique.
L’effort normal se répartie alors équitablement suivant les deux axes, tel qu’on effectue un calcul séparé de 0,5 MN suivant Y et suivant Z.
En ce qui concerne le dimensionnement du ferraillage à l’ELS QP, le calculse fait par le biais d’une approche itérative qu’on explicite dans ce qui suit. Il s’agit en effet de rechercher la configuration de ferraillage la plus économique permettant de vérifier le critère de limitation de l’ouverture des fissures. Vu que les équations de l’Eurocode 2 vis-à-vis de la méthode de vérification de l’ouverture des fissures sont des équations non linéaires par rapport à la section d’acier et qu’elles requièrent une connaissance pré-établie du champs de contraintes, l’algorithme de dimensionnement à l’ELS QP fera intervenir de façon itérative l’algorithme de recherche déterministe du dimensionnement à l’ELS Caractéristique (dimensionnement du ferraillage pour respecter le critère de limitation des contraintes).
On donne à titre indicatif les détails des étapes de calcul, pour le ferraillage suivant l’axe Z:
On lance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{A}\times {f}_{\mathit{yk}}=1\times 500=500\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Traction Pure»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{slim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): :math:`{x}_{mathit{AN}}=infty `
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-500\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=-500\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-33,33\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=-33,33\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=5,0{\mathit{cm}}^{2};{A}_{\mathit{sinf}}=5,0{\mathit{cm}}^{2}\)
On effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En fibre supérieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{500,0-0,4\times \frac{3,21}{0,005}\times (1+15,0\times 0,005)}{210000}=1,429\times {10}^{-3}\)
Avec :
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{\mathit{hb}}_{\mathit{ceff}}=0,005\)
\({b}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times ({b}_{w}-d);{b}_{w}/2)=100,0\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {c}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times {b}_{w})\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 1,0\times 0,425\times (25,0/0,005);1,3\times 500)=650,0\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=650,0\times 1,429\times {10}^{-3}=0,9286\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
En fibreinférieure:
On obtient par symétrie \({w}_{\mathit{kinf}}=0,9286\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{i}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{A})=\mathit{FAUX}\)
On relance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{B}\times {f}_{\mathit{yk}}=0,5\times 500=250\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Traction Pure»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{slim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): :math:`{x}_{mathit{AN}}=infty `
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-250\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=-250\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-16,67\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=-16,67\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=10,0{\mathit{cm}}^{2};{A}_{\mathit{sinf}}=10,0{\mathit{cm}}^{2}\)
On effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En fibre supérieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{250,0-0,4\times \frac{3,21}{0,01}\times (1+15,0\times 0,01)}{210000}=7,143\times {10}^{-4}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{\mathit{hb}}_{\mathit{ceff}}=0,01\)
\({b}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times ({b}_{w}-d);{b}_{w}/2)=100,0\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {c}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times {b}_{w})\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 1,0\times 0,425\times (25,0/0,01);1,3\times 500)=650,0\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=650,0\times 7,143\times {10}^{-4}=0,464\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
En fibreinférieure:
On obtient par symétrie \({w}_{\mathit{kinf}}=0,464\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{i}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{FAUX}\)
L’algorithme relancera la procédure 3) et 4) en divisant la valeur de \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) par 2, jusqu’à ce que les deux ouvertures de fissures deviennent vérifiées.
Ainsi, pour \({k}_{\mathit{var}}^{B}=0,125\) , on obtient \({w}_{\mathit{ksup}/inf}=0,0557\mathit{mm}\text{}<\text{}{{w}_{max}}^{i/s}=0,15\mathit{mm}\) , et on a désormais \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{VRAI}\) .
Il s’agit alors de déterminer par dichotomie (variation entre \({k}_{\mathit{var}}^{A}\) et \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) ) la valeur du coefficient \({k}_{\mathit{var}}\) optimale pour la saturation du critère de dimensionnement à l’ELS QP (c’est-à-dire la plus grande valeur de ce coefficient permettant de respecter les ouvertures de fissures en fibres supérieure et inférieure, tout en respectant la limitation de la contrainte de compression dans le béton):
\({k}_{\mathit{var}}\) |
0.5625 |
0.3438 |
0.234 |
0.179 |
0.207 |
… |
0.2209 |
\({A}_{\mathit{ssup}/inf}({\mathit{cm}}^{2})\) |
8.889 |
14.55 |
21.33 |
27.83 |
24.15 |
… |
22.62 |
\({\sigma}_{c}(\mathit{MPa})\) |
-18.75 |
-11.46 |
-7.81 |
-5.98 |
-6.91 |
… |
-7.37 |
\({w}_{\mathit{ksup}/inf}(\mathit{mm})\) |
0.522 |
0.319 |
0.167 |
0.104 |
0.133 |
… |
0.149997 |
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}=22,62{\mathit{cm}}^{2}\)
Un calcul similaire suivant l’axe Z conduit alors au ferraillage suivant: \({A}_{\mathit{SZS}}={A}_{\mathit{SZI}}=18,57{\mathit{cm}}^{2}\) (en substituant les rôles de \({b}_{w}\) et \(h\) ).
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim,NL}}\)
Cas de chargement3#
La poutre est soumise à un effort normal de traction de \(N=1000000\text{N}\) , un effort tranchant \({V}_{z}=-100000\text{N}\) et un moment de torsion \({M}_{T}=-10000\text{Nm}\)
Ferraillage longitudinal:
Idem au cas précédent: \({A}_{\mathit{SYS}}={A}_{\mathit{SYI}}=22,62{\mathit{cm}}^{2}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}={A}_{\mathit{SZI}}=18,57{\mathit{cm}}^{2}\)
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim,NL}}\)
Cas de chargement4#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre inférieure tendue.
A l’ELS QP :
On lance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{A}\times {f}_{\mathit{yk}}=1\times 500=500\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Partiellement Comprimé»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{slim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): \({x}_{\mathit{AN}}=\alpha \times d=0,273\times (50-4)=12,57\mathit{cm}\)
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=+128,17\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=-500\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=+12,53\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=-37,32\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=0,0{\mathit{cm}}^{2};{A}_{\mathit{sinf}}=4,726{\mathit{cm}}^{2}\)
on effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En fibresupérieure: \({w}_{\mathit{ksup}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{s}\) (pas de fissuration en l’absence de traction)
En fibreinférieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{500,0-0,4\times \frac{3,21}{0,00473}\times (1+15,0\times 0,00473)}{210000}=1,429\times {10}^{-3}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{sinf}}/{\mathit{hb}}_{\mathit{ceff}}=0,0473\)
\({h}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times (h-d);(h-{x}_{\mathit{AN}})/3;h/2)=10,0\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {e}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times ({b}_{w}-{x}_{\mathit{AN}}))\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 0,5\times 0,425\times (25,0/0,0473);1,3\times (500-125,7))=486,6\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{kinf}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=486,6\times 1,429\times {10}^{-3}=0,695\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{i}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{A})=\mathit{FAUX}\)
On relance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{B}\times {f}_{\mathit{yk}}=0,5\times 500=250\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Partiellement Comprimé»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{slim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): \({x}_{\mathit{AN}}=\alpha \times d=0,368\times (50-4)=16,94\mathit{cm}\)
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=+111,28\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=-250\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=+9,71\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=-18,96\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=0,0{\mathit{cm}}^{2};{A}_{\mathit{sinf}}=9,87{\mathit{cm}}^{2}\)
On effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En fibresupérieure: \({w}_{\mathit{ksup}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{s}\) (pas de fissuration en l’absence de traction)
En fibreinférieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{250,0-0,4\times \frac{3,21}{0,00987}\times (1+15,0\times 0,00987)}{210000}=7,143\times {10}^{-4}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{sinf}}/{\mathit{hb}}_{\mathit{ceff}}=0,00987\)
\({b}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times ({b}_{w}-d);({b}_{w}-{x}_{\mathit{AN}})/3;{b}_{w}/2)=10,0\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {e}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times ({b}_{w}-{x}_{\mathit{AN}}))\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 0,5\times 0,425\times (25,0/0,0473);1,3\times (500-169,4))=429,8\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{kinf}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=429,8\times 7,143\times {10}^{-4}=0,307\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{i}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{FAUX}\)
L’algorithme relancera la procédure 3) et 4) en divisant la valeur de \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) par 2, jusqu’à ce que les deux ouvertures de fissures deviennent vérifiées.
Ainsi, pour \({k}_{\mathit{var}}^{B}=0,25\) , on obtient \({w}_{\mathit{kinf}}=0,1033\mathit{mm}\text{}<\text{}{{w}_{max}}^{i}=0,15\mathit{mm}\) , et on a désormais \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{VRAI}\) .
Il s’agit alors de déterminer par dichotomie (variation entre \({k}_{\mathit{var}}^{A}\) et \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) ) la valeur du coefficient \({k}_{\mathit{var}}\) optimale pour la saturation du critère de dimensionnement à l’ELS QP (c’est-à-dire la plus grande valeur de ce coefficient permettant de respecter les ouvertures de fissures en fibres supérieure et inférieure, tout en respectant la limitation de la contrainte de compression dans le béton):
\({k}_{\mathit{var}}\) |
0.6250 |
0.4375 |
0.344 |
0.297 |
0.320 |
… |
0.3060 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
7.647 |
11.11 |
14.89 |
17.56 |
16.14 |
… |
17.0 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
10.4 |
9.14 |
8.63 |
8.29 |
8.47 |
… |
8.36 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
-23.55 |
-16.65 |
-13.21 |
-11.48 |
-12.34 |
… |
-11.81 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.403 |
0.262 |
0.189 |
0.141 |
0.165 |
… |
0.14999 |
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SYS}}=0{\mathit{cm}}^{2}\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=17,0{\mathit{cm}}^{2}\)
Cas de chargement5#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-100000\text{Nm}\) . Ce moment de flexion correspond à une fibre droite tendue.
A l’ELS QP :
On lance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{A}\times {f}_{\mathit{yk}}=1\times 500=500\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Partiellement Comprimé»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{clim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): \({x}_{\mathit{AN}}=\alpha \times d=0,44\times (30-4)=11,448\mathit{cm}\)
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-300,29\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=+153,71\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-25,52\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=+15,75\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=15,011{\mathit{cm}}^{2};{A}_{\mathit{sinf}}=0,0{\mathit{cm}}^{2}\)
on effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En fibreinférieure: \({w}_{\mathit{kinf}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{i}\) (pas de fissuration en l’absence de traction)
En fibresupérieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{300,29-0,4\times \frac{3,21}{0,02427}\times (1+15,0\times 0,02427)}{210000}=1,086\times {10}^{-3}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{b}_{w}{h}_{\mathit{ceff}}=0,02427\)
\({h}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times (h-d);(h-{x}_{\mathit{AN}})/3;h/2)=6,18\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {c}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times (h-{x}_{\mathit{AN}}))\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 0,5\times 0,425\times (25,0/0,02427);1,3\times (300-114,48))=241,17\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=241,17\times 1,086\times {10}^{-3}=0,262\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{A})=\mathit{FAUX}\)
On relance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{B}\times {f}_{\mathit{yk}}=0,5\times 500=250\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
L’algorithme retourne alors les données suivantes:
ETAT: «Partiellement Comprimé»
PIVOT: \({\sigma}_{\mathit{slim}}\)
Profondeur de l’axe neutre (AN): \({x}_{\mathit{AN}}=\alpha \times d=0,474\times (30-4)=12,336\mathit{cm}\)
Contrainte au droit de l’acier supérieur: \({\sigma}_{\mathit{ssup}}=-250,0\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de l’acier inférieur: \({\sigma}_{\mathit{sinf}}=+152,53\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Contrainte au droit de la fibre supérieure de béton: \({\sigma}_{\text{csup}}=-21,55\mathit{MPa}(\mathit{TRACTION})\)
Contrainte au droit de la fibre inférieure de béton: \({\sigma}_{\text{cinf}}=+15,05\mathit{MPa}(\mathit{COMPRESSION})\)
Section d’acier calculée: \({A}_{\mathit{ssup}}=18,56{\mathit{cm}}^{2};{A}_{\mathit{sinf}}=0,0{\mathit{cm}}^{2}\)
On effectue alors la vérification de l’ouverture des fissures conformément aux équations de l’Eurocode 2:
En fibresupérieure: \({w}_{\mathit{ksup}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{s}\) (pas de fissuration en l’absence de traction)
En fibreinférieure:
\({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}}=\frac{{\sigma}_{s}-{k}_{t}\times \frac{{f}_{\mathit{ctm}}}{{\rho}_{\mathit{peff}}}\times (1+{\alpha}_{e}\times {\rho}_{\mathit{peff}})}{{E}_{s}}=\frac{250,0-0,4\times \frac{3,21}{0,0315}\times (1+15,0\times 0,0315)}{210000}=9,048\times {10}^{-4}\)
Avec:
\({\rho}_{\mathit{peff}}={A}_{\mathit{ssup}}/{b}_{w}{h}_{\mathit{ceff}}=0,0315\)
\({h}_{\mathit{ceff}}=min(2,5\times (h-d);(h-{x}_{\mathit{AN}})/3;h/2)=5,89\mathit{cm}\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min({k}_{3}\times {c}_{\sup}+{k}_{1}{k}_{2}{k}_{4}\times ({\varphi}_{\sup}/{\rho}_{\mathit{peff}});1,3\times (h-{x}_{\mathit{AN}}))\)
\({s}_{\mathit{rmax}}=min(2,485\times 40,0+0,8\times 0,5\times 0,425\times (25,0/0,0315);1,3\times (300-123,36))=229,63\mathit{mm}\)
D’où:
\({w}_{\mathit{ksup}}={s}_{\mathit{rmax}}\times ({\epsilon}_{\mathit{sm}}-{\epsilon}_{\mathit{cm}})=229,63\times 9,048\times {10}^{-4}=0,2078\mathit{mm}\text{}>\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\)
⇒ Vu qu’au moins l’une des ouvertures de fissures n’est pas vérifiée, l’algorithme retiendra \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{FAUX}\)
L’algorithme relancera la procédure 3) et 4) en divisant la valeur de \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) par 2, jusqu’à ce que les deux ouvertures de fissures deviennent vérifiées.
Ainsi, pour \({k}_{\mathit{var}}^{B}=0,25\) , on obtient \({w}_{\mathit{ksup}}=0,065\mathit{mm}\text{}<\text{}{{w}_{max}}^{s}=0,15\mathit{mm}\) , et on a désormais \(\mathit{COND}({k}_{\mathit{var}}^{B})=\mathit{VRAI}\) .
Il s’agit alors de déterminer par dichotomie (variation entre \({k}_{\mathit{var}}^{A}\) et \({k}_{\mathit{var}}^{B}\) ) la valeur du coefficient \({k}_{\mathit{var}}\) optimale pour la saturation du critère de dimensionnement à l’ELS QP (c’est-à-dire la plus grande valeur de ce coefficient permettant de respecter les ouvertures de fissures en fibres supérieure et inférieure, tout en respectant la limitation de la contrainte de compression dans le béton):
\({k}_{\mathit{var}}\) |
0.6250 |
0.4375 |
0.3438 |
0.3906 |
0.4141 |
… |
0.4094 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
15.011 |
21.530 |
27.175 |
24.051 |
22.167 |
… |
22.525 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-25.520 |
-19.060 |
-15.275 |
-17.172 |
-18.081 |
… |
-17.9 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
15.750 |
14.520 |
13.352 |
13.965 |
14.014 |
… |
14.01 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.262 |
0.167 |
0.111 |
0.137 |
0.153 |
… |
0.14999 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.00000 |
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SZS}}=22,525{\mathit{cm}}^{2}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=0,0{\mathit{cm}}^{2}\)
Cas de chargement6#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=100000\text{N}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0,5 |
0.25 |
0.625 |
… |
0.3225 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
5.77 |
11.93 |
24.09 |
9.41 |
… |
18.794 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
11.42 |
15.54 |
20.33 |
14.08 |
… |
18.58 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-37.19 |
-18.86 |
-9.63 |
-23.44 |
… |
-12.32 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
11.01 |
8.5 |
6.6 |
9.19 |
… |
7.29 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-500 |
-250 |
-125 |
-312.5 |
… |
-121.26 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
107.2 |
94.71 |
79.52 |
98.68 |
… |
85.76 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.717 |
0.319 |
0.098 |
0.417 |
… |
0.149998 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SYS}}=18,794{\mathit{cm}}^{2}\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=0,0{\mathit{cm}}^{2}\)
Cas de chargement7#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=100000\text{N}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0.5 |
0.25 |
0.625 |
… |
0.4156 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
12.96 |
20.13 |
41.67 |
15.85 |
… |
24.765 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
9.97 |
11.74 |
14.94 |
10.76 |
… |
12.64 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-31.66 |
-21.34 |
-11.35 |
-26.3 |
… |
-18.01 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
13.73 |
11.26 |
14.7 |
… |
13.12 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-380.02 |
-250 |
-125 |
-312.5 |
… |
-207.78 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
141.44 |
135.81 |
123.74 |
138.51 |
… |
134.49 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.365 |
0.208 |
0.065 |
0.287 |
… |
0.149996 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
On retient donc au final: \({A}_{\mathit{SZS}}=24,765{\mathit{cm}}^{2}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=0,0{\mathit{cm}}^{2}\)
Cas de chargement 8#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-100000\text{Nm}\) et à un effort normal de traction égal à \(N=2000000\text{N}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0.5 |
0.25 |
0.625 |
0.438 |
0.343 |
0.297 |
0.321 |
… |
0.3193 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
24.76 |
49.52 |
99.05 |
39.62 |
56.59 |
72.03 |
83.41 |
77.31 |
… |
77.545 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
15.24 |
30.48 |
60.95 |
24.38 |
34.83 |
44.33 |
51.33 |
47.57 |
… |
47.720 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
… |
∞ |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-33.33 |
-16.67 |
-8.33 |
-20.83 |
-14.58 |
-11.46 |
-9.89 |
-10.68 |
… |
-10.644 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
-33.33 |
-16.67 |
-8.33 |
-20.83 |
-14.58 |
-11.46 |
-9.89 |
-10.68 |
… |
-10.644 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-500 |
-250 |
-125 |
-312.5 |
-218.75 |
-171.88 |
-148.44 |
-160.16 |
… |
-159.66 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
-500 |
-250 |
-125 |
-312.5 |
-218.75 |
-171.88 |
-148.44 |
-160.16 |
… |
-159.66 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.904 |
0.264 |
0.082 |
0.389 |
0.211 |
0.139 |
0.109 |
0.124 |
… |
0.1233 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
1.227 |
0.339 |
0.096 |
0.513 |
0.266 |
0.171 |
0.131 |
0.151 |
… |
0.149996 |
La section d’acier nécessaire est donc égale à: \({A}_{\mathit{SYS}}=77,545\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=47,72\text{cm²}\)
Cas de chargement 9#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) et à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-150000\text{Nm}\) . Elle est donc en flexion déviée, et la résolution s’effectue suivant la méthode itérative basée sur la vérification de l’inéquation de Bresler :
On commence par effectuer un calcul en flexion simple suivant l’axe Z: on obtient un ferraillage similaire au CAS 4, à savoir \({A}_{\mathit{SYI}}=17,0\text{cm²}\)
Idem, on effectue un calcul en flexion simple suivant l’axe Y: on obtient le ferraillage suivant \({A}_{\mathit{SZS}}=31,827\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=9,722\text{cm²}\)
On calcule l’effort normal résistant, ainsi que les moments fléchissants résistants par le biais des digrammes d’interaction construits à partir du ferraillage calculé précédemment; on obtient :
\({N}_{\mathit{Rd}}=3467290N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=101595\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-97295\mathit{Nm}\)
L’équation de Bresler s’écrit alors:
\(\mathit{BRES}={(\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{{M}_{\text{Rd,z}}})}^{a=f(N/{N}_{\mathit{Rd}})}+{(\frac{{M}_{\mathit{FY}}}{{M}_{\text{Rd,y}}})}^{a}={(\frac{100000}{101595})}^{1,0}+{(\frac{150000}{97295})}^{1,0}\approx 2,53\)
L’algorithme d’itération consiste alors à augmenter les sections de ferraillage, de sorte à ce que la somme ci-dessus tombe en-dessous de 1:
\({A}_{\mathit{SYI}}=17,0\text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SZI}}=9,722\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=31,827\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=101595\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-97295\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 2,53
\({A}_{\mathit{SYI}}=18,7\text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SZI}}=10,694\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=35,01\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=111079\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-98982\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 2,42
\({A}_{\mathit{SYI}}=20,57\text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SZI}}=11,76\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}=38,51\text{cm²}\) ⇒ \({M}_{\text{Rd,z}}=121438\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-100612\mathit{Nm}\) ⇒ BRES = 2,31
…
…
\({A}_{\mathit{SYI}}\mathrm{\to }\infty \text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SZI}}\mathrm{\to }\infty \text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZS}}\mathrm{\to }\infty \text{cm²}\) ⇒ BRES → 1,503 > 1
Ainsi, on ne réussit pas à calculer une densité de ferraillage en flexion déviée (MFY et MFZ) dans le cas suivant. La méthode actuellement implémentée est une résolution itérative basée sur la vérification de l’inéquation de BRESLER. L’algorithme rencontre un dépassement de capacité (beaucoup d’itérations tentées).
Le code retourne la valeur de ‘-1’ pour l’ensemble des sections de ferraillage.
Cas de chargement 10#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=100000\text{Nm}\) , à un moment de flexion suivant \(\text{Y}\) égal à \({M}_{\mathit{FY}}=-150000\text{Nm}\) et à un effort de compression égal à \(N=-3000000\text{N}\) . Elle est donc en flexion déviée et composée, et la résolution s’effectue suivant la méthode itérative basée sur la vérification de l’inéquation de Bresler:
On commence par effectuer un calcul en flexion composée suivant l’axe Z:
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
23.57 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
3.41 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
∞ |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
236.25 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
236.25 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
On retiendraitalors dans ce cas: \({A}_{\mathit{SYS}}=23,57\text{cm²}(\mathit{Comprimé})\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=3,41\text{cm²}(\mathit{Comprimé})\)
On effectue similairement un calcul en flexion composée suivant l’axe Y:
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
0.0 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
50.95 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
71.28 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
9.12 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
150.07 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
223.99 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
On retiendraitalors dans ce cas: \({A}_{\mathit{SZI}}=50,95\text{cm²}(\mathit{Comprimé})\)
On calcule alors l’effort normal résistant, ainsi que les moments fléchissants résistants par le biais des digrammes d’interaction construits à partir du ferraillage calculé précédemment; on obtient:
\({N}_{\mathit{Rd}}=6648918N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=109903,5\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-165694,7\mathit{Nm}\)
L’équation de Bresler s’écrit alors:
\(\mathit{BRES}={(\frac{{M}_{\mathit{FZ}}}{{M}_{\text{Rd,z}}})}^{a=f(N/{N}_{\mathit{Rd}})}+{(\frac{{M}_{\mathit{FY}}}{{M}_{\text{Rd,y}}})}^{a}={(\frac{100000}{109903,5})}^{1,29}+{(\frac{150000}{165694,7})}^{1,29}=1,8\approx 2,0\) (ce qui est normal, vu que ce couple de ferraillage est issu d’un calcul découplé (suivant Y et Z) de dimensionnement).
L’algorithme d’itération consiste alors à augmenter les sections de ferraillage, de sorte à ce que la somme ci-dessus tombe en-dessous de 1; on obtient au final:
\({A}_{\mathit{SYI}}=3,41\text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SYS}}=23,57\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=50,95\text{cm²}\) ⇒ \({N}_{\mathit{Rd}}=6648918N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=109903,5\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-165694,7\mathit{Nm}\) ⇒ a = 1,29 et BRES = 1,8
\({A}_{\mathit{SYI}}=3,76\text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SYS}}=25,93\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=56,05\text{cm²}\) ⇒ \({N}_{\mathit{Rd}}=7077559N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=120087,9\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-182662,2\mathit{Nm}\) ⇒ a = 1,26 et BRES = 1,57
\({A}_{\mathit{SYI}}=4,13\text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SYS}}=28,52\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=61,66\text{cm²}\) ⇒ \({N}_{\mathit{Rd}}=7549065N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=130517,1\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-200830,4\mathit{Nm}\) ⇒ a = 1,24 et BRES = 1,41
…
…
\({A}_{\mathit{SYI}}=8,85\text{cm²}\) , \({A}_{\mathit{SYS}}=61,13\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SZI}}=132,15\text{cm²}\) ⇒ \({N}_{\mathit{Rd}}=12469648N\) , \({M}_{\text{Rd,z}}=206670,3\mathit{Nm}\) et \({M}_{\text{Rd,y}}=-259125,0\mathit{Nm}\) ⇒ a = 1,12 et BRES = 0,99
Cas de chargement 11#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-150000\text{Nm}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0.5 |
0.25 |
0.625 |
0.438 |
0.343 |
0.391 |
0.367 |
… |
0.3697 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
7.83 |
15.55 |
31.72 |
12.29 |
17.85 |
23.28 |
19.74 |
21.39 |
… |
21.201 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
15.41 |
20.08 |
25.5 |
18.41 |
21.09 |
23.09 |
21.84 |
22.45 |
… |
22.38 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-35.36 |
-19.24 |
-9.96 |
-23.85 |
-16.92 |
-13.46 |
-15.18 |
-14.32 |
… |
-14.412 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
12.91 |
10.37 |
13.9 |
12.34 |
11.55 |
11.77 |
11.66 |
… |
11.676 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-469.13 |
-250 |
-125 |
-312.5 |
-218.75 |
-171.88 |
-195.31 |
-183.59 |
… |
-184.87 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
174.91 |
155.09 |
131.1 |
163.24 |
150.01 |
143.24 |
144.18 |
143.79 |
… |
143.84 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.612 |
0.265 |
0.075 |
0.369 |
0.206 |
0.129 |
0.168 |
0.148 |
… |
0.149996 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
La section d’acier nécessaire est donc égale à: \({A}_{\mathit{SYS}}=21,201\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=0\text{cm²}\)
Cas de chargement 12#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-260000\text{Nm}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0.5 |
0.25 |
0.625 |
0.438 |
0.344 |
0.391 |
0.414 |
… |
0.4117 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
13.73 |
26.98 |
57.41 |
20.73 |
30.84 |
40.48 |
35.29 |
32.6 |
… |
33.732 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
14.80 |
6.75 |
1.17 |
9.65 |
5.46 |
3.09 |
4.24 |
5.42 |
… |
4.642 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
15.64 |
22.54 |
29.9 |
19.78 |
23.92 |
26.68 |
25.3 |
24.38 |
… |
24.84 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-34.61 |
-19.19 |
-10.4 |
-24.01 |
-17.17 |
-13.77 |
-15.38 |
-16.36 |
… |
-15.953 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
15.75 |
15.48 |
15.72 |
15.75 |
15.75 |
15.75 |
15.56 |
… |
15.75 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-458.6 |
-245.89 |
-125 |
-312.5 |
-218.08 |
-171.08 |
-193.3 |
-207.03 |
… |
-201.25 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
175.83 |
194.32 |
201.09 |
188.07 |
196.74 |
200.83 |
198.89 |
195.16 |
… |
198.21 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.673 |
0.212 |
0.064 |
0.335 |
0.169 |
0.109 |
0.136 |
0.155 |
… |
0.1497 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
La section d’acier nécessaire est donc égale à:
\({A}_{\mathit{SYS}}=33,732\text{cm²}(\mathit{Tendu})\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=4,642\text{cm²}(\mathit{Comprimé})\)
Cas de chargement 13#
La poutre est soumise à un moment de flexion suivant \(\text{Z}\) égal à \({M}_{\mathit{FZ}}=-380000\text{Nm}\) .
A l’ELSQP:
L’algorithme d’itération sur la valeur de \({k}_{\mathit{var}}\) aboutit aux résultats suivants:
Critères: \({w}_{\mathit{ksup}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({w}_{\mathit{kinf}}<0,15\mathit{mm}\) ; \({\sigma}_{c,\mathit{compression}}<15,75\mathit{MPa}\)
\({k}_{\mathit{var}}\) |
1,0 |
0.5 |
0.25 |
0.625 |
0.438 |
… |
0.433305 |
\({A}_{\mathit{ssup}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
19.05 |
38.61 |
80.27 |
29.87 |
43.94 |
… |
44.212 |
\({A}_{\mathit{sinf}}({\mathit{cm}}^{2})\) |
31.91 |
21.45 |
15.38 |
24.84 |
19.98 |
… |
20.283 |
\({x}_{\mathit{AN}}(\mathit{cm})\) |
15.18 |
22.54 |
29.9 |
19.78 |
23.92 |
… |
23.93 |
\({\sigma}_{\text{csup}}(\mathit{MPa})\) |
-36.13 |
-19.18 |
-10.41 |
-24.01 |
-17.17 |
… |
-17.06 |
\({\sigma}_{\text{cinf}}(\mathit{MPa})\) |
15.75 |
15.75 |
15.48 |
15.72 |
15.75 |
… |
15.65 |
\({\sigma}_{\text{ssup}}(\mathit{MPa})\) |
-479.66 |
-245.89 |
-125 |
-312.5 |
-218.08 |
… |
-216.65 |
\({\sigma}_{\text{sinf}}(\mathit{MPa})\) |
173.99 |
194.32 |
201.09 |
188.07 |
196.74 |
… |
195.46 |
\({w}_{\mathit{ksup}}(\mathit{mm})\) |
0.604 |
0.187 |
0.061 |
0.288 |
0.152 |
… |
0.149999 |
\({w}_{\mathit{kinf}}(\mathit{mm})\) |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
… |
0.0 |
La section d’acier nécessaire est donc égale à:
\({A}_{\mathit{SYS}}=44,212\text{cm²}(\mathit{Tendu})\) et \({A}_{\mathit{SYI}}=20,283\text{cm²}(\mathit{Comprimé})\)
Cas de chargement 14#
La poutre est soumise à une compression de \(N=-4500000\text{N}\) , à un moment de flexion \({M}_{\mathit{FZ}}=380000\text{Nm}\) et à un effort tranchant \({V}_{z}=100000\text{N}\) .
Ferraillage longitudinal:
A l’ELS QP:
On lance le calcul à l’ELS Caractéristique (critère : limitation des contraintes, avec \({\sigma}_{\mathit{clim}}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}=15,75\mathit{MPa}\) pour le pivot de compression du béton et \({\sigma}_{\mathit{slim}}={k}_{\mathit{var}}^{A}\times {f}_{\mathit{yk}}=1\times 500=500\mathit{MPa}\) pour le pivot de traction au droit de l’acier tendu).
Le moment résistant du béton est égal à :
\({M}_{\lim}=\frac{1}{2}{{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}h(d-\frac{{y}_{\lim}}{3})=0,5\times {15,75}^{\mathit{MPa}}\times {0,3}^{m}\times ({0,46}^{m}-{0,1476}^{m}/3)=143253\text{Nm}\)
avec \({y}_{\lim}=d\frac{n{{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}}{n{{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}+{\sigma}_{\mathit{slim}}}=({b}_{w}-{c}_{\text{y,inf}})\frac{n{{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}}{n{{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}+{\sigma}_{\mathit{slim}}}=({0,5}^{m}-{0,04}^{m})\times (\frac{15\times {15,75}^{\mathit{MPa}}}{15\times {15,75}^{\mathit{MPa}}+{500}^{\mathit{MPa}}})=0,1476\text{m}\)
Le moment à reprendre est \(M=\left|{M}_{\mathit{FZ}}\right|-N(d-\frac{{b}_{w}}{2})=1325000\text{Nm}\)
La section est totalement comprimée, tel que nous sommes dans le cas où \(M>{M}_{\lim}=250527\text{Nm}\) Ainsi, un ferraillage de compression est requis.
La section est donc entièrement comprimée, et l’équilibre passe en PIVOT B (\({\sigma}_{c}={{\sigma}_{b}}^{\mathit{elsqp}}\) ) tel que le problème se résout par itération; on obtient au final, la solution optimale ci-dessous:
Contraintes en fibres extrêmes: \({\sigma}_{\text{c,sup}}=15,75\mathit{MPa}\) , \({\sigma}_{\text{c,inf}}=15,75\mathit{MPa}\)
Effort de compression résistant du béton: \({N}_{\mathit{cc}}=0,5{b}_{w}h\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}+{\sigma}_{\text{c,inf}})=2362500N\)
Moment résistant au centre de gravité de la section: \({M}_{\mathit{cc}}=(1/12)h{b}_{w}^{2}\cdot ({\sigma}_{\text{c,sup}}-{\sigma}_{\text{c,inf}})=0,0\mathit{Nm}\)
Le ferraillage dimensionnant s’en déduit alors des équations d’équilibre ci-dessous:
\(n\cdot {A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}+n\cdot {A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}=N-{N}_{\mathit{cc}}\)
\(-n\cdot {A}_{\mathit{SYI}}{\sigma}_{\mathit{SYI}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\inf})+n\cdot {A}_{\mathit{SYS}}{\sigma}_{\mathit{SYS}}\cdot ({b}_{w}/2-{c}_{\sup})={M}_{\mathit{FZ}}-{M}_{\mathit{cc}}\)
Ce qui aboutit à: \({A}_{\mathit{SYI}}=6,941\text{cm²}\) et \({A}_{\mathit{SYS}}=83,535\text{cm²}\) (Ferraillage de compression)
En ce qui concerne alors la vérification des ouvertures des fissures, la section étant entièrement comprimée, aucune fissuration n’aura lieu à savoir:
\({w}_{\mathit{ksup}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{s}\) et \({w}_{\mathit{kinf}}=0\mathit{mm}<{{w}_{max}}^{i}\)
Le ferraillage obtenu par le biais du calcul de limitations des contraintes est donc retenu.
Ferraillage transversal:
Similairement au calcul à l’ELU, en remplacement \({f}_{\mathit{cd}}\) par \({\sigma}_{\text{c,lim,NL}}\)
Incertitudes sur la solution#
Aucune.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation POU_D_E. On fait une analyse à l’ELU.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 seul segment (soi 2 nœuds), maillé linéairement.
Grandeurs testées et résultats#
C as de chargement |
Configuration considérée |
Ferraillage Longitudinal de référence (en cm²) |
Ferraillage Transversal (en cm²/ m ) |
|||
DNS Y I |
DNS Y S |
DNS Z I |
DNS Z S |
DNS T |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.93 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.93 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
17.69 |
|
2 |
1 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
3.93 |
2 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
3.93 |
|
3 |
5.75 |
5.75 |
11.5 |
5.75 |
3.93 |
|
4 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
3.93 |
|
5 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
17.69 |
|
3 |
1 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
4.9 |
2 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
4.9 |
|
3 |
6.8 |
6.8 |
12.55 |
6.8 |
4.9 |
|
4 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
4.9 |
|
5 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
19.87 |
|
4 |
1 |
5.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
5.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
5 |
5.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
9.49 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
9.49 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
9.49 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
9.92 |
9.52 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
9.49 |
0 |
|
6 |
1 |
0 |
6.36 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
6.36 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
6.36 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
6.54 |
6.34 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
6.36 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
10.68 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
10.68 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
10.68 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
9.71 |
10.69 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
10.68 |
0 |
|
8 |
1 |
17.52 |
28.48 |
0 |
0 |
0 |
2 |
17.52 |
28.48 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
17.52 |
28.48 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
27.34 |
28.26 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
17.52 |
28.48 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
12.22 |
0 |
0 |
35.01 |
0 |
2 |
12.22 |
0 |
0 |
35.01 |
0 |
|
3 |
12.22 |
0 |
0 |
35.01 |
0 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
5 |
12.22 |
0 |
0 |
35.01 |
0 |
|
10 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
2.9 |
50.1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
2.9 |
50.1 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
2.4 |
41.68 |
39.3 |
0 |
|
5 |
0 |
2.9 |
50.1 |
0 |
0 |
|
11 |
1 |
0 |
7.92 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
7.92 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
7.92 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
7.22 |
7.92 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
7.92 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
1 |
0 |
14.4 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
14.4 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
14.4 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
13.27 |
13.95 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
14.4 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
1 |
0 |
22.38 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
22.38 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
22.38 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
19.62 |
20.54 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
22.38 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
33.06 |
0 |
0 |
2.22 |
|
3 |
0 |
33.06 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
33.68 |
33.44 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
33.06 |
0 |
0 |
16.67 |
|
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation POU_D_E. On fait une analyse à l’ELS.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 seul segment (soi 2 nœuds), maillé linéairement.
Grandeurs testées et résultats#
C as de chargement |
Configuration considérée |
Ferraillage Longitudinal de référence (en cm²) |
Ferraillage Transversal (en cm²/ m ) |
|||
DNS Y I |
DNS Y S |
DNS Z I |
DNS Z S |
DNS T |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4.27 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4.27 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4.27 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
19.23 |
|
2 |
1 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
4.27 |
2 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
4.27 |
|
3 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
4.27 |
|
4 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
19.23 |
|
3 |
1 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
5.33 |
2 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
5.33 |
|
3 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
5.33 |
|
4 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
6.25 |
21.6 |
|
4 |
1 |
5.89 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5.89 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
6.01 |
1.96 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
5.89 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
11.24 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
11.24 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
6.95 |
11.01 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
11.24 |
0 |
|
6 |
1 |
0 |
7.17 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
7.17 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
3.93 |
7.19 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
7.17 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
12.26 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
12.26 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
7.66 |
12.25 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
12.26 |
0 |
|
8 |
1 |
19.05 |
30.95 |
0 |
0 |
0 |
2 |
19.05 |
30.95 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
26.23 |
30.95 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
19.05 |
30.95 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
52.72 |
0 |
0 |
204.77 |
0 |
2 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
4 |
52.72 |
0 |
0 |
204.77 |
0 |
|
10 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
48.87 |
156.6 |
0 |
0 |
|
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
11 |
1 |
0 |
9.41 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
9.41 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
4.52 |
9.12 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
9.41 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
1 |
0 |
18.12 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0.97 |
16.52 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
11.06 |
15.94 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
18.12 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
1 |
0 |
114.85 |
0 |
0 |
0 |
2 |
12.3 |
23.66 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
18.68 |
23.33 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
114.85 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
54.17 |
0 |
0 |
2.42 |
|
3 |
61.66 |
65.44 |
0 |
0 |
2.42 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation POU_D_E. On fait une analyse à l’ELS-QP.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 seul segment (soi 2 nœuds), maillé linéairement.
Grandeurs testées et résultats#
C as de chargement |
Configuration considérée |
Ferraillage Longitudinal de référence (en cm²) |
Ferraillage Transversal (en cm²/ m ) |
|||
DNS Y I |
DNS Y S |
DNS Z I |
DNS Z S |
DNS T |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.42 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.42 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.42 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
15.38 |
|
2 |
1 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
12.7 |
2 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
12.7 |
|
3 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
12.7 |
|
4 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
57.14 |
|
3 |
1 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
15.82 |
2 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
15.82 |
|
3 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
15.82 |
|
4 |
22.62 |
22.62 |
18.57 |
18.57 |
64.18 |
|
4 |
1 |
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
16.59 |
12.44 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
17 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
22.52 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
22.52 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
17.59 |
22.58 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
22.52 |
0 |
|
6 |
1 |
0 |
18.79 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
18.79 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
14.86 |
18.33 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
18.79 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
24.77 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
24.77 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
19.98 |
24.71 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
24.77 |
0 |
|
8 |
1 |
47.72 |
77.55 |
0 |
0 |
0 |
2 |
47.72 |
77.55 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
62.04 |
63.99 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
47.72 |
77.55 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
10 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
8.85 |
61.13 |
132.15 |
0 |
0 |
|
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
11 |
1 |
0 |
21.2 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
21.2 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
16.92 |
21.09 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
21.2 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
1 |
0 |
62.39 |
0 |
0 |
0 |
2 |
4.64 |
33.73 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
29.3 |
32.56 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
62.39 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
20.28 |
44.21 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
41.23 |
44.15 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
14 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
6.94 |
83.53 |
0 |
0 |
1.93 |
|
3 |
95.59 |
100.2 |
0 |
0 |
1.93 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation POU_D_T. On fait une analyse à l’ELU.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 1 seul segment (soi 2 nœuds), maillé linéairement.
Grandeurs testées et résultats#
C as de chargement |
Configuration considérée |
Ferraillage Longitudinal de référence (en cm²) |
Ferraillage Transversal (en cm²/ m ) |
|||
DNS Y I |
DNS Y S |
DNS Z I |
DNS Z S |
DNS T |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.93 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.93 |
|
2 |
1 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
3.93 |
2 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
3.93 |
|
3 |
1 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
4.9 |
2 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
5.75 |
4.9 |
|
4 |
1 |
5.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5.18 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
9.49 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
9.49 |
0 |
|
6 |
1 |
0 |
6.36 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
6.36 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
10.68 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
10.68 |
0 |
|
8 |
1 |
17.52 |
28.48 |
0 |
0 |
0 |
2 |
17.52 |
28.48 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
12.22 |
0 |
0 |
35.01 |
0 |
2 |
12.22 |
0 |
0 |
35.01 |
0 |
|
10 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
2.9 |
50.1 |
0 |
0 |
|
11 |
1 |
0 |
7.92 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
7.92 |
0 |
0 |
0 |
|
12 |
1 |
0 |
14.4 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
14.4 |
0 |
0 |
0 |
|
13 |
1 |
0 |
22.38 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
22.38 |
0 |
0 |
0 |
|
14 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
33.06 |
0 |
0 |
2.22 |
|
Synthèse des résultats#
Ce test permet de mettre en évidence la validité des calculs de densité de ferraillage sur des cas simples.
Les résultats obtenus avec le modèle sont en effet conformes aux valeurs déterminées de façon analytique.